第六章 杆系单元

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南京工业大学第六章杆系有限单元法庄海洋南京工业大学交通学院6.1结构离散与向量表示

工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。

(a)Liebherr塔式起重机(b)Liebherr履带式起重机(c)钢结构桥梁(d)埃菲尔铁塔

图8-1杆系结构6.1结构离散与向量表示

6.1.1结构离散化

由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段(一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：

a.杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。

b.结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。6.1结构离散与向量表示

c.变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。

d.对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。

e.在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其处理(a)结点载荷处理方式(b)等效结点载荷处理方式图6-2杆系结构离散化示意图

6.1.2坐标系图6-3坐标系示意图

为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。6.1结构离散与向量表示

6.1.3向量表示

在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。

刚架结构示意图(b)结点位移和结点力分向量图6-4平面刚架分析示意图6.1结构离散与向量表示

7结点位移列向量为

单元e结点位移列向量为

结点力向量为

单元e结点力列向量为

6.1结构离散与向量表示

86.2位移函数及单元的刚度矩阵

6.2.1轴向拉压杆单元的位移的函数

有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。

由单元结点位移，确定待定系数项当时，当时，所以用结点位移表示其中、分别表示当，时；，时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。

c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。6.2位移函数及单元的刚度矩阵

106.2.2梁单元平面弯曲的位移函数

梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量，，，，由材料力学知,各截面的转角:

故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数，，，的多项式单元结点位移条件当时，当时，6.2位移函数及单元的刚度矩阵

11称为形函数矩阵。

6.2位移函数及单元的刚度矩阵

6.2.3单元的应力应变

在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为

y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变图6-5弯曲应变计算示意图

——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。6.2位移函数及单元的刚度矩阵

6.2.4平面刚架梁单元的刚度矩阵

梁单元的i，j结点发生虚位移为

单元内相应的虚应变应为

由虚功原理有

由于结点虚位移的任意性，故上式可写成

上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。6.2位移函数及单元的刚度矩阵

横截面积A

横截面对形心轴z的静矩S

横截面对主惯性轴z的惯性矩I

得到四个33子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。

6.2位移函数及单元的刚度矩阵

平面桁架的单元刚度矩阵为

空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量

空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6×6的

6.2位移函数及单元的刚度矩阵

16

空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量

空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。

(a)杆单元i端产生单位位移(b)杆单元j端产生单位位移图3-6平面桁架单元刚度系数的物理意义(a)梁单元i端产生单位位移(b)梁单元j端产生单位位移

6.2位移函数及单元的刚度矩阵

(c)梁单元i端产生单位角位移(d)梁单元j端产生单位角位移图3-7平面刚架单元刚度系数的物理意义6.2.5单元的刚度矩阵的性质

a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。

b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。

c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。

d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。6.2位移函数及单元的刚度矩阵

186.3坐标变换及单元刚度矩阵

6.3.1坐标变换在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成

(a)向量转换分析(b)向量转换图3-8向量转换示意图19对于梁单元如图3-8(b)所示，则有可简写为

6.3坐标变换及单元刚度矩阵

20

同理式中——平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。

6.3.2整体坐标系下的单元刚度矩阵

式中——整体坐标下的单元刚度矩阵。

和一样，为对称阵、奇异阵。6.3坐标变换及单元刚度矩阵

216.4整体刚度矩阵

6.4.1整体刚度矩阵的建立

整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵，简称总刚。整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基础之上，因此研究对象以整体坐标系为依据。图3-9载荷向量示意图

如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为

22结构载荷列向量

结点位移列向量

对于结点1对于结点2对于结点3对于结点4建立结点平衡条件方程式如右表。6.4整体刚度矩阵

23用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。对于单元1有

简写为其中单元1的刚度矩阵关系式展开为

6.4整体刚度矩阵

24对于单元2有简写为其中单元2的刚度矩阵关系式展开为6.4整体刚度矩阵

25对于单元3有简写为其中单元3的刚度矩阵关系式展开为6.4整体刚度矩阵

26

单元刚度矩阵由2×2的子矩阵组成，每个子矩阵是3×3的方阵。的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得：

简写为称之为结构原始平衡方程。其中

为整体刚度矩阵。

6.4整体刚度矩阵

276.4.2整体刚度矩阵的集成

整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成n×n方阵后对号入座叠加得到。

对于单元1对于单元2

对于单元3

单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵

6.4整体刚度矩阵

6.4.3整体刚度矩阵的性质

整体刚度矩阵中位于主对角线上的子块，称为主子块，其余为副子块。

a.中主子块由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即

b.当结点i、

j为单元e的相关结点时，中副子块为该单元e相应的副子块，即。

c.当结点i、

j为非相关结点时，中副子块为零子块，即。

d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。

e.为对称方阵，

f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。6.4整体刚度矩阵

g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图6-10(a)。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。

图6-10整体刚度矩阵存储方法

h.整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。

(a)带状分布规律

(b)带状存储

6.4整体刚度矩阵

6.5约束处理及求解6.5.1约束处理的必要性

建立结构原始平衡方程式时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第2章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式做约束处理。约束处理后的方程称为基本平衡方程。统一记为3.5.2约束处理方法

约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。

下面以图6-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理。对于下图所示刚架结构设结点位移列向量为设结点载荷列向量为固定支座(b)支座强迫位移已知图6-11结构约束6.5约束处理及求解32其原始平衡方程式为

按照每个结点的位移分量将上式展开为6.5约束处理及求解

对于如图6-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。对于如图6-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。

(1)填0置1法如右图所示结点1、3处为固定支座，可知将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1，相应行和列上的其它元素均改为0。同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有6.5约束处理及求解则

也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为0的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。6.5约束处理及求解

处理后得基本平衡方程

(2)乘大数法右图所示刚架，结点1为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即

将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成N乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。6.5约束处理及求解得到由于N足够大，可以近似认为,则得出

同时得到求出位移之后，即可以求出结构的应力场。

6.5约束处理及求解

用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。6.6计算示例

设两杆的杆长和截面尺寸相同，

杆件长m。图3-12刚架受力简图6.6计算示例38结构离散化后将结构划分为4个结点、3个单元截面积

，惯性矩

(2)求结点载荷首先须求局部坐标系中固定端内力

(a)单元1作为两端固定梁反力示意图(b)单元2作为两端固定梁反力示意图