第九讲 集中量数

朱许强心理与教育统计学统计图统计图是整理和呈现数据的另一种方法，它把研究变量与被说明事物之间的数量关系用图形表现，直观、形象地表达出事物的全貌及其数据的分布特征，使人一目了然，便于理解和记忆，印象深刻。1、统计图的构成统计图一般由图号、标题、标目、图形、图注等几部分构成。统计图中的标目由基线和尺度线构成。对于有纵、横轴的统计图，一般以基线表示被观察的现象，而尺度线则表示其数量。

2、统计图的分类条形图：用直条的长短来表示统计项目数值大小的图形，主要是用来比较性质相似的间断型资料。

圆形图：是用于表示间断型资料比例的图形。圆形的面积表示一组数据的整体，圆中扇形的面积表示各组成部分所占的比例。各部分的比例一般用百分比表示。

单式条形图图2－1某年级操行评定结果条形图基线尺度线图形复式条形图图2－2某年级操行评定结果条形图例：图2-3三项影响较大的SARS信息对不同文化程度民众的影响

圆形图图2－4某年级操行评定结果圆形图基线尺度线绘制圆形图的步骤求出各组成部分所占的百分比求出各部分的中心角度以顺时针方向画出扇形标出不同颜色及百分比线形图

线形图用来表示连续型资料。它能表示两个变量之间的函数关系；一种事物随另一种事物变化的情况；某种事物随时间推移的发展趋势等。基于线形图，既可对有关统计变量进行数量比较，又可分析发展的趋势。

例如：对有意义的词汇，小学一年级至初中三年级学生视觉、听觉记忆再现率的情况。

图2－5有意义的材料再现率比较线形图八、次数分布表次数分布表是对杂乱无序的数据进行整理的重要手段，它能使我们对样本情况有个初步的了解，为今后进一步分析和研究问题提供很大方便。1、简单次数分布表员工对主管尽职情况的评定人数①非常不尽职②不尽职③不置可否④尽职⑤非常尽职93010256总计80表3-180名员工对部门主管尽职程度调查结果2、分组次数分布表成绩组中值频数累积频数95～97.52290～92.52485～87.53780～52.551275～77.582070～72.5113165～67.594060～62.554555～57.544950～52.525145～17.5152合计5252表3-2某班学生数学成绩次数分布表编制分组次数分布表的步骤求全距R=Xmax-Xmin决定组距i和组数k列出分组区间登记次数计算每组数据的次数f抄录新表3.相对次数分布表将次数分布表中各组的实际次数转化为相对次数，即用频数比率（f／N）或百分比（）来表示次数，就可以制成相对次数分布表。4、累加次数分布表

表3-3某班学生数学成绩累加次数分布表

成绩组中值频数累加频数累加百分比95～97.5223.8590～92.5247.6985～87.53713.4680～82.551254.0575～77.582038.4670～72.5113159.6265～67.594076.9260～62.554586.5455～57.544994.2350～52.525198.0845～47.5152100.0合计52525、双列次数分布表双列次数分布表又称相关次数分布表，是对有联系的两列变量用同一个表表示其次数分布。所谓有联系的两列变量，一般是指同一组被试中每个被试两种心理能力的分数或两种心理特点的指标，或同一组被试在两种实验条件下获得的结果。表3-431名学生视、听反应时测验结果听视100～120～140～160～180～200～220～Y230～210～190～170～150～130～110～1111211322331112111112478451X159843131十、次数分布图在编制次数分布表的基础上，可以绘制次数分布图，使一组数据特征更加直观和概括,而且还可以对数据的分布情况和变动趋势作粗略的分析。绘制次数分布图可以用已有的计算机程序，如EXCEL，也可以用专门的统计程序。1、频数分布直方图直方图(histogram)又称为等距直方图，是以矩形的面积表示连续性随机变量次数分布的图形。一般用纵轴表示数据的频数，用横轴表示数据的等距分组点，即各分组区间的上下限。直方图是统计学中常用而且又有特殊意义的一种统计图，有着重要的应用价值。例：根据第二讲中52个学生的数学成绩所作直方图图3-152名学生数学成绩分布的频数直方图4550556065707580859095100还可以做成下面这种形式图3-252名学生数学成绩次数分布直方图2、次数分布多边图次数分布多边形图（frequencypolygon）是一种表示连续性随机变量次数分布的线形图，属于次数分布图。凡是等距分组的可以用直方图表示的数据，都可用次数多边图来表示。绘制方法：以各分组区间的组中值为横坐标，以各组的频数为纵坐标，描点；将各点以直线连接即构成多边图形。图3-352名学生数学成绩分布图人数图3-452名学生数学成绩分布图人数成绩利用次数分布多边图还可以把几组资料放在一起进行比较。但需要注意的是，这时必须把数据的次数换算成百分比。图3-545页数据的次数分布图图3-6不正确的比较图3、累积次数分布图根据累积次数，可以绘制累积次数分布图。右图是累积次数分布直方图。累积次数分布曲线当数据的总数较多时，将累积次数分布图中的横坐标以每一分组区间的精确上限或精确下限表示，纵坐标以累积次数表示，则可绘制累积次数分布曲线，即累积曲线。图3-8累积次数分布曲线累积曲线可用于判断一组数据的大致分布形态。图3-9正态分布数据的累积曲线图3-10正偏态数据累积曲线图3-11负偏态数据累积曲线浏览网上资料，看看常用的有哪些统计图。请利用书上的数据或自己收集数据，试做几个漂亮的统计图。练习某大学四年级80名学生的毕业成绩如下：

5683766880926981627857817170596666756148845093827270498469669374706956746885539761525850739352746581685354956872948269606685905767758255466847895767755183685550试编制一个完整的次数分布表。第九讲集中量数集中量数用来表现数据资料的典型水平或集中趋势（centraltendency）。常用的集中量包括算术平均数、加权平均数、中位数和众数等等。集中量数是一个点集中量数是一组数据中最具代表性的值集中量数反应一组数据整体上的大小一、算术平均数算术平均数（arithmeticaverage

）一般简称为平均数（average）或均数、均值（mean）。一般用Ｍ，或者用表示。算术平均数是最常用的集中量。1．算术平均数的计算公式原始数据计算公式（4．１）由上述公式可得算术平均数的几个重要性质连加和计算规则次数分布表计算公式（4．２）表4-152名学生数学成绩平均数计算表成绩组中值Xc频数fF*Xc计算95－97.5219590－92.5218585－87.53262.580－52.55262.575－77.5862070－72.511797.565－67.59607.560－62.55312.555－57.5423050－52.5210545－17.5117.5合计523595.02、算术平均数的意义算术平均数是应用最普遍的一种集中量。它是“真值”（truescore）的最佳估计值。真值是反映某种现象的真实水平的分数。由于测量过程中的各种偶然因素的影响，真值往往很难得到。在实际测量中，往往采用“多次测量，取平均数”的方法，用平均数去估计真值。3、算术平均数的优缺点

算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些特点：反应灵敏、有公式严密确定、简明易懂、较少受抽样变动的影响、适合代数运算等等，因此是一个最常用的集中量。主要不足：容易受两极端数值的影响；一组数据中有模糊不清的数值时无法计算。优点缺点(1)反应灵敏(2)计算严密(3)计算简单(4)简明易解(5)适合于进一步用代数方法演算(6)较少受抽样变动的影响。

(1)易受极端数据的影响

(2)若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数五、算术平均数的优缺点4、计算和应用算术平均数的原则同质性原则：算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。平均数与个体数值相结合的原则：在解释个体特征时，既要看平均数，也要结合个体的数据。平均数与标准差、方差相结合原则：描述一组数据时既要分析其集中趋势，也要分析离散程度。所谓同质数据是指使用同一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数据。5、算术平均数的性质定理（1）在一组数据中每个变量与平均数之差(称为离均差)的总和等于0（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数c（3）在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C所得的平均数为原来的平均数乘以常数c（4）各个变量与平均数之差的平方和为最小，即每个数据与任一常数包括中数或众数之差的平方和都大于每个数据与平均数之差的平方和，这就是平均数的“最小平方”原理。二、中位数中位数（median）又称为中数，是按顺序排列的一组数据中位于中间位置的数。中位数是常用集中量的一种。一般用Md或Mdn表示。1、中数的定义中数(median)，又称中点数，中位数，中值，符号为Md或Mdn。中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。如果将数据依大小顺序排列，中数恰好位于中间，它将数据的数目分成较大的一半和较小的一半。中数是集中量数的一种，它能描述一组数据的典型情况，心理与教育研究工作中经常应用它。2、中数的计算方法根据中数的概念，首先将数据依其取值大小排序，然后找出位于中间的那个数，就是中数。此时又分几种情况：

1．一组数据中无重复数值的情况2．一组数据中有重复数值的情况(1)当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据时求中数的方法相同。(2)当重复数目位于数列中间，数据的个数为奇数的情形。(3)当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数的情形。中位数的计算方法原始数据计算法首先将一组数据按顺序排列3、中数的优缺点与应用（一）优点从中数的计算可以看出：中数是根据观测数据计算而来，不能凭主观臆定。计算简单，容易理解，中数的概念简单明白，这是它的优点。（二）缺点1．中数的计算不是每个数据都加入，其大小不受制于全体数据；反应不够灵敏，极端值的变化对中数不产生影响；2．中数受抽样影响较大，不如平均数稳定；3．计算时需要对数据先排列大小；4．中数乘以总数与数据的总和不相等（中数等于平均数时例外）；5．中数不能进一步代数运算，等等。因此，在一般情况下，中数不被普遍应用。次数分布表计算法由次数分布表计算中位数需要用到累积次数分布表。当表中数据的累积方向不同时，计算公式也不同。表4-252名学生数学成绩次数分布表成绩频数f累积频数95－25290－25085－34880－54575－84070－113265－92160－51255－4750－2345－11合计5274.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.51110987654321由下至上累积频数计算公式公式中:Lb为中位数所在组的精确下限

fb为中位数所在组下限以下的累积频数

n为数据总和

fMd为中位数所在组的频数

i为组距（4．3a）由上至下累积频数计算公式公式中:La为中位数所在组的精确上限

fa为中位数所在组上限以上的累积频数

n为数据总和

fMd为中位数所在组的频数

i为组距（4．3b）表4-352名学生数学成绩中位数计算表成绩频数f累积频数计算95252902508534880545758407011326592160512554750234511合计52２．百分位数百分位数的概念

百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值，一般用表示。百分位数的计算方法公式中:Lb为百分位数所在组的精确下限

fb为百分位数所在组下限以下的累积频数

p为百分数

n为数据总和

fp为百分位数所在组的频数

i为组距（4．4）３．中位数的特点及应用中位数是根据全部数据的个数来确定其位置的，意义简明，对按顺序排列的数据来讲，计算中位数也比较容易。中位数不受两端极端数据的影响，但反应不灵敏，也不适合进一步代数运算的要求。一般用于下列情况：一组数据中有极端数据时；一组数据中有个别数据不确切、不清楚时；资料属于等级性质时。三．众数众数（mode）用Mo表示，有两种定义：理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点；粗略众数是一组数据中出现次数最多的那个数。众数也是一种集中量，也可用来表示一组数据的集中趋势。１．众数的计算方法

观察法寻找粗略众数未分组数据中出现次数最多的数即为众数。次数分布表中，频数最多那一组数据的组中值，即为众数。公式法计算理论众数的近似值用公式计算的众数称为理论众数。一般在心理与教育统计中常用的公式有皮尔逊的经验公式和金氏插补法公式。皮尔逊经验公式金氏插补法（4．5）（4．6）皮尔逊经验公式只有当数据分布呈正态或接近正态时才能使用。当数据分布呈偏态时，一般用金氏插补法计算众数。2、使用条件（1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；（2）当一组数据出现不同质的情况时，可用众数表示典型情况，如工资收入、学生成绩等常以次数最多者为代表值；（3）当次数分布中有两极端的数目时，除了一般用中数外，有时也用众数（4）当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数与众数之差，作为表示次数分布是否偏态的指标。（5）当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多时，即次数分布中出现双众数(bimodal)时，也多用众数来表示数据分布形态3、众数的优缺点1．优点众数的概念简单明了，容