数学模型复习题

1设某种新产品要推向市场，t时刻产品销售增长率与销售量x〔t〕成正比，设市场容量为N，试确定产品销售增长曲线。设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计说明与尚未购置该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有=kx(N=x)，(1043)其中k为比例系数，别离变量积分，可以解得x(t)=(1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由=以及=，当x(t*)＜N时，那么有＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)时，0;当x(t*)＞时，＜0；当x(t*)＜时，＞0．即当销量到达最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量缺乏N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查说明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户到达20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以到达最大的经济效益．2一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A元，银行的年利率为r，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？设月利率为r，按月按复利进行计算，第一个月存款所得的复利终值为=;第二个月存款所得的复利终值为=；第三个月存款所得的复利终值为=；······第五年的最后一个月存款所得的复利终值为=。五年后，养老金为F=++···+==3某人随身携带了两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n根火柴。每次使用时，随机地从其中一盒中取出一根，试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。我们不妨把使用一次火柴看作一次试验，每次试验的结果只有两个：取于甲盒〔记为A〕和取于乙盒〔记为〕由于使用时从任一盒中取，因此假设甲盒已空而乙盒还剩根火柴，那么在此之前一定已经取过2n-r次，其中恰好有n次取于甲盒，有r次取于乙盒，而第2n-r+1次必然抓了甲盒，因此这种情况的概率为假设乙盒已空而甲盒还剩r根火柴，同样的道理可得概率为因此一盒火柴已经用完另一盒中还剩根的概率为4在某城市中有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，其中每年有10%的教师从教师职业转为其他职业，又有1%的其他职业者转入教师职业，试预测10年后这15万人中有多少人还在从事教师职业。〔0.8910=0.3118〕用表示第年后做教师职业和其他职业的人数，那么。用矩阵表示教师职业和其他职业间的转移，表示每年有90%的人原来是教师现在还是教师；表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。表示每年有1%其它职业的人转为教师；表示其它职业的人每年有99%的人仍为其他职业。显然即一年后从事教师职业和其他职业的人数人别为1.485万及13.515万.又所以.为计算先需把对角化。即找出和相似的矩阵。,故可对角化。代入.得其对应特征向量.代入.得其对应特征向量.令，有,为的相似矩阵.,,而所以10年后.有1.54万人当教师，13.46万人从事其他职业。5一家石油公司的炼油厂提供两种无铅汽油燃料：无铅高级汽油和无铅普通汽油。炼油厂购置四种不同的石油原料，每种原料的化学成分分析、价格及购置上限见下表：原料种类含化学成分比例价格〔美元/加仑〕购置上限〔加仑〕ABC10.900.070.030.70400020.700.200.100.50600030.100.700.200.65500040.600.300.100.855000无铅高级汽油的售价是1.00美元/加仑，它应至少含有60%的A成分，20%的B成分，而不能超过10%的C成分。无铅普通汽油的售价是每加仑0.90美元，它应至少含有50%的A成分，15%的B成分，而不能超过15%的C成分。公司预测：无铅高级汽油的销售量为6000加仑，无铅普通汽油的销售量为9000加仑。试建立线性规划模型，确定每种汽油中各种原料的用量，使得公司获得最大的利润；设生产无铅高级汽油分别用到4种原料的量为x11,x12,x13,x14生产无铅普通汽油分别用到4种原料的量为x21,x22,x23,x24程序如下:model:max=0.3*x11+0.5*x12+0.35*x13+0.15*x14+0.2*x21+0.4*x22+0.25*x23+0.05*x24;!4种原料的购置上限;x11+x21<4000;x12+x22<6000;x13+x23<5000;x14+x24<5000;6假定雪球是半径为r的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的外表积，比例常数为k>0。两小时内融化了其体积的四分之一。问期于局部在多长时间内全部融化完？解由，令时，那么由时，得，，从而，从开始到全部融化所需时间为两小时起剩余局部需要小时能全部融化7某人用分期付款的方式购置一套住宅，其贷款了M元，还贷月利率为r，共贷款N年。此人采用每月还款金额固定减少的方式归还贷款〔即前一月与后一月还款金额之差保持不变〕，〔1〕试建立模型计算该人第一个月应归还多少贷款且今后每月应减少多少金额，可使其总支付费用最小。〔不需求解〕〔2〕试写出相应的MATLAB求解程序。8设层次分析法中某成比照拟矩阵为，试计算对应权向量并进行一致性检验。〔三阶矩阵随机一致性指标为0.58〕9设某航空公司开展新的航线，需要增加5架波音747客机。如果一次性购入，每架飞机的价格为5000万美金，飞机使用寿命为15年；如果采用租用飞机的方式，每年每架飞机需交纳600万美金的租金，租金以货币均匀流的方式支付。设银行的年利率为12%，试问该公司应该采用购置飞机还是租借飞机的方案。购置一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元．而同样租一架飞机使用15年，那么需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元．两种方案所支付的价值无法直接比拟，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比拟-我们以当前价值为准。购置一架飞机的当前价为5000万美元。

解：下面计算均匀货币流的当前价值：设t=0时向银行存入美元，按连续复利计算，t年后的A美元在t=0时的价值为美元，那么，对流量为a的均匀货币流，在[t,t+Δt]时所存入的美元，在t=0时的价格是

由微元法可知，当t从0变到T时，[0,T]周期内均匀流在t=0时的总价值可表示为

因此，