陕西省咸阳市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（含答案解析）

2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先将全称量词改为存在量词，再否定结论即可.【详解】“”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“，”.故选：B2.化简的结果为（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可.【详解】，故选：A3.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过举反例和不等式性质即可得答案.【详解】取，，有，A，B均错误．因为，，所以，C正确，D错误．故选:C.4.若幂函数的图象经过点，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可得出选项.【详解】设，函数图像经过，可得，解得，所以.故选：D.5.与函数的图象不相交的一条直线是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果.【详解】由，得，令，得．所以，函数的图象的一条渐近线为直线，即直线与函数的图象不相交．故选：C．【点睛】本题考查正切型函数图象渐近线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.6.若，则的值约为（）A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669【答案】A【解析】【分析】利用指对数互化与换底公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：A7.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.【详解】因为“不等式在上恒成立”，显然不满足题意，所以，解得，则“不等式在上恒成立”等价于，故要找的必要不充分条件需要被推出.对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误；对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误．故选：C．8.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A.12.7 B.25.3 C.101.3 D.50.7【答案】B【解析】【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】因为线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，，且取，又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函数的最小正周期为，即，解得，即线长约为cm.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】【分析】根据相等函数的定义域、值域和对应关系均相同判断即可.【详解】对于A，由于的定义域为，的定义域为，故A错误；对于B，由于，与的定义域与值域均为，且对应关系也相同，故B正确；对于C，由于的定义域为，的定义域为，故C错误；对于D，由于与的定义域均为，值域均为，且对应关系也相同，故D正确.故选：BD.10.下列选项中，与的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D.【详解】因为，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，可得，故D正确.故选：ABD.11.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（）A.的最大值为 B.的图象关于轴对称C.在上单调递增 D.的图象关于点成中心对称【答案】BD【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数，所以的最大值为，故A不正确；由于，所以为偶函数，故的图象关于轴对称，即B选项正确；当时，，由于在上单调递增，所以上单调递减，故C选项不正确；令，解得，当时，，所以的图象关于点成中心对称；故D选项正确；故选：BD12.已知实数满足（为常数），则下列关系式中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用数形结合思想进行求解判断即可.【详解】在同一直角坐标系内，画出函数、、的图象，当直线与三个函数图象都相交时如下图所示时，此时显然有；当直线与三个函数图象都相交时如下图所示时，此时显然有，当直线与三个函数图象都相交时如下图所示时，此时显然有，故选：ACD【点睛】方法点睛：关于方程根之间的大小比较方法一般是运用数形给合思想进行判断.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数是________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用弧长公式计算可得答案.【详解】该弧所对的圆心角（正角）的弧度数是.故答案为：.14.已知函数若，则实数________．【答案】3【解析】【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】由，故答案为：15.已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为________．【答案】【解析】【分析】根据关于直线对称的性质，结合对数型函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，因此，因为，所以，因此的值域为，故答案为：16.写出函数的一个单调递增区间为________．【答案】（答案不唯一，只要在或内即可）【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间即可得解.【详解】因为，又，所以为偶函数，故考虑在上的单调性即可；由，得，所以，又，由，得；由，得；故在上单调递增，在上单调递减，由对称性可知在上单调递增.故答案为：（答案不唯一，只要在或内即可）【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现为偶函数，从而研究在上的单调性即可.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知角的终边经过点.（1）求，，.（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用三角函数定义求值即可；（2）利用诱导公式先化简式子，再代入三角函数值即可求解.【小问1详解】由三角函数定义得，，．【小问2详解】.18.已知非空集合，函数的定义域为．（1）若，求；（2）在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）应用集合的补集与交集的运算即可；（2）分析出集合A、B的包含关系，结合数轴即可求解.【小问1详解】由得，当时，，或，所以，；【小问2详解】选①，则，由，得，所以，解得，所以满足条件的实数构成的集合．选②，则，由，得，所以，解得，所以满足条件的实数构成的集合．选③，由，得，所以或，解得所以满足条件的实数构成的集合．19.已知定义在上的函数为偶函数，且．（1）求的解析式；（2）判断并用单调性定义证明在单调性．【答案】（1）（2）在单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义和即可求解；（2）在单调递减，利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明.【小问1详解】由题意，，∴，∴a＝0，∵，∴b＝1，∴．【小问2详解】在单调递减，证明如下设，，∵，∴，，，，∴，即，∴在单调递减．20.若函数在上恰有两个零点，其中.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及正弦函数的图象，列不等式组结合整数限制条件即可求解；（2）由题意可得，再根据诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解.【小问1详解】∵，∴，∵在上恰有两个零点，∴，∵，∴；【小问2详解】由（1）得，则，∴，即，所以，即，所以.21.某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌.该公司制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为.（1）当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小?（2）若公司每张展牌的售价为550元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求?制作多少张展牌可盈利最大?（盈利总售价总成本）【答案】（1）100张（2）制作展牌张数需满足集合，125张【解析】【分析】（1）由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；（2）求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大.【小问1详解】由题意知制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为，故每张展牌的平均成本为（元），则（元），当且仅当，即时等号成立，当制作100张展牌时，能够使得每张展牌平均成本最小；【小问2详解】设公司盈利为元，则，令，则，故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合；又，当时，取到最大值16875，故制作125张展牌可盈利最大.22.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的