高中数学选择性必修三：7-5 正态分布（学案）

7.5正态分布

【学习目标】

课程标准素养要求

L通过误差模型,了解服从正态分布1.了解正态分布与标准正态分布的概念.(数学抽

的随机变量.通过具体实例、借助频象)

率分布直方图的几何直观,了解正态2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.(数学

分布的特征.抽象、直观想象)

2.了解正态分布的均值、标准差、方3.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态

差及其含义._____________________分布知识解决实际问题.(数学建模、数学运算)

【自主学习】

一、正态曲线

1(x-∙)2

函数。…(X)=72，，X∈(-8,+8),其中实数卜I和。0>0)为参数，以，0。)的图象

为，简称正态曲线.

二、正态分布

1.定义:若随机变量X的概率密度函数为f(χ),则称随机变量X服从正态分布；

2.记作:X~N(μ,σ2);

3.特例:当μ=—,σ=—时,称随机变量X服从标准正态分布.

思考1：正态曲线”“(X)中参数〃，。的意义是什么？

三、正态曲线的性质

正态曲线φ.伞)=后一，XeR有以下性质：

μ—.2,

1、曲线位于X轴,与X轴.

2、曲线是单峰的，它关于直线对称.

3、曲线在处达到峰值.

4、曲线与X轴之间的面积为.

5、当一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿X轴平移，如图①.

6、当〃一定时，曲线的形状由。确定，σ,曲线越“瘦高”，表示总体的分布越；

σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______,如图②.

四、正态变量在三个特殊区间内取值的概率

1、P(μ—σ<X<μ+σ)≈；

2、P(∕ι—2σ<X<μ+2σ)≈；

3、P(JI—3σ<X<∕∕+3σ)≈.

思考2：为什么正态分布中，通常认为X只取区间5—30,〃+3司内的值?

【小试牛刀】

1、思维辨析(对的打“J”，错的打“X”)

(1)正态曲线是一条钟形曲线.()

(2)函数””(x)中参数〃，α的意义分别是样本的均值与方差.()

(3)正态曲线是单峰的，其与X轴围成的面积是随参数〃，。的变化而变化的.()

(4)正态曲线可以关于)，轴对称.()

2.设X〜N(IO,0.64),则D(X)等于()

A.0.8B.0.64C.0.642D.6.4

【经典例题】

题型一正态分布密度曲线

点拨：正态密度函数解析式的求法

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴X=",

二是最值一⅛=,这两点确定以后，相应参数〃，。便确定了，代入便可求出相应的解析式.

σ∖2π

例1如图是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度

函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差.

【跟踪训练】设两个正态分布和c⅛)(σ2>0)

1Nql1,στ)(σ∙ι>O)N(U2,N(μι,σf)λ

的密度函数图象如图所示，则有()X∕ι

0^

O^.0

A.μ∖<μι,σ∖<σιB.μ1<μ2,σι>σ2J

54

C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σι>σ2S2

5。

.O-O.

题型二利用正态分布的性质求概率

点拨：正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与X轴之间面积为1.

(2)熟记Pal-σ<x<μ+σ),P(μ~2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<t∕+3Cr)的值.

⑶注意概率值的求解转化：

①P(XVa)=1-P(XNa);②P(XV〃一ɑ)=P(X≥∕∕+α):

广、“1—P(b<X<2μ-b)

③若b<μ,则P(XVb)=---------------2—----------

例2设X〜N(1,22),试求:

(1)P(-1<X<3);

(2)P(3<X<5).

【跟踪训练】2设随机变量服从正态分布N(2,9),若P("c+l)=P(O<c-l)恻c=.

题型三正态分布的实际应用

点拨：正态曲线的应用及求解策略

解答此类题目的关键在于将待求的问题向(//—σ,∕z+σ),(∕z-2σ,∕z+2σ),(j,ι-3σ,〃+3。)

这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思

想及数形结合思想.

例3在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布

M70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名.

⑴试问此次参赛的学生总数约为多少？

⑵若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多

少人？

附：P(IX一川<<7)=0.683,P(IX一川<2Q=0.955,P(IX—川<3。)=0.997.

【跟踪训练】3己知某种零件的尺寸。(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增

函数，在(80,+8)上是减函数，且/(80)=泵岔.

⑴求概率密度函数；

(2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几?

【当堂达标】

1.如图是当。分别取值6,。2,<73的三种正态曲线N(0,f)的图象,

那么<71,<72,<73的大小关系是()

A.σι>l>σ2>σ3>OB.O<σ1<σ2<l<σ3

C.σι>σ2>l>σ3>0D.O<σ1<σ2=l<σ3

2.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为

防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布N(O∙1,0.32),从已经

生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.刀内的概率为()

(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,o).则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545)

A.0.3174B.0.2718C.0.1359D.0.0456

3.某厂生产的零件外径4〜MlO004),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外

径分别为9.9Cm,9.3Cm,则可认为()

A.上午生产情况正常，下午生产情况异常

B.上午生产情况异常，下午生产情况正常

C.上午、下午生产悄况均正常

D.上午、下午生产情况均异常

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0∙84,则P(X<O)=.

5.数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似服从正态分布,且均值为

110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.

【课堂小结】

p(⅞l

-[对称性)

—[―高点)

曲线与工轴之

间的面积

集中、离

散程度.

【参考答案】

【自主学习】

一、正态分布密度曲线

二、01

思考1：参数〃反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X〜M∕Z,M),则E(X)=〃.同理,

参数。是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

1_

三、1.上方，不相交；2.x=μ;3.x=μ,4.1;5"；6.越小，集中，越大，分散.

σ∖∣2π,

四、0.68270.95450.9973

思考2：正态分布中变量X几乎总取值于区间3为〃+35之内，而在此区间以外取值的概

率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，故在实际应用中，通常认

为服从正态分布M/1，σ2)的随机变量X只取(//—3c,〃+3σ∣之内的值，简称“3小原则.

【小试牛刀】

1.(1)√(2)×(3)×(4)√

2.B解析：因为X〜N(IO,0.64),所以D(X)=O.64.

【经典例题】

例1解：从正态曲线可知，该正态曲线关于直线尤=20对称，最大值为苏，

所以〃=20,忘=所以°=6∙

1(Y—20)2

于是你,。(九)=泰∙e-J,x∈(-∞,+oo),总体随机变量的期望是〃=20,方差是『

=(√2)2=2.

【跟踪训练】1A解析：由正态分布N(μ,σ2)性质知，为正态密度函数图象的对称轴，

故川<彼.又o越小，图象越高瘦，故m<e.故选A.

例2解：因为X〜M1，22),所以〃=1,σ=2.

(l)P(-l<X<3)=P(l-2<X<∖+2)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827.

(2)因为P(3≤X≤5)=P(-3<X<-1),所以P(3VX≤5)

=∣[P(-3<X<5)-P(-1<X<3)]=∣[P(1-4<X≤1+4)-P(l-2<X<1+2)]

-2σ<X<μ+2σ)-PQi一σ<X<μ+σ)]

⅛0.9545-0.6827)=0.1359.

【跟踪训练】22解析：因为〃=2,由正态分布的定义知其图象(如图)关于直线尤=2对称,

c+1+c—1

于是£；=2,所以C=2∙

ʃ-l2c+1

例3解：(1)设参赛学生的成绩为X,因为X〜N(70,100),所以〃=70,σ=10,则

P(Λ≥90)=P(X<50)=^[1-P(50<X<90)]=∣[1-P^ι-2σ<X<μ+2σ)]=^×(1-0.955)=0.0225,

16÷0.0225«711(人).

因此，此次参赛学生的总数约为711.

⑵由P(X>80)=P(X<60)=^[1-P(60<X<80)]=∣×[1-P[μ~σ<X<μ+σ)1=^×(1-0.683)=0.1585,

得711χ0.1585≈113(人).

因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人.

【跟踪训练】3解：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80,+8)上是减函数，所以正

态曲线关于直线x=80对称，且在x=80处取得最大值，因此得〃=80.

后=诋所以0=8.

故密度函数解析式是φμ,Y*)=忐e∙

(2)由〃=80,。=8,得〃一。=80—8=72,"+o=80+8=88,

所以零件尺寸/位于区间(72,88)内的概率是0.6826.

因此尺寸在72mm〜88m