求异面直线所成角一个公式及求数列通项公式的6种方法

求异面直线所成角的一个公式求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。如图1，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内，AC和AB在α上的射影AB’所成的角为θ2，设∠BAC=θ，则有cosθ=cosθ1·cosθ2（证明略）。我们把该题作如下变形：在平面α内作一条平行于AC的直线l，显然l与AB异面，当θ2为锐角时，∠BAC的大小θ即为异面直线l与AB所成的角。如图2，设a、b是两条异面直线，bα，a为平面α上的射影记为c。若a与α所成的角为θ1，b与c所成的角为θ2，两条异面直线a和b所成的角为θ，则cosθ=cosθ1·cosθ2(*)。使用公式(*)时首先要确定θ1和θ2，而它们都与射影c有关。因此，如何恰当选择α，以便于作出a在α上的射影c就成了关键，下面以几道高考题为例。[例1]（1992年全国高考题）如图3所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，那么AM与CN所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）[解析]选平面AB1为公式中的α，显然CN、AM、BB1就是公式中的a、b、c。∵∴∴选D.[例2]（1990年全国高考题）如图4，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）（A）900（B）600（C）450（D）300[解析]选平面SCF为公式中的α，∵AB⊥平面SCF，∴SF为SA在平面SCF上的射影，SA、EF、SF分别为公式中的a、b、c，∵，∴∴选C.[例3]（1995年全国高考题）如图5，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BAC=900，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）[解析]选平面AC1为公式中的α，∵BC⊥AC，∴BC⊥平面AC1.∵D1F1//B1C1//BC，∴D1F1⊥平面AC1，∴CF1为BD1在平面AC1上的射影，直线BD1、AF1、CF1就是公式中的a、b、c.∵∴∴选A.[例4]（1996年全国高考题）如图6，正方形ABCD所在的平面与正方形ABCDEF所在的平面成600的二面角，则异面直线AD与BD所成角的余弦值是_______________.[解析]选平面BF为公式中的α，过D作DH⊥AF于H，∵BA⊥平面DAH，∴BA⊥DH，∴DH⊥平面BF。这样，AH为DA在平面BF上的射影，DA、BF、AH就是公式中的a、b、c。由条件，∴即为所求。[例5]（2000年上海高考题）如图7，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的大小为，求四面体ABCD的体积。[解析]选平面ABC为公式中的α，则AD、BE、AB即为公式中的a、b、c。设BD=x，则，而，由得x=4..[例6]（2002年全国高考题）如图8，正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1中，底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）（A）900（B）600（C）450（D）300[解析]选平面BC1为公式中的α过D作DH⊥BC于H，则DH⊥α，又E1G⊥α，∴C1H为E1D在α上的射影，E1D、BC1、C1H即为公式中的a、b、c.在直角梯形E1C1HD中，E1C1=，DH=，E1D=，∴C1H=，.在△C1BH中，BC1=，，∴.因此，.∴选B.公式(*)巧妙地把求异面直线所成的角的问题转化成了求线面角及同一平面内线线角的问题，不必添加过多的辅助线，运算上一般都化为解直角三角形的问题，也在一定程度上提高了运算的准确性。求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：裂项求和评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;=3\*GB3③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若，则两边分别相乘得，例4.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列{}的通项公式.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如,其中)型例6已知数列中，，求数列的通项公式。解法一：又是首项为2，公比为2的等比数列，即解法二：两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列中，求通项。答案：2．形如：(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可.=2\*GB3②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：=1\*romani.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即：,令，则,然后类型1，累加求通项.=2\*romanii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，=3\*romaniii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略**3．形如(其中k,b是常数，且)例8在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，=1\*GB3①时，，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即=2\*GB3②再由累加法可得.亦可联立=1\*GB3①=2\*GB3②解出.**5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案：.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，五、由和求通项已知数列的各项均为正数，且前n项和满足求数列的通项公式。例19已知数列的各项均为正数，且