中考数学知识点与经典题型练习 解直角三角形中的拥抱模型和12345模型(解析版)

专题16解直角三角形中的拥抱模型和12345模型

【模型展示】

特点

分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt∆ABC和Rt∆DCB中,

BC=BC.

结论“拥抱模”型关键是找到两个直角三角形的公共边

【题型演练】

一、单选题

I.如图，某学校大楼顶部有一个LED屏4B,小明同学在学校门口C处测得LED屏底部A

的仰角为53。，沿大门楼梯C。向上走到。处测得LEO屏顶部B的仰角为30。，D、E、尸在

同一水平高度上，已知大门楼梯CD的坡比i=L√J,CD=80米，EF=30米，大楼AF和大

门楼梯C。的剖面在同一平面内，则LEO屏AB的高度为（）（参考数据：√3≈1.73,

434

sin53o≈-,cos53°≈-,tan53o≈-)

553

A.24.6米B.30.6米C.34.6米D.44.6米

【答案】C

【分析】如图，过。作DHI水平线于〃，延长AF交水平线于G,则AGJ_C”,过C作

CoIDE于O,贝IJfW=Co,CW=利用坡度的含义求解

QQ

?CDO30?,OC40,6>D=CDSJOS30?400，再求解OE=---------=30,

tan53°

DF=60+40√3,AF=EF^an53?40,BF=OFgtan30盎74.6,从而可得答案.

【详解】解：如图，过。作DHI水平线于〃，延长AF交水平线于G,则AGLC”,过C

作Co_LZ)E于o,则。"=CO,C7∕=OO,

由题意得：28=1:75,8=80,

DHCO_1_√3

=tan?CDO,

~15δ~7∕3-^Γ

\?CDO30?,OC40,OD=CDgpos30?40√3,

Q?ACG53?,而。尸〃“G,

.∙.NOEC=ZAEF=ZACG=53°,

'吟焉?学30,

3

QEF=30,

∖DF=40√3+30+30=60+40√3,AF=EFgtan53?30?g40,

QlBDF30施尸DF,

:.BF=DF-tan300=—(60+40√3)=20√3+40≈74.6,

∖AB=BF-AF=74.6-40=34.6.

故选C

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度的含义，熟练的构建直角三角形是解本题

的关键.

2.如图，某建筑物AB在一个坡度为i=l：0.75的山坡BC上，建筑物底部点8到山脚点C

的距离BC=20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角

是42。，在另一坡度为i=l：2.4的山坡OE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24。，

点E到山脚点力的距离OE=26米，若建筑物AB和山坡BC、OE的剖面在同一平面内，则

建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sia24o≈0.41,cav24o≈0.91,∕an24o≈0.45,

Λ77J42O≈0.67.CoS42°≈0.74,fwM2°≈0.90)

A.36.7米B.26.3米C.15.4米D.25.6米

【答案】D

【分析】如图所示，过E点做C。平行线交线段为点”，标A8线段和CO线段相交点

为G和H由坡度为i=l:0.75,BC=20可得BG=I6,GC=I2,由坡度为i=l：2.4,OE=26

AGAH

可得DF=24,EF=10,分别在在-AGB中满足省=tan42°,在^AEH中满足二右=tan24。化

GDHE

简联立得AB=25.6.

【详解】如图所示，过E点做CO平行线交AB线段为点H,标AB线段和Cn线段相交点

为G和”

：在-BGC中BC=20,坡度为i=l：0.75,

二BG-+GC-=BC1,

.∙.BG2+(,-BG)2=BC2,

4

：.BG2+-BG2=BC2,

16

Λ-BG2=202,

16

25

Λ-BG2=400,

16

16

・・・BG27=400×-,

25

:、BG2=256,

：・BG=16,

3

.∖CG=-BG=∖2,

4

在《3GC中。E=26,坡度为i=l：2.4,

∙,∙DF2+EF2=DE2

Λ(—EF)2÷EF2=DE2,

5

：.—EF2+EF2=DE2

25i

Λ-EF2=262,

25

25

.,.EF2=676×——，

169

，EF-=IOO，

・•・EF=IO,

・・・DF=-EF=24

5i

AGAl-f

：.在^AGB中满足一=tan42°,在AAEH中满足——=tan240,

GDHE

“IJAB+BGAB+BH

=0.45

GC+CDGC+CD+DF

其中BG=I6、BG=12,BH=BG-EF=6、DF=24,

AB+16=0.9(12+CD)①

代入化简得

A8+6=0.45(36+C0②

令2②-①有

2ΛB-AB+2×6-16=2×0.45×36-0.9×12+2∙0.45∙CD-0.9CZ)

；•AB-4=21.6,

."8=25.6.

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求

得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解

题的关键.

3.数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为/=1：

2.4,小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45。，他沿着斜坡行走13米到达点F

处，在厂测得建筑物顶端C处的仰角为35。，小明的身高忽略不计.则建筑物的CO高度约

为()(参考数据：si“35°≈0.6,CoS35°≈0.8,ton35o≈0.7)

A.28.0米B.28.7米C.39.7米D.44.7米

【答案】D

【分析】过点F作FG_LBQ于G,FHLCD于H,设FG=尤米，则EG=2.4x米，在Rf△FGE

中，由勾股定理解得FG=5,EG=12,证明△COE是等腰直角三角形，W∣JCD=DE,设C∑>=y

米，在即尸中，由三角函数定义求解即可.

【详解】过点尸作FGLBD于G,FHLCD于H

则/077=35。，四边形QGF〃是矩形，

：.HF=DG,DH=FG,

Y斜坡4E的坡度为i=l：2.4,

设FG=X米，则EG=2.4X米，

在RtAFGE中，由勾股定理得：EF2=FG2+EG2,

即：132=/+(2.4x)2,

解得：x=5,

.,.FG=5,EG=12,

∙.,ZCED-45o,

是等腰直角三角形，

：.CD=DE,

设CO=y米，则CH=(v-5)米，

RtXCHF中,tanZCFH=——，

HF

y—5

即S"35°=y-j⅛,则y-2=%"35°x(y+12),

解得：产44.7,

即建筑物的CD高度约为44.7米:

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，根据题意作

出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

4.我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C

处测得该座建筑物顶点A的仰角为45。，沿着C向上走到30石米处的。点.再测得顶点4

的仰角为22。，已知Co的坡度：i=l：2,A、B、C、。在同一平面内，则高楼AB的高度为

()(参考数据；s%22°≈0.37,COS22°≈0.93,tan22o≈0A0)

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】作AHLED交EC的延长线于H,根据坡度的概念分别求出CE、DE,根据正切的

定义求出AB.

【详解】解：作A//_LED交的延长线于H,

设DE—x米,

∙.∙CQ的坡度：i=l：2,

.∙.CE=8x米，

由勾股定理得，DE2+CE2=CD∖即/+(2x)2=(30√5)2,

解得，X=30,

则。E=30米，CE=60米,

设48=.y米，则HE=y米,

.,.DH=y-30,

"：ZACB=45o,

BC=AB=y,

.∖AH=BE=y+60,

DH

在RmAHD中，tanΛDAH=tan22o=——

AH

y-30

贝El04

解得，y=90,

，高楼A8的高度为90米,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角

的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

5.如图，某大楼QE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情'’的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高

度CZ),小江从楼底点E向前行走30米到达点A,在4处测得宣传牌下端D的仰角为60。.小

江再沿斜坡AB行走26米到达点8,在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43。，已知斜坡

AB的坡度i=l：2.4,点A、B、C、D、E在同一平面内，CDLAE,宣传牌CO的高度约为

()(参考数据：sin43o≈0.68,cos43o≈0.73,tan43o≈0.93,√3≈1.73)

C.8.7米D.8.9米

【答案】A

【分析】过8分别作AAZ)E的垂线，设垂足为尸、G.分别在RtAABF和RtZMCE中,

通过解直角三角形求出8尸、A尸、。E的长，再求出"'即BG的长；在RtACBG中求出CG

的长，根据Cz)=CG+GE-。E即可求出宣传牌的高度.

【详解】解：过B作BRLAE,交EA的延长线于R作8G1.OE于G.

AB=26米,

ΛBF=10（米），AF=24（米），

.∙.8G=4F+AE=54（米），

RtASGC中，NC8G=43°,

CG≈βG∙tan43o≈54×0.93=50.22（米），

Rt△4£>£中，NoA£=60。，AE=30米，

ΛDE=√3AE=30λ^（米），

.∙.CQ=CG+GE-OE=50.22+1O-3O√3≈8.3（米）.

故选：A.

【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角：角形，将实际问题化归为

解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

6.如图，小明在距离地面30米的尸处测得A处的俯角为15°,B处的心角为60°,若斜面坡度

为】：行，则斜面AB的长是（）米.

A.20√6B.20√3C.20√2D.15√3

【答案】B

【分析】过点A作AFlBC于点尸，根据三角函数的定义得到NABF=30。，根据已知条件

得到/"PB=30°,ZAPB=45°.求得/HBP=60°,解直角三角形即可得到结论.

【详解】如图所示：过点A作AFIBC于点尸，

斜面坡度为1：百，

AF1

...tc,ιn^^AABDFΓ_==_-=二—

BF√33

.-.ZABF=30°，

在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,

:./HPB=30。,/APB=45°,

:./HBP=6O。,

：.ZPBA=90°,/8"=45。，

.-.PB=AB'

„_._PH30y/3

PpH=37On"2,5ZHAOOno=-----=-----=-----,

PBPB2

解得：P8=2M（W）,

⅛fcAβ=2O√3∕n,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度

坡角问题，正确得出尸B=AB是解题关键.

7.如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P

处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知8C=90米，且8、C、。在同一条直线上，山

坡坡度i=5：12,求此人从所在位置点P走到建筑物底部8点的路程（）米.（结果精确

4

到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53o≈-,tan63.4o≈2）

A.119.2B.137.1C.129.2D.127.1

【答案】D

【分析】首先过点P作于E,PHLBD于∙H,由题意可知i=/>”：CH=5：12,然后

AD

设PH=Sx,CH=I2x米，在RmABC中，ZACB=63.4°,BC=90米，则可得tan63.4°=—,

BC

利用正切函数的知识可求AB,在∕⅛AAEP中，NAPE=53°，利用正切函数可得关于X的方

程，从而得出P4,在Rg/WC中，利用勾股定理可求CP的长度，进一步可求此人从所在

在RtXABCΦ,

AR

,/ACB=634。，BC=90米，则tan63.40=——，

BC

.∙.A8=180（米），

在RfZiAE「中，ZAPE=53°,AE=AB-BE=I80-5x,BH=EP=BC+CH=9U+T2x,

血53。嗜180-5x4

90+12x^3,

解得X=?,

20

经检验工=,是原方程的解，且符合题意，

.∙.PH=5x=5χ型=吗米），

77

在心△/,HC中，PC="（5x）2+（12x）2=13X=早（米）,

故此人从所在位置点P走到建筑物底部8点的路程是：岑+90=拳a127.1（米）,

故选：D.

【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借

助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.

二、填空题

8.一名高山滑雪运动员沿着斜坡Fe滑行，他在点。处相对大树顶端A的仰角为30°,从。

点再滑行2同米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为45°,若斜坡CF的坡比

为i=l:3（点E,C,B在同一水平线上），则大树A8的高度米（结果保留根号）.

【答案】6+4√3

【分析】作。H,CE于"，解RtACDH,即可求出CH,过点Q作QGj于点G,

设BC=α米，用α表示出AG、DG,根据tan∕4QG=考列式计算得到答案.

【详解】解：过点。作。HLCE于点H,过点£＞作力GLAB于点G,设BC=4米，

由题意知CD=2炳米，

:斜坡CF的坡比为i=l：3,

■.•DH=—1.

CH3

设£)H=X米，则CH=3x米,

,：DH2+CH2=DC2,

：.X2+(3x)2=(2√lθ)2,

∖x=2,

・・。〃=2米，CH=6米,

o

∖∙ZDHB=NDGB=ZABC=90f

・・・四边形DHBG为矩形，

・・・D”=BG=2米，DG=BH=(〃+6)米,

∙/NACB=45。,

ΛBC=AB=a(米)，

：.AG=(α-2)米，

,.∙NAoG=30。，

•AGʌ/ɜ

•∙atnaon30=------=—,

.α-2√3

••=---，

a+63

・∙α=6+4∖∕3,

∙"∙AB=6+4∙∖∕3，

故答案为：6+4>∕3.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰

角俯角的概念是解题的关键.

9.如图，小明在尸处测得A处的俯角为15。，B处的俯角为60。，PB=30m.若斜面AB坡

度为1:0，则斜坡AB的长是m.

【答案】30

【分析】根据斜面AB坡度为1:6,求出NABF=30。，再利用角之间的关系求出

ZAP8=60°-15°=45°,NPAB=45°,进步得到PB=AB=30m.

【详解】解：•；斜面月B坡度为i：Ji，

tanNA8尸=J==无，即NAB∕7=30°,

√33

：在P处测得4处的俯角为15o,B处的俯角为60。,

ZHPB=90°-60°=30°，

.,.ZHBP=60°,

.,.ZPBA=90°,

VZAPB=60°-15°=45°,

.∙.NPAB=45。，

PB=AB,

∙.∙PB=30m，

∙,∙AB=30m,

故答案为：30

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出P8=A8是解题关键.

三、解答题

10.大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，

一小组先在附近一楼房CD的底端C点,用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B

处的仰角是72。，另一小组到该楼房顶端。点处观测AB大楼底部A处的俯角是30。，已知

楼房Co高约是45米,根据以上观测数据求48大楼的高(精确到0.1米).(已知：百≈1.73,

sin72o≈0.951,cos72o≈0.034,tan72o≈3.08)

【答案】241.3米

【分析】过E作E尸，A8于尸，则四边形ACEF是矩形，得至I」EF=AC,AF=CE,利用三角

函数在aAACQ中求出AC,在放ABEF中求出5F,即可得到48大楼的高.

【详解】解：过E作EZjLAB于凡则四边形ACE尸是矩形，

：.EF=AC,AF=CE,

B

C

在他AACQ中，NDAC=30°,8=45,

AC=S—-45>∕3,

tan30°

在RtABEF中，Z8EF=72°,EF=AC=45√3，

8尸=EF∙tan72°=45√5x3.08=239.78,

AB=AF+8尸=239.78+1.5≈241.3（米）,

答：48大楼的高为241.3米.

【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形解决问题是解

题的关键.

11.如图，坡A8的坡度为1：24,坡面长26米，BC1AC,现计划在斜坡中点。处挖去

部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线C4的平台DE和一条新的斜坡2E（请将下

面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：√3≈1.732）.

⑴若修建的斜坡BE的坡角（即/BEF）恰为45°,则此时平台DE的长为米；

（2）坡前有一建筑物GH,小明在。点测得建筑物顶部〃的仰角为30°,在坡底A点测得建筑

物顶部〃的仰角为60°,点8、C、A、G、〃在同一平面内，点C、A、G在同一条水平

直线上，问建筑物GH高为多少米？

【答案】（1）7.0

（2）建筑物GH高约为17.9米

【分析】（1）先利用勾股定理解直角ΔBC4求出BC=I0，AC=24，再证ΔBC4ABFD,

.BFFD≡4∙代入数值即可求解;

推u出lF=F

BCAC

（2）过点。作DPJ_AC,垂足为「，利用矩形的性质求出R4=AC-PC=12,MG=DP=5,

Z）M=PG=AP+AG=12+AG,解RtADMH可得HM=OM∙tan30o=*χ（12+AG），进而

得出GH=+MG=亭X（12+AG）+5,再解RtAHGA，列等式求出AG，则HG=√3AG.

【详解】（I）解：由题意知，ZBC4=90°，AB=26,1=/-，

AC2.4

•••设BC=无，则AC=2.4χ,

由勾股定理得：BC-+AC'=AB-,即/+(24x)2=262,

解得X=IO，

∙∙∙BC=10,AC=24.

•：NBEF=45。,NBFE=90°,

：•/FBE=NBEF=45。,

--BF=FE.

由题意，DF//AC^

/.NBDF=NBAC，

又•；NBCA=NBFE=90。,

∙∙∙ΔBC4WFD,

.BFFDBDl

"~BC~~AC~~AB~2'

：.AD-BD=-AB=H,BF=CFEF=LBC=5,DF=-AC=Il,

222

.∙.OE=OF—EF=I2-5=7.0(米)；

则平台。E的长为7.0m,

在矩形fDPC中,

DP=CF=5,PC=OF=12，

PA=AC-PC=U.

在矩形DPGM中，

MG=DP=5,OM=PG=AP+AG=12+AG,

在RtADMH中,HM=DMtan30°=#x(12+AG),

：•GH=∕∕M+Λ∕G=^-×(12+AG)÷5,

Z⅛4G≡60o,

(12+ΛG)+5

.∙.tan60o=j^^3=石'

AGAG

解得：AG=n+5y^.

2

.∙.HG=y∣3>AG=12λ^+15≈17.9(米),

2

即建筑物G”高约为17.9米.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩

形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊

角的三角函数值求解.

12.在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量.如图，在山坡坡脚C处测得该

建筑物顶端B的仰角为60。,沿山坡向上走20m到达。处,测得建筑物顶端B的仰角为30。.已

3

知山坡坡度i=3:4,即tan6=:，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.(结果精确到0.1m,

4

参考数据：√3≈1.732)

【答案】该建筑物AB的高度约为3∣.9m

【分析】如图，作DE工AC交AC于点E,作DFlAB交AB于点凡作CHlDF交Z)F于

点H,根据题意分别求出"和A厂的长，再根据AB=M+BF即可求解.

【详解】作Z)ElAC交AC于点E,作DFIAB交A8于点尸，作C"IDF交OF丁点H

则庞=AF,HF=AC,DH=CE

3

"."tanθ——

4

.∙.设QE=3χ,则CE=4x

B

在油ACDE中，NE=90°

∙>∙DE2+CE2=CD2

：.(3X)2+(4X)2=2O2

Λχ=4(负值舍去)

ADE=U>CE=I6

∙∙∙M=QE=12,DH=CE=16

设BF=y,则AB=(y+12)

在RNBDF中，NSDF=30°

RF

VIanZBDF=——

DF

：.DF=√3y

在RJABC中，ZACB=60°

ΛP

VtanZACB=—

AC

：.AC=争y+12)

即HF=AC=∖(y+12)

,-DF-FH=DH

√3γ--(y+12)=16

y=(6+8>∕3)

ΛB=BF+FA=6+8√3+12=18+8√3≈3l.9(m)

答：该建筑物AB的高度约为31.9m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助

线构造直角三角形是解题的关键.

13.如图，在建筑物。尸的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上,

斜坡A8的坡比为i=5：12,小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶4处，在坡顶A

处看建筑物的顶端。的仰角α为35°,然后小李沿斜坡AC走了2用米到达底部C点，B

知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为18。，（点A、B、C、D、E、尸在同一平面内）

4

建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米,求建筑物。尸的高度.（参考数据：cos35o≈-,

791

tan35?≈—,cos!8o≈—,tanl8o≈-）

【答案】40.8米

【分析】如图AGlBC于G,A///DF于”，连接ADCE,根据比例设AG=5χ,BG=12x,

结合勾股定理求出42,得到AG=I0,再次由勾股定理求出GC=8,设EP=机，然后利用

解宜角三角形，求出加=12,即可得到答案.

【详解】解：如图AGIBC于G,AHJ.DF于H，连接A0、CE,

,.∙AB的坡比比5:12,

设AG=5x,BG=12x,

在RtABG中，

2222

AB=y∣AG+BG=A∕(5X)+(12Λ-)=13X=26,

.,.x=2,

・・・AG=IO,

在Rt-AeG中，GC=4AC1-AG'=7(2√41)2-102=8.

EF1

设EF=m,在RhCf尸中，tany9=tanl8?—≈-,

CF=，

・・・四边形AGw是矩形，

.・・AH=GF=GC+CF=8+3m,

又,.・DH=DE+EH=DE+(EF-HF)=28.8+m-10=18.8+m,

在RtAHD中，tana=tan350=≈—,

AH10

.18.8+加〜7

8+3//110

∙.m-12，

∙∙.DF=DE+EFɪ28.8+12=40.8,

答：建筑物D/的高度为40.8米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意

作出正确的辅助线是解答此题的关键.

14.某工程队计划测量一信号塔OC的高度，由于特殊原因无法直达到信号塔OC底部，

因此计划借助坡面高度来测量信号塔OCC的高度.如图，在信号塔OC旁山坡脚A处测得

信号塔OC顶端C的仰角为70°,当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔OC顶

端C的仰角为45°.已知山坡的坡度1=1:24,且O,A,B在同一条直线上.请根据以上信

息求信号塔OC的高度.(侧倾器高度忽略不计，参考数据：sin70o≈0.94,cos70°«0.34,

tan70o≈2.7)

【答案】信号塔OC的高度约为27.0米

【分析】过点尸作PEL。B于点E,P∕U0C于点F,设PE=5x,则AE=12x,在RSAEP

中根据勾股定理可得(5x)2+(12x)2=i32,解方程求出X,设C尸=PF=加米，则OC=(m+5)米，

OC

OA=(〃?-12)米，在幻ZkAOC中，⅛tan70°=—=——求得胆的值，继而可得答案.

OAm-∖lr

【详解】解：如图，过点尸作PE，。B于点E,PF_LOC于点F,则四边形。FPE是矩形,

OF=PE,OE=PF,

C

PEIS

：.IanZPAE=—=—=—,

AE2.412

...设PE=5x,则AE=⑵,

在心ZiAEP中，由勾股定理得：（5X>+（12X）2=132,

解得：X=I或X=-I（舍去）,

：.PE=5,贝IJAE=I2,

∙/ZCPF=45o,PFlCF,

CF尸=N尸C尸=45°,

:∙CF=PF,

设CF=PF=，"米，则OC=（m+5）米，OA=（加一12）米,

m+5

在RtAAoC中,tan70°=---

OAm-12

解得：m≈22.0.

ΛOC≈22.0+5=27.0（米）

信号塔OC的高度约为27.0米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，矩形的性质与判定，解题

的关键是要求学生借助仰角关系构造宜角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

15.感恩回馈，传播文化.2022年3月份，河南省绝大部分景点实施免门票政策，其中去

篙山少林寺的人数量巨大.如图，王林进入景区之后沿直线BD行至山坡坡脚C处，测得检

票大厅顶点A的仰角为60°,沿山坡向上走到山门E处再测得检票大厅顶点A的仰角为37°,

己知山坡的坡比i=l:1.5,BC=48米.求王林所在山门E处的铅直高度.（结果精确到0.1.参

考数据:sin37°≈≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75,√3«1.73）

【答案】22.1米

【分析】根据解直角三角形求得AB=BC∙tan6（T=486（米），如图，过点E作即IAB于

点F,EGIBZ）于点G,则四边形EFBG是矩形,设EG=BE=X米,求得叮=BG=（48+1.5x）

米，歹IJ方程0.75（48+1.5%）=486-X,求解即可.

【详解】解：在RjABC中，BC=48米，NACS=60°,

AB=BC-tan60o=48√3（米）.

如图，过点E作即IABF点F,EG工BD于点G,则四边形EFBG是矩形，

EG1

在RLEGC中,i=tan∕ECG=m=-τ,

/.CG=ISx(米)，

EF=3G=(48+1.5x)米.

在Rf.AFE中，'=37°,

.*.AF=EF-tan37o≈0.75(48+1.5x);K.

又•：AF=A8-BF=(48λ回一x)米，

0.75(48+15x)=486-%，

解得x≈2Zl,BPEG«22.1（米）.

答：王林所在山门E处的铅直高度约为22.1米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

16.如图，某测绘小组在山坡坡脚A处测得信号发射塔尖C的仰角为56.31。，沿着山坡向上

走到P处再测得点C的仰角为36.85。，已知AP=20j访米，山坡的坡度i=l：3（坡度指坡

面的铅直高度与水平宽度的比），且人、B三点在同一条直线上，求塔尖C到地面的高度

CD的长.（测角仪的高度忽略不计，参考数据：sin56.310≈0.83,cos56.31o≈0.55,

tan56.31°«1.50,sin36.850≈0.60,cos36.85o≈0.80,tan36.850≈0.75）

【答案】约为130米

【分析】过点户作PMlQ）垂足为“，则四边形£）8PM是矩形，得DM=BP，MP=DB，

根据i=1:3,且AP=2θ√io,求出尸8,AB的长度：在RJCPM中，NCPM=36.85°,设CM=x，

34

由三角函数值求出PM=-CM=:x，在HJAC。中NCW=56.31°,CD=X+20，

43

2

ΛD=-(x+20),根据PM=BZ)=AB+AD列方程求出达即可得到CD长度.

【详解】解：过点咻PMICZ)垂足为“，则四边形DBPM是矩形：.DM=BP，MP=DB，

i=l:3,且AP=2θJΓδ,

:.PB=20,AB=60,

在RjCPM中，NCPM=36.85°,

设CM=X，

tan36.85°=-=-,

PM4

34

:.PM=—CM=-x,

43

在HJAC。中，NGW=56.31°，CD=X+20,

CDx+203

.,.tan56.31°=

ADAD^^2,

2

.∖AD=-(x+20),

PM=BD=AB+AD，

即gx=∣(x+20)+60,

.∙,X=11O.

=CM+DM=I30，

答：塔尖到地面的高度CD约为130米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，以及坡角问题，本题要求学生借

助仰角关系，构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

17.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡

脚4处测得大楼顶部M的仰角是58°,沿着山坡向上走75米到达8处.在B处测得大楼顶

部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度/=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

求大楼MN的高度.（图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内，N,A,C在同一水平线

上，参考数据：tan22o≈0.4,tan58o≈1.6）

【答案】大楼MN的高度为92米

【分析】过点B分别作BEj_4C,BFLMN,垂足分别为E、F,通过解直角三角形表示出

BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可.

过点8分别作BELAC,BFLMN,垂足分别为E、F,

ZBEA=ZBFN=NBFM=ZMNA=90。

四边形BENF为矩形，

:.BE=AN,BF=NE

设MN=X,

在RtAABE中,

斜坡AB的坡度i=3:4，即笠=?，

∕∖tL4

.∕nALBE3

AB5

AB=15

:.BE=45,AE=60

/.JRV=45

,∖MF=X-45

在RfAAMN中,tanZMAN=—,ZMAN=58°

AN

X

:.tan58°=-----≈1.6

AN

5

.∖AλκNτk-X

8

.∖NE=AN+AE^-x+60

8

MF

在RtABMF中，tanZMBF=―,NMBF=22°

BF

.∙.tan22o=^^≈0.4

BF

:.MXl(X-45)

^x+60=-∣(x-45)

解得x=92,

所以，大楼MN的高度为92米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构

造宜角三角形是解题的关键.

18.如图，公园内有一个垂直于地面的立柱4B,其旁边有一个坡面C。，坡角NQaV=30.在

阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，小明

测得直立于地面长60Cm的木杆的影长为90Cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高

度.

A

【答案】(I70+60百)Cm

【分析】延长4。交8N于点E,过点。作。尸，BN于点凡根据直角三角形的性质求出DF,

根据余弦的定义求出CF,根据题意求出£F,再根据题意列出比例式，计算即可.

【详解】解：延长AO交BN于点E,过点。作。尸于点F,

在RsCDF中，ZCFQ=90°,ZQCF=30°,

贝U。F=!CD=9O(cm),CF=CD∙cosZDCF=∖80×=90√3(cm),

22

DF609060

由题意得：—一,ιπψπ-----=一

EF90EF90

解得：EF=I35,

BE=BC+CF+EF=120+90√3+135=(255+90√3)cm，

∣∣ab60

人πι255+90斤90'

解得：AB=170+60√3,

答：立柱AB的高度为(∣70+6Oe)Cm.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是

数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算.

19.如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居

4

民楼前方有一斜坡，坡长CD=I5m,斜坡的倾斜角为*CoSa=W.小文在C点处测得楼顶

端A的仰角为60°，在。点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,C,。在同一平面内).

⑴求C,。两点的身度差；

(2)求居民楼的高度AB.(结果精确到1m，参考数据：√3≈ι.7)

【答案】⑴9m

(2)24m

【分析】(1)过点。作DE13C,交BC的延长线于点E，在RtVQCE中，可得

4

CE=CQ∙coSa=I5χg=12(m),再利用勾股定理可求出QE，即可得出答案.

(2)过点。作Z)FIAB于F，设AF=Xm,在RJADF中，tan30Q=-=—=^-,

DFDF3

解得O尸=√Jx,在Rt-ASC中，AB=(X+9)m,BC=(6r-i2)m,

tan60°嘿=京kʌ/i,求出*的值，即可得出答案.

(1)

解：过点。作DEIBC,交BC的延长线于点3

___A

□□

□□

□□

□□

□□

\

□□、

d

60/

BCE

4

在RtVQCE中，cos6r=-,Cz)=I5m,

4

.,.CE=CD∙cosσ=15×-=12(m).

:.DE=NCD2-CE?=√152-122=9(m).

答:C,。两点的高度差为9m.

(2)

过点。作D尸IAB于尸，

由题意可得M=Z)E，DF=BE,

设ΛF=x♦m,

在RtADF中，tan/AoF=tan30°="=上=且,

DFDF3

解得Of=√5x,

在RtAABC中，AB=AF+FB=AF+D