新版高中数学北师大版必修1习题第二章函数检测

第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下列的四个图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的为()解析:由函数的定义知A不是,因为集合M中1≤x≤2时,在N中无元素与之对应;C选项中的x=2对应的元素y=3∉N,所以C不是;D选项中的x=1时,在N中有两个元素与之对应,D也不是.答案:B2函数f(x)=(m+2)xm是幂函数,则实数m=()A.0 B.1 C.1 D.2解析:由m+2=1,得m=1.答案:C3设集合M={x|0≤x≤6},N={y|0≤y≤2},从M到N的对应法则f不是映射的是()A.f:x→y=12x B.f:x→y=1C.f:x→y=14x D.f:x→y=1解析:A不是映射,按照对应法则f,集合M中的元素6,在后一个集合B中没有元素与之对应,故不满足映射的定义.B,C,D是映射,因为按照对应法则f,集合M中的每一个元素,在后一个集合N中都有唯一的一个元素与之对应,故B,C,D满足映射的定义,故选A.答案:A4下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=x2-1x+1与y=x1 B.C.y=x0与y=1x0 D.y=x解析:选项A,D中,两个函数的定义域不同;选项B中,两个函数的定义域相同,但是对应关系不同;选项C中,两个函数的定义域与对应关系均相同,故选C.答案:C5已知函数f(x)=x-x2,x≤5,fA.3 B.1 C.1 D.2解析:f(6)=f(64)=f(2)=222=2,故选D.答案:D6函数f(x)=11-x+1+A.[1,+∞) B.[1,1)∪(1,+∞)C.(1,+∞) D.(∞,+∞)解析:要使f(x)有意义,只需1-x≠0,1+x≥0,答案:B7函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)在同一坐标系中的图像只能是()答案:C8下列函数中,在(0,2)上是增加的是()A.y=3x+1 B.y=x22x+3C.y=x D.y=4解析:选项A中y=3x+1,为一次函数,易知在区间(0,2)上是减少的;选项B中y=x22x+3,为二次函数,开口向上,对称轴为x=1,所以在区间(0,2)上是先减少后增加;选项C中y=x,为幂函数,易知在区间(0,2)上是增加的;选项D中y=4x,为反比例函数,易知在(∞,0)和(0,+∞)上均为减少的,所以函数在(0,2)上是减少的综上可知,y=x在区间(0,2)上是增加的,故选C.答案:C9若奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增加的,且最小值为5,则在区间[7,3]上是()A.增加的且有最小值5B.增加的且有最大值5C.减少的且有最小值5D.减少的且有最大值5解析:因为f(x)是奇函数,在区间[3,7]上是增加的,且最小值为5,所以f(x)在[7,3]上也是增加的,又奇函数图像关于原点对称,所以f(x)在[7,3]上有最小值5,故选B.答案:B10已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0解析:由f(0)=f(4)得4a+b=0,所以b=4a.又f(0)>f(1),所以a+b<0.所以3a<0,即a>0.答案:A11若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2x),则()A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)解析:由f(2+x)=f(2x)可知,函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向上,可得f(2)最小,又f(4)=f(2+2)=f(22)=f(0),当x<2时,y=f(x)是减少的,由0<1<2,得f(0)>f(1)>f(2),即f(2)<f(1)<f(4).答案:A12已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f52=()A.0 B.1C.1 D.5解析:因为xf(x+1)=(x+1)f(x),所以当x≠0时,有f(x+1)=(x令x=12,则f1即f12=f-又f(x)是偶函数,所以f12=0,f52=f1+32=32+1f答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13已知集合A={1,2,m}与集合B={4,7,13},若f:x→y=3x+1是从A到B的映射,则m的值为.

解析:若3m+1=4,则m=1与集合A={1,2,m}矛盾,若3m+1=7,则m=2,同理舍去,所以3m+1=13,即m=4.答案:414如果函数g(x)=2x-3,x>0,f(x),解析:设x<0,则x>0,g(x)=2x3.∵g(x)为奇函数,∴f(x)=g(x)=g(x)=2x+3.答案:2x+315已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=2,则实数a=.

解析:令x<0,则x>0,所以f(x)=x(1x).又f(x)为奇函数,所以当x<0时,有f(x)=x(1x).令f(a)=a(1a)=2,得a2a2=0,解得a=1或a=2(舍去),故答案为1.答案:116已知函数f(x)=x21+x2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f12+f13+f解析:∵f(x)=x2∴f1x∴f(x)+f1x=1再由f(1)=12,可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f12+f13+f14=f(1)+答案:7三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知二次函数f(x)=x2+2(12a)x+6在区间(∞,1)上是减少的.(1)求f(2)的取值范围;(2)比较f(2a1)与f(0)的大小.解:(1)∵二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=2a1,∴函数在(∞,2a1]上是减少的.∴1≤2a1.∴a≥0.而f(2)=22+2(12a)×2+6=8a+14,∴f(2)=148a≤14.(2)∵当x=2a1时,函数y=f(x)取最小值,∴f(2a1)≤f(0).18(12分)已知函数f(x)=3-(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图像;(2)写出f(x)的递增区间.解:(1)函数f(x)的图像如图.(2)由图像可知,函数f(x)的递增区间为[1,0]和[2,5].19(12分)已知函数f(x)=2x-1x+1,(1)判断f(x)在区间[3,5]上的单调性并证明;(2)求f(x)的最大值和最小值.解:(1)f(x)在区间[3,5]上是增加的,证明如下:f(x)=2x-1x任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,则f(x1)f(x2)=2=3x∵x1,x2∈[3,5],∴x1+1>0,x2+1>0,即(x1+1)(x2+1)>0.又x1<x2,∴x1x2<0.∴f(x1)<f(x2).∴f(x)=2x-1x(2)由(1)知,f(x)的最小值为f(3)=2×3-13+1=54;f(20(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1x).(1)求函数的解析式,并画出函数图像;(2)写出函数的单调区间及值域.解:(1)∵x≥0时,f(x)=x(1x),∴当x<0时,x>0,∴f(x)=x(1+x),又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=f(x),∴f(x)=x(1+x),即f(x)=x(1+x).综上可知,f(x)=x由函数的解析式可得其图像,如图.(2)由函数的图像可知,f(x)在-12,12上是增加的,在-∞,-1221(12分)已知函数f(x)=x22ax(a>0),求函数f(x)在[0,2]上的最大值g(a).解:函数f(x)=x22ax=(xa)2a2(a>0)的对称轴为直线x=a.①当0<a≤1时,g(a)=f(2)=44a;②当a>1时,g(a)=f(0)=0;故g(a)=422(12分)已知函数f(x)的定义域为[1,1],且f(1)=1,若x,y∈[1,1],有(xy)·[f(x)f(y)]>0.(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;(2)解不等式fx+12<f(1(3)若f(x)≤m22am+1对所有x∈[1,1],a∈[1,1]恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)在[1,1]上是增加的.证明如下:任取x1,x2∈[1,1],且x1<x2,则x2x1>0,由题意(x2x1)[f(x2)f(x1)]>0,得f(