基础夯实练82：二项分布、超几何分布、正态分布- 高三数学一轮复习

基础夯实练82二项分布、超几何分布、正态分布1.(2024·江苏盐城模拟)元宵节是中国非常重要的传统节日,某班级准备举行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是()A.72625 B.108625 C.1442.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等3.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.44.(多选题)(2024·广东茂名模拟)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则()A.μ=2 B.D(X)=2σ2C.p=23 D.D(3Y)=5.(2024·黑龙江实验中学模拟)设某车间的A类零件的厚度L(单位:mm)服从正态分布N(16,σ2),且P(16<L<18)=0.3.若从A类零件中随机选取200个,则零件厚度小于14mm的个数的方差为.

6.(2024·云南红河模拟)某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教育活动,增强学生的法律意识,提高自身保护能力,在全市中小学生范围内,组织了一次法律常识知识竞赛(满分100分),现从所有参赛学生的竞赛成绩中随机抽取200份,经统计,这200份成绩全部介于[30,100]之间,将数据按照[30,40),[40,50),…,[90,100]分成七组,得到如下频数分布表:竞赛成绩/分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数6143074422311(1)试估计该市竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和第80百分位数(保留一位小数);(2)以样本频率值作为概率的估计值,若从该市所有参与竞赛的学生中,随机抽取3名学生进行座谈,设抽到60分及以上的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.7.(2024·河南南阳模拟)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个,测量其内径的数据如下(单位:mm):192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.设这10个数据的均值为μ,标准差为σ.(1)求μ和σ;(2)已知这批零件的内径X(单位:mm)服从正态分布N(μ,σ2),若该车间又新购入一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:mm)分别为:181,190,198,204,213,如果你是该车间的负责人,以原设备生产性能为标准,试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试?并说明你的理由.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,0.99734≈0.99.8.(2024·四川宜宾模拟)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将调查所得到的频率视为概率.(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列及期望;(2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A,则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A中的这8名观众中随机抽取3名,记Y表示抽取的是“体育迷”的人数,求Y的分布列及方差.

参考答案1.C解析每次抽奖中,总情况数为C53=10种,获奖的共有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)这4种,所以从袋中一次性摸出三个球,获奖的概率为25.设5人中获奖人数为X,则X~B(5,25),所以P(X=3)=C53(2.D解析对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态分布N(10,σ2),则正态曲线的对称轴为直线x=10,故B正确;对于C,结合正态曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,故D错误.故选D.3.C解析ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ=0)=C133C153=2235,P(ξ=1)=所以ξ的分布列为ξ012P22121于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+4.AC解析对于A,B,因为X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,所以μ=2,故E(X)=μ=2,D(X)=σ2,选项A正确,选项B错误;对于C,因为Y~B(3,p),所以E(Y)=3p=E(X),所以3p=2,解得p=23,选项C正确对于D,D(3Y)=9D(Y)=9×3×23×(1-23)=6,故选AC.5.32解析依题意,得P(L<14)=P(L>18)=0.5-P(16<L<18)=0.2,若从A类零件中随机选取200个,则零件厚度小于14mm的个数服从X~B(200,0.2),所以D(X)=200×0.2×(1-0.2)=32.6.解(1)平均分x=35×6+45×14+55×30+65×74+75×42+85×23+95×11200≈67.3,前4组数据的频率之和为6+14+30+74200=0.62,前5组数据的频率之和为6+14+30+74+42200=0.83,故第80百分位数位于第5组内,设第80百分位数为x,则x=70+10×则该市竞赛成绩的平均分和第80百分位数分别约为67.3和78.6.(2)抽到60分及以上的学生的概率为74+42+23+11200=34,由题意,X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(则P(X=0)=C30(1-34)3=164,P(X=1)=C31(34)1(1-34)2=964,P(X=2)=C32(34)2(1-3所以X的分布列为X0123P192727所以E(X)=3×34=94或E(X)=0×164+17.解(1)μ=110×(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)σ2=110×(82+82+72+32+02+22+32+42+82+92)=36,故σ=36=(2)由题意得X~N(200,36),P(200-18≤X≤200+18)≈0.9973,即P(182≤X≤218)≈0.9973,所以五个零件的内径中恰有1个不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为C51(0.9973)4×(1-0.9973)≈0.013365,由题知试生产的5个零件中出现了1个内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的零件,所以小概率事件出现了,根据3σ原则,8.解(1)抽到的观众为“体育迷”的频率为(0.02+0.005)×10=0.25=14,用频率估计概率,可知从该地区大量电视观众中,随机抽取1名观众,该观众是“体育迷”的概率为14.由题意知X∴P(X=0)=C30×(34)3=2764;P(X=1)=C31×14×(34)2=2764;P(X=2)=C32×(1∴X的分布列为X0123P272791则期