2023-2024学年福建省厦门市思明区大同中学九年级（上）第二次月考数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年福建省厦门市思明区大同中学九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，每题仅一个正确选项，请把选项填涂在答题卡上）1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对这一平移过程描述正确的是（）A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度3．（4分）下列事件中，是随机事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球 C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6 D．画一个三角形，其内角和是180°4．（4分）正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．125．（4分）若⊙O的半径是3，点P到圆心O的距离是，那么点P与⊙O的关系是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定6．（4分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（）A．x（x+1）＝45 B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝457．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°（）A．70° B．110° C．135° D．140°8．（4分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200040005000800010000…摸到白球的次数m7491499298375160007501…摸到白球的频率0.74900.74950.74950.75020.7500.7501…根据试验结果可估算口袋中黑球有（）只．A．10 B．20 C．25 D．309．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y210．（4分）如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，D是以点C（0，4）为圆心，E是线段AD的中点，连接OE，则线段OE的最小值是（）A．2 B． C． D．3二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）点P（2，1）关于原点对称的点的坐标为．12．（4分）动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位．13．（4分）已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，那么不等式ax2+bx+c＜kx+b的解集是．14．（4分）掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m），抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时．15．（4分）如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是（结果保留π）．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接EF，取EF的中点H，AH．点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF，AE＝6；③AH平分∠DAB；④．三、解答题（共86分）17．（12分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）3y（y﹣1）＝2y﹣2．18．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（3，2），若△OAB绕点O逆时针旋转90°后1B1（A对应点是A1，B对应点是B1）．（1）画出△OA1B1，并直接写出A1的坐标；（2）求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）．19．（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京召开．在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，某校团委组织了“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为人，m＝；（2）学校将从获得一等奖的4名同学（1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．21．（11分）已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．请你按照步骤完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）①连接OP，OP长为半径作大圆O；②OP交小圆O于点N，B两点（点A在点B的上方）；③连接AO交小圆O于M（1）请证明PM是小圆O的切线．（2）延长AO交大圆O于C，连接CN，若OA＝2，求CN的长．22．（9分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（篱笆的宽度忽略不计）（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．23．（9分）已知，如图，AB为⊙O的直径，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D（1）求证：点P是△ABC的内心；（2）已知⊙O的直径是．求BC的长．24．（10分）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE．（1）如图1，若α＝120°，∠DEC＝90°①求∠BAC的度数；②直接写出的值．（2）如图2，若点M，N分别为BD，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD．25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，BD于点M，N．①求直线BD的解析式（用含a的式子表示）；②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若，求此时点P的横坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，每题仅一个正确选项，请把选项填涂在答题卡上）1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；B、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．2．（4分）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对这一平移过程描述正确的是（）A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+5）5，则这个平移过程正确的是向左平移了5个单位，故选：C．3．（4分）下列事件中，是随机事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球 C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6 D．画一个三角形，其内角和是180°【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，是必然事件；B、在一个只装了红球的袋子里，是不可能事件；C、在一副扑克牌中抽出一张，属于随机事件；D、画一个三角形，是必然事件；故选：C．4．（4分）正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：∵正多边形的中心角为45°，∴这个多边形的边数是360°÷45°＝8，∴正多边形的边数是8．故选：C．5．（4分）若⊙O的半径是3，点P到圆心O的距离是，那么点P与⊙O的关系是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【解答】解：2＝，∵8＜9，∴＜，∴2＜3，∵⊙O的半径是3，点P到圆心O的距离是，∴点P在⊙O内．故选：B．6．（4分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（）A．x（x+1）＝45 B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣4），∴共比赛了45场，∴x（x﹣5）＝45，故选：B．7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°（）A．70° B．110° C．135° D．140°【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°．故选：D．8．（4分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200040005000800010000…摸到白球的次数m7491499298375160007501…摸到白球的频率0.74900.74950.74950.75020.7500.7501…根据试验结果可估算口袋中黑球有（）只．A．10 B．20 C．25 D．30【解答】解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；∴摸到白球的概率为0.75，所以可估计口袋中白球的个数＝40×7.75＝30（个），黑球40﹣30＝10（个）．故选：A．9．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如图，∴对称轴是直线x＝﹣7，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，于是y4＞y2＞y3．故选：A．10．（4分）如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，D是以点C（0，4）为圆心，E是线段AD的中点，连接OE，则线段OE的最小值是（）A．2 B． C． D．3【解答】解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，∴A、B两点坐标为（﹣3、（2，∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝6，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝4．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）点P（2，1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，﹣1）．【解答】解：∵点P（2，1），∴关于原点对称的点是（﹣4，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣6）．12．（4分）动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位．【解答】解：∵动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，∴小刘的座位是靠窗的概率为，故答案为：．13．（4分）已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，那么不等式ax2+bx+c＜kx+b的解集是﹣2＜x＜．【解答】解：由图可知，不等式ax2+bx+c＜kx+b的解集是﹣2＜x＜．故答案为：﹣2＜x＜．14．（4分）掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m），抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时y＝﹣+x+．【解答】解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴该抛物线的顶点坐标为（5，3），∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）8+3，∵抛出时起点处高度为，∴该抛物线经过（0，）．∴a（0﹣3）8+3＝，∴a＝﹣．∴y关于x的函数表达式是y＝﹣+3＝﹣+．故答案为：y＝﹣+x+．15．（4分）如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是4π﹣4（结果保留π）．【解答】解：连接CD，在Rt△ACB中，AB＝，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×62﹣×（2）8＝4π﹣4．故答案为：2π﹣4．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接EF，取EF的中点H，AH．点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF，AE＝6；③AH平分∠DAB；④①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE＝∠FDG，∵FG⊥CD，∴∠FGD＝90°＝∠DAB，∴△ADE≌△GDF（AAS），故①正确；当点H和点G互相重合时，如图：∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵H是EF中点，FG⊥DC，∴∠HDE＝∠FDE＝45°＝∠DEH，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠HDE＝45°，∴∠AED＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC＝5，故②正确；如图：∵△DEF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∴∠DHE＝90°，∠EDH＝45°，∵∠DAE＝90°，∴∠DHE+∠DAE＝180°，∴D，H，E，A共圆，∴∠HAE＝∠EDH＝45°，∴∠DAH＝∠DAB﹣∠HAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAH＝∠HAE，∴AH平分∠DAB，故③正确；当E与A重合时，AH最短此时F与G都在DC上，∵△DEF是等腰直角三角形，H是EF中点，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AH＝＝＝3，∴AH最小为4，当E与B重合时，AH最大，如图：∵∠HAB＝45°，∴AK＝HK，∵BD＝＝10，∴BH＝＝5，设AK＝HK＝x，则BK＝8﹣x，∵BH2﹣BK6＝HK2＝AK2，∴（2）2﹣（6﹣x）2＝x2，解得x＝7（舍去）或x＝7，∴HK＝7，∴AH＝HK＝7，∴AH最大为3，∴3≤AH≤7；∴正确的有8个，故选：D．三、解答题（共86分）17．（12分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）3y（y﹣1）＝2y﹣2．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0，x2﹣7x+1＝2，（x﹣6）2＝2，x﹣8＝±，所以x1＝8+，x2＝8﹣；（2）3y（y﹣2）＝2y﹣2．4y（y﹣1）﹣2（y﹣8）＝0，（y﹣1）（3y﹣2）＝0，y﹣3＝0或3y﹣2＝0，所以y1＝3，y2＝．18．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（3，2），若△OAB绕点O逆时针旋转90°后1B1（A对应点是A1，B对应点是B1）．（1）画出△OA1B1，并直接写出A1的坐标；（2）求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求．点A4的坐标为（﹣4，1）．（2）由勾股定理得，OA＝，∴旋转过程中A点的运动路径长为＝．19．（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京召开．在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，某校团委组织了“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为40人，m＝30；（2）学校将从获得一等奖的4名同学（1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）获奖总人数为8÷20%＝40（人），C等级人数为40﹣（4+3+16）＝12（人），∴m%＝×100%＝30%，故答案为：40、30；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果数为6，所以抽取的同学恰好是1男1女的概率为＝．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴（﹣4）2﹣8×1×（2k+7）≥0，16﹣8k﹣3≥0，解得：k≤；（2）∵方程有两个实数根x1，x2，∴x3+x2＝4，∵x5﹣2x1﹣3x2+9＝5，∴x2﹣2（x3+x2）+9＝7，∴x2﹣2×6+9＝0，∴x8＝﹣1，∵x1+x5＝4，∴x1＝5，∵x1•x2＝7k+1，∴﹣1×4＝2k+1，解得：k＝﹣3．21．（11分）已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．请你按照步骤完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）①连接OP，OP长为半径作大圆O；②OP交小圆O于点N，B两点（点A在点B的上方）；③连接AO交小圆O于M（1）请证明PM是小圆O的切线．（2）延长AO交大圆O于C，连接CN，若OA＝2，求CN的长．【解答】（1）证明：如图：由题意得：OA＝OP，ON＝OM，∵AB为小圆的切线，∴ON⊥AB，∴∠ANO＝90°．在△PMO和△ANO中，，∴△PMO≌△ANO（SAS），∴∠PMO＝∠ANO＝90°，∴OM⊥PM，∵OM为小圆的半径，∴PM是小圆的切线；（2）连接BC，如图，∵OM＝ON，OM＝1∴ON＝1，∵AB为小圆的切线，∴ON⊥AB，∵AC为小圆的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴ON∥BC，∵OA＝OC，∴ON是△ABC的中位线，∴BC＝4ON＝2，∵AN＝＝＝，ON⊥AB，∴BN＝AN＝，在Rt△BCN中，CN＝＝＝；∴CN的长为．22．（9分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（篱笆的宽度忽略不计）（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m，根据题意得：x（60﹣3x）＝252，解得x＝6或x＝14，当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39；当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；（2）设AB的长为xm，菜园面积为ym5，由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x6+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，∵﹣4＜0，∴当x＜10时，y随x的增大而增大，∵x≤8，∴当x＝4时，y最大．答：该菜园面积的最大值为288平方米．23．（9分）已知，如图，AB为⊙O的直径，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D（1）求证：点P是△ABC的内心；（2）已知⊙O的直径是．求BC的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵弧AD＝弧BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB，∵PD＝BD，∴∠BPD＝∠PBD，∵∠BPD＝∠BCP+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠ABP，∵∠ABD＝∠DCB，∴∠CBP＝∠ABP，∴PB平分∠ABC，∴点P是△ABC的内心；（2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H∵AB是直径，∠ABD＝45°，∴AB＝5，△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×，∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH，∵BD2＝DH2+BH4，∴25＝（7﹣BH）2+BH6，∴BH＝3或4，∵BC＞AC，∴BC＝7．24．（10分）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE．（1）如图1，若α＝120°，∠DEC＝90°①求∠BAC的度数；②直接写出的值．（2）如图2，若点M，N分别为BD，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD．【解答】（1）解：①∵AB＝AD，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADB＝30°，∵AC＝AE，∠CAE＝120°，∴∠ACE＝∠AEC＝30°，∵∠DEC＝90°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝30°+90°＝120°，由旋转变换的性质可知∠ACB＝∠AED，∴∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°；②由①可知，∠ADB＝∠ADE＝30°，∴∠CDE＝60°，∵∠CED＝90°，∴∠ECD＝∠FDC＝30°，∴CF＝FD，∵∠D