2022-2023学年湖南省衡阳市高一年级上册期末考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖南省衡阳市高一上册期末考试数学试卷

(含答案)

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.与-20。角终边相同的角是()

A.-300°B.-280°C.320°D.340°

2.不等式3x2-x-220的解集是。

x-1<x<lx<-1gJa>l>D.|x<-lg!cr>|-

A.卜.jx|-l<X<yC.xx

“x>l"是」<1"的()

3.

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数=—x—5的零点所在的一个区间是()

A.(-35-2)B.C.(-1,0)D.(0,1)

5.已知指数函数/(力=优，将函数“X)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为

原来的倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好

与函数“X)的图象重合，则”的值是()

3「拒

A.-B.1D.G

23

6.函数/(x)=2sin(<yx+g)(0>>0,机＜1)的部分图象如图所示，则/(%)=()

_昱旦

百

-6B.~C.2D.

已知函数/(x)=竺」在(2,+8)上单调递减，则实数。的取值范围

x-a

A.+00)B.(-1,1)

C.y,-1)5,2]D.Y,2)

8.已知20"=22，22"=23，a。=b，贝Ua，b,c的大小关系为()

A.c>a>/>B.b>a>cC,a>c>bD.a>b>c

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分)

9.下列说法中正确的是()

A.若a>b,贝->—B.若・2,1<b<2,贝!］-3<a-b<1

c+1c+1

C.若。>b>0,加>0,则竺<：D.若a>b,c>d,则

ab

10.下列各式中，值为!的是()

.5兀)I

A.sin—B.sin245℃.D.也tan210"

6222

ii.已知函数/(x)=；二;」g(x)=ig(GTT-x),则()

A.函数〃X)为偶函数B.函数g(x)为奇函数

C.函数/(x)=/(x)+g(x)在区间［-1,1］上的最大值与最小值之和为0

D.设尸(x)=/(x)+g(x),贝！|尸(24)+尸(一1一。)<0的解集为(1,一)

12.已知函数/(x)=sin(2x+?),则()

A.函数y=|/(x)|的最小正周期为1

B.直线x=£万是y=图象的一条对称轴

8

。(|万,0)是夕="刈图象的一个对称中心

71

D.若口>。时，/(°x)在区间12'」上单调，则。的取值范围是伍」或"羊

18」［48」

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上)

13.若函数/(x)=tan((yx+q)3*0)的最小正周期是5，则6y的取值可以是.(写出

一个即可).

14.已知函数/(x)=osinx+bx+l,若/(一1)=2,则/⑴=.

_,,、\aa>b,

15.已知:=,

lJ［ba<b.

设函数/(x)=max{2'4-卜-2|},若关于x的方程/(x)=f有三个不相等的实数解，则

实数的取值范围是.

16.设函数/(x)=2sin®x+/)—1(/>0),若对于任意实数。，〃x)在区间(,今上至

少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

sin2(^--a)•cos(2i-a)•tan(一万+a)

已知/(a)=-------；--------------；--------------.

sin(一"+aytan(-a+3))

(1)化简/(a)；

(2)若0£=-3手Izr，求/(a)的值.

18.(本小题满分12分)

已知集合/={x€R|210g2X》log2(2x)},集合8={x€R|(x-1)(x-a)<0}.a€R

(1)求集合Z：

(2)若8UCR/，求。的取值范围.

19.(本小题满分12分)

己知函数/")="+%a,beR，且该函数的图象经过点(一1，0)，

(1)求“，6的值；

(2)已知直线了=履+加(％/1)与x轴交于点7,且与函数/")的图像只有一个公共点.求

|。7|的最大值.(其中。为坐标原点)

20.(本小题满分12分)

比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力

来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对比亚

迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时

耗电量。(单位：wh)与速度x(单位：km/h)的数据如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量。与速度X的关系，现有以下三种函数模

型供选择：①0（刈=>3一2/+3：②&（x）=i1|）：2，（x）=3001ogax+Z）-

（1）当04x460时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并

求出相应的函数表达式；

（2）现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶50km,高速上行驶

300km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量。与速度x

的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x（单位：km/h）满足xw[80,120],且

每小时耗电量N（单位：wh）与速度x（单位：km/h）的关系满足

N（x）=2X2-10X+200（80<x<120））.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总

耗电量最少，最少总耗电量为多少？

21.（本小题满分12分）

已知sinx+cosx=t，[0,A/2].

⑴当且x是第四象限角时，求Sil?X-cos'x的值;

⑵若关于x的方程-sinxcosx+a(sinx+cosx)=l有实数根，求。的取值范围.

(-b3=(a-b)^a2+ab+b2^)

22.（本小题满分12分）

己知函数/（x）的定义域为若存在实数。，使得对于任意再e。都存在％e。满足

占+产）=”,则称函数/（X）为“自均值函数”，其中口称为/"）的“自均值数”.

（1）判断函数/（X）=2、是否为“自均值函数”，并说明理由：

1T

⑵若函数g（x）=sin（Gx+—）（69>0）,XW[0,1]为“自均值函数”，求公的取值范围；

⑶若函数〃（对=k+2工+3,工£[0,2]有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

参考答案：

I.D

【分析】由终边相同的角的性质即可求解.

【详解】因为与-20。角终边相同的角是-20。+360。*,keZ,

当〃=1时，这个角为340。，

只有选项D满足，其他选项不满足adZ.

故选：D.

2.C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】解:3X2-X-2=(3X+2)(X-1)>0

2

解得：x<--^c>1.

故选：C.

3.A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

11-r

【详解】解：因为一<1,所以——<0,—x)<0,

XX

，无<0或x〉l,

当x>l时，x<0或x>l一定成立，所以“x>l”是工<1”的充分条件；

X

当x<0或x>l时，x>l不一定成立，所以“x>l”是“2的不必要条件.

X

所以“x>r'是」<「’的充分不必要条件.

X

故选：A

4.B

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】V/(-3)=6>0,/(-2)=1>0,

/(-1)=-2<0,/(0)=T<0,

根据零点的存在性定理知，

函数/(x)的零点所在区间为(-2,-1).

故选：B

5.D

【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数。的等

式，进而可求得实数。的值.

【详解】由题意可得g（x）=3优，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到函数

f（x）=3ax~2,

又因为/（X）=",所以，优=3广2,整理可得。2=3,

因为”>0且aHl,解得a=也.

故选：D.

6.A

【解析】由函数/（X）的部分图像得到函数/（X）的最小正周期，求出。，代入（葛,2）求出。

值，则函数/（x）的解析式可求，取》="可得/（乃）的值.

【详解】由图像可得函数〃x）的最小正周期为T=2x冷，曰=%，则。亨=2.

又/（1^）=2sin（2x^+e）=2sin（K+s）=2,贝ijsin（系+9）=1,

Sir7T7T

则一+（p=2kn+—,AGZ,则0=24乃——,AGZ,

623

•.--y<<p<y,则左=0,<p=S贝lj/（x）=2sin（2x-.

/(^)=2sin(2^-y

故选：A.

【点睛】方法点睛：根据三角函数/（切=人由（5+9）+“2〉0皿>0,|同<以的部分图像

求函数解析式的方法：

⑴求A、b：A=-/("熊b-'f('x)「max+'/(\x/)mi.n

22

（2）求出函数的最小正周期T,进而得出。=票;

（3）取特殊点代入函数可求得。的值.

7.C

【分析】先用分离常数法得到/&）=£匚+°,由单调性列不等式组，求出实数”的取值范

x-a

围.

【详解】解：根据题意，函数/（X）二竺工/1）+，2T:土三a,

x-ax-ax-a

a2-l>0

若“X）在区间（2,+8）上单调递减，必有〈

。・2

解可得：a<-lngl<«-2,即a的取值范围为(f,2],

故选：C.

8.D

b

【详解】分另I」对20"=22，22=23,a0=b两边取对数，得。=log2022,b=log„23,c=log„b.

lg22lg23(lg22)2-lg204g23

a-b=log22-log23=

2022lg20-lg22_lg20-lg22

由基本不等式，得:

*/g23｛阳产野J.臂J、(等卜吟丫,

所以(lg22)2-lg2(Mg23>0,

即Q-6>0,所以〃>6>1.

Xc=logJ?<logua=l,所以〃>b>c.

故选：D.

9.AC

【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.

【详解】对于A,因夕+1>0,于是有上>0,而a>b,由不等式性质得士>工，A

C+1C+1C+1

正确；

对于B,因为1<6<2,所以同向不等式相加得-4<ad<2,B错误；

对于C,因为a乂>0,所以又因为加>0,所以C正确：

abab

对于D,T>—2且一2>-3,而(-1)•(-2)v(-2)(-3),即不一定成立,D错误.

故选：AC

10.ABD

【分析】利用诱导公式、指数幕的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值,

可得出合适的选项.

.5TT.(兀、.兀1

【详解】对于A选项,sin—=sin兀-----=sin-=-；

6I6)62

对于B选项，sin2

对于C选项，22

对于D选项，—tan2100=—tan(180^+30I)=—tan300=—x^-=l.

22v'2232

故选：ABD.

11.BCD

【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案

i_?xl-2-v1-2V

【详解】对于A：=定义域为火，/(-x)==一小)，

1+2-,1+2,

则〃X)为奇函数，故A错误；

对于B：g(x)=lg(Jx2+1-x),定义域为区,

g(-x)=lg(J(-x)2+1-(-x))=-lg(4+1-x)=-g(x),

则g(x)为奇函数，故B正确;

对于C：尸(x)=/(x)+g(x),/(x),g(x)都为奇函数，

则R(x)=/(x)+g(x)为奇函数,

尸(x)=/(x)+g(x)在区间上的最大值与最小值互为相反数,

必有尸(X)在区间［-1,1］上的最大值与最小值之和为0,故C正确;

1-2Vf2V+1-2则/(')在上为减函数,

对于D：/(x)*1,R

1+2'I2、+1,

1

g(x)=lg(Jx，+l-x)=lg，则g(x)在R上为减函数,

Vx2+1+x

则网x)=/(x)+g(x)在R上为减函数，

若尸(2a)+F(-l-a)<0即网2a)<F(l+a),

则必有2a>l+a,解得a>l,

即尸(2。)+/(一1一。)〈0的解集为(1,+8),故D正确；

故选：BCD

12.BCD

【详解】因为函数/(x)=sin(2x+?)的最小正周期为7=年=万，

而函数V=l/(x)l周期为'，故A错误；

当x=91时，/(—)=sinf2x—+—^sinC—)=-1,

88184J2

所以直线》=，乃是y=/(x)图象的一条对称轴，故B正确;

O

故C正确

X%/(—)=sinf237r7t

X——H-------=sin(外=0

8八8(84

0>0时，/3x)=sin(2<ox+&)在区间上单调,

4\_2

71兀~71

即2cox+-e0)714--,2①乃4---,

44

71八兀、兀

CD7C+—>0CO7T+—>—

442

所以或,

八1,3〃

2.M71+—<—2w+—<——

4242

解得0<刃4—或一,故D正确.

848

故选：BCD.

【点睛】（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于si〃a+cosa,s加z—cosa,s〃7G（cosa这三

个式子，利用（s山a土cosa）2=1±2sinacosa^\以知一求二.

⑵关于cosa的齐次式，往往化为关于的式子.

13.2或-2（写一个即可）

14.0

15.2<t<4

【分析】根据函数新定义求出函数/*）解析式，画出函数/*）的图象，利用转化的思想将方

程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t的范围.

【详解】由题意知，令21=4-卜-2|,解得x=0,x=x2,

f21-x,x<0

a,a>h..

根据max{a,b}=,A，得/（x）={4-k-2[Q<x<X2,

bya<b.

作出函数/（X）的图象如图所示,

得函数V=/(x)图象与直线夕=，有3个不同的交点，

由图象可得，当2<f<4时函数y=/(x)图象与直线y=f有3个不同的交点,

所以f的取值范围为2<f<4.

故答案为：2<f<4

16.：4<<y<—.

3

【分析】，=0x+8,只需要研究sin尸;的根的情况，借助于y=sinf和y的图像，根据

交点情况，列不等式组，解出。的取值范围.

【详解】令/(x)=0,贝！Jsin(3x+g)=g

令，=ox+9,贝！|sinf=L

2

TT341

则问题转化为N=sinf在区间了0+小丁0上至少有两个，至少有三个f,使得sinf=彳,

_44J2

求。的取值范围.

由题意列不等式的：

c/(3乃y(711c2

2^<1—69+^1-1—69+^9l<2^+—7T

解得：4<<y<y.

【点睛】研究尸4si〃3x+e)+8的性质通常用换元法(令t=(ox+(p),转化为研究y=sinf的

图像和性质较为方便.

17解：(])f(0)=sin2(冗-aAcos(2兀-a)“tan(一冗+a)=

sin(-兀+CI)*tan(-a+3冗)

.2

sina'ccisa.tuna,=sina・cosa…5分

(-sinCl)(-tana)

(/2八)・・・a=-3—1兀——=-w6X5兀——,

33

：.f(--^121)=cos(-.3.1兀.)sin(-.2兀_)=cos(-6X2兀且兀-)sin(-6

3332儿F

X2兀)=cos-52Lsin-52L=-1-x(-^-)=-…10分

18、解：(1)根据题意，集合4={xGR|210g2%2k)g2(2r)},即logzX?'logzZx，

则.x??2x,得x22,则集合/={X6R|X22},

_x>0

(2)CR/={X€R|X<2},又集合5={X€R|(x-1)(x-a)VO},

①当。=1时，(x-l)2<o,则无解，故8=0,满足BUCM，

②当a>l时，由(x-l)(x-a)<0,得IVxVa,若BUCM，则aW2,得l〈aW2,

③当aVl时，由(x-1)(x-a)<0,得a<x<l,显然满足8UC。，

综上所述，。的取值范围是(-8,2].

{a=\

19.(I)〈，:(II)1.

[p=-l

【分析】(I)根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于a,b的方程组，求解即得；

(H)设T&0),则直线丁="+加(％/1)方程可以写成y=A(xT),与函数y=/(x)=x-9关

立，消去V,利用判别式求得利用二次函数的性质求得“取得最大值1,进

而得到|。7|的最大值.

-a-b=0

a=1

【详解】(I)由已知得cb3，解得

h=-\,

22

(ID设T60),则直线夕=去+加(左W1)方程可以写成y=Z(xT),与函数y=/(x)=x-g联

立，消去儿并整理得("l)f—3+1=0

由已知得判别式枚一4亿一1)=0,r=4(：-/)，

当］=；时，产取得最大值1,所以|OTL=IL=L

20.【分析】(1)利用表格中数据进行排除即可得解：(2)在分段函数中分别利用均值不等

式和二次函数求出最值即可得解.

【详解】(1)解：对于③。3。)=300唳〃+6,当x=0时，它无意义，故不符合题意，

对于②&(x)=l-图,当x=10时，Q(10)=l-(|),又0＜图＜(|)=1，

所以。式10)=1-弓［＜1，故不符合题意，故选①QKM^N+CX,

由表中的数据可得，—X103-2X102+CX10=1420,解得C=160

50

.•.Q(x)=，f-2f+160x.(不需要说明理由，写对解析式即可)

(2)解：高速上行驶300km,所用时间为迎h,

则所耗电量为“X)=—-N(x)=­.(2x2-\0x+200)=6003000,

由对勾函数的性质可知，/(x)在［80,120］上单调递增,

/./Wmi„=/(80)=600x1-3000=45750wh,

国道上行驶50km,所用时间为一h,

则所耗电量为g(x)=^・Q(x)=2+160x)=x2-100x+8000,

xx\50)

：04x460,...当x=50时，g(x)mm=g(50)=5500wh,

当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50km/h时,

该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为45750+5500=51250wh.

⑵[")

【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出sinxcosx、sinx-cosx的值，再结合立方差

公式可求得所求代数式的值；

（2）由已知可得出-了+而一白。，回0,司，分f=0、0<区0两种情况讨论，在f=0

时直接验证即可，在0</4应时，由参变量分离法可得出“,结合基本不等式可

求得实数。的取值范围，综合可得结果.

【详解】(1)解：因为，=；,即sinx+cosx=；,则(sinx+cosx『=l+2sinxcosx=

3

即sinxcosx=——，

8

27

所以(sinx-cosx)”=l-2sinxcosx=-

因为x是第四象限角，则sinx<0,cosx>0,所以sinx-cosx<0,所以sinx-cosx=-也,

2

5g

所以sin，x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=一x

16~

可得sinxcosx=；(r-1),

(2)解：由(sinx+cosx)~=l+2sinxcosx,

贝!]方程-0出工（:。0%+〃（0足工+（:。0%）=1可化为一g产=0,/G^O,V2J.

①当f=0时，—；片0,显然方程无解；

②当rwO时，方程--=0等价于a=+.

222<t）

当0<f4忘时，由基本不等式可得;/|=1,当且仅当，=1时，等号成立,

又Z->0,/+1->+8,

t

故a女+加,

所以要使得关于X的方程-$布》（：0$》+0区”+（：0$》）=1有实数根，贝伯21.

故a的取值范围是

22.（1）不是，理由见解析：

-「5〃、

⑵[7-,+00）；

o

⑶-;或主豆

24

【分析】(1)假定函数/(x)=2,是“自均值函数”，由函数/(々)的值域与函数y=24-X|的值

域关系判断作答.

(2)根据给定定义可得函数g(Z)在［0J上的值域包含函数y=2a-再在［0,1］上的值域，由此

推理计算作答.

(3)根据给定定义可得函数〃(々)在［°，2］上的值域包含函数N=2。-玉在［0,2］上的值域，再借

助a值的唯一性即可推理计算作答.

(1)

假定函数〃冷=2,是“自均值函数”,显然〃x)=2，定义域为R,则存在aeR,对于%eR,

存在％eR,有•'；—=a,

即2-=2a-%，依题意，函数)=2%在R上的值域应包含函数y=2a-再在R上的值域，

而当x?eR时，/(%)值域是(0,+助，当时，y=2a-再的值域是R,显然(0,e)不包

含R，

所以函数八x)=2,不是“自均值函数”.

⑵

依题意，存在acR,对于％e［0,1］,存在％e［0,1］,有五土篝0=a,即sinQ%+2)=2a-%,

当王€［0,1］时，y=2a-xx的值域是［2a-1,2a］,因此g(x2)=sin®/+与在％e［0,1］的值域

6

包含［2a-1,2a］,

JTJTTT

当E［0,1］时，而69>0,则一WCOXjHG(DH,

666

ITTT1