第二章逻辑代数2011-yan

第2章数字技术基础2.1数制与编码

2.2逻辑代数

2.3逻辑函数的简化２.１数制与编码1.数制计数进位制的简称十进制０－９二进制八进制十六进制特点：数码为0～9，基数是10；运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。(1)十进制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2十进制数的权展开式：２.１数制与编码1.数制基本概念:

进位制：采用若干位数码进行计数，并规定进位规则的科学计数法为进位计数制，简称进位制。

基数：进位制中可能用到的数码个数。

位权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的数值大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。３３３.１２３＝？？？？1)基数R，逢R进一，2)有R个数字符号和小数点，数码Ki从0~(R-1)3)不同数位上的数具有不同的权值Ri。4)任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式

(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m(２)R进制数(３)二进制二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，可以用数字电路来实现，且运算规则简单。数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。(４)八进制八进制数的权展开式：如：(75.3)8＝7×81

＋5×80＋3×8－1＝(61.375)10各数位的权是8的幂数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。(５)十六进制十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是16的幂二进制（101）2，101B八进制（101）8，101O/Q十进制（101）10，101D十六进制（101）16，101H表示R进制转换为十进制十进制转换为R进制二、八、十六进制之间的相互转换

2.1.2数制转换(1)R进制数-->十进制数将R进制数按位权展开的方法表示，再按十进制运算规则进行相加按权展开相加例1.3（12AF.B4）16=(?)10(1)R进制数-->十进制数例1.1（11001）2＝(?)10解：（11001）2＝1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20

＝16＋8＋0＋0＋1＝(25)10

例1.2

（0.0101）2＝(?)10＝0＋0.25＋0＋0.0625＝(0.3125)10按权展开相加

余数

235

1

2171

280

240

220

1 (2)十进制

R最后余数为最高位(35)D=(100011)B

=(43)O(35)D=(?)B

(35)D=(?)

O35余数

43（整数部分：除R取余）注意：小数转换可能得不到完全相等的有限小数，取有效长度(2)十进制

R（小数：乘R取整）

解：0.75

×)2.50b-1=1______小数最高位

×)2.00b-2=1

______小数最低位11例

试将(0.75)10转换为二进制数(0.75)10=(0.11)2(35.75)10=(？)2整数部分和小数部分相加=(100011.11)2

整数部分

小数部分

2|26

余数

0.45

2|130

最低位

×)2

2|61

.90

b-1=0

最高位

2|30

×)2

2|11

.80

b-2=1

01

最高位

×)2

.60

b-3=1

×)2

.20

b-4=1

×)2

.40

b-5=0

最低位

01110例试将(26.45)10转换为二进制数，取小数五位。解：这是一个既有整数又有小数的十进制数，可将其两部分分别转换，然后相加。则：(26.45)10=(11010.01110)2

(1011110.11)B=001011110.110=(136.6)O(23.42)O=010011.100010=(10011.10001)B(3)二进制、八进制、十六进制转换每3位二进制变1位八进制(1011110.11)B=01011110.1100=(5E.C)H(23.42)H

=00100011.01000010 =(100011.0100001)B每4位二进制变1位十六进制二进制->八进制二进制->十六进制2.1.3几种常用的编码用约定的0,1数码组合来表示特定含义信息的代码称为编码。用4位二进制表示1位十进制数0000 0 0101 5 0001 1 0110 600102 0111 700113 1000 80100 4 1001 9 无效码1010

1011

1100

11011110

1111１、二-十进制码（BCD码）有权BCD码，各位的权值不同8421BCD5421BCD

2421BCD(1001)8421BCD=(1001)5421BCD=(1001)2421BCD=十进制数8421码十进制数2421码(A)十进制数2421码(B)十进制数5421码十进制数余3码十进制数格雷码00000000001000010000不出现00000000010001100012000120001000110001200102001030010300100010200113001130011400114001100011300104010040100不出现状态0100不出现0100101004011050101501010101010120101501116011060110011001103011060101701117011101110111401117010081000不出现状态10001000510005100091001100110016100161001不出现状态101010101010710107101010111011510118101181011110011006110091100911001101110171101不出现1101不出现110111108111081110111011101111911119111111111111权8421242124215421无权无权

表1.1常见的几种BCD编码例：

(132.8)D=(100110010.1000)8421BCD

有权码

842154214221242184-2-1无权码 余3码格雷码（循环码），奇偶校验码等循环码又称格雷码，特点：任意两个相邻码之间只有一位不同优点：减少了数字电路状态变换时出错的可能性。奇偶校验码在原有信息位的基础上增加若干位校验位，通过这些校验位来检出错误，进而纠正错误。具有校验位的信息码称为校验码。分奇校验和偶校验奇校验：在信息位前或后加一位校验位，使信息位和校验位中1的个数为奇数；偶校验：1的个数为偶数个奇偶校验只能检出奇数个倍数出错的情况，不能检出偶数个出错不能纠错，只能检错2.2逻辑代数

按一定的逻辑关系进行运算的代数，1.只有与，或，非三种基本运算2.处理的变量是0,12.2逻辑代数基本逻辑及其运算真值表与逻辑函数三个规则常用公式逻辑函数的标准形式1.与逻辑（逻辑乘）（AND）只有决定事件结果的全部条件同时具备时，结果才发生。ABY

ABY断开断开不亮断开闭合不亮闭合断开不亮闭合闭合灯亮与运算功能表2.2.1、基本逻辑及其运算1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮

ABY

000010100111与运算真值表与运算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示与运算表达式

Y=A·B=AB与逻辑功能口诀：有“0”出“0”；全“1”出“1”。

与门逻辑符号&AYBYABAYB1.与运算（逻辑乘）（AND）0·0=0

0·1=01·0=01·1=1与运算规则：1.与运算（逻辑乘）（AND）A·0=0A·1=AA·A=A

2.或运算（逻辑加）（OR）

决定事件结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。BYA

ABY断开断开不亮断开闭合灯亮闭合断开灯亮闭合闭合灯亮或运算功能表1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮或运算符，也可用“∨”、“∪”表示或逻辑功能口诀：有“1”出“1”；全“0”出“0”。

ABY

000011101111或运算真值表或运算表达式

Y=A+B或门逻辑符号≥1

ABYYAB+

ABY2.或运算（逻辑加）（OR）0+0=0

0+1=11+0=11+1=1或运算规则：A+0=AA+1=1A+A=A

2.或运算（逻辑加）（OR）3.非运算（逻辑反）（NOT）

只要条件具备了，结果就不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。AY

AY

断开灯亮闭合不亮非运算功能表1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮“－”非逻辑运算符

AY

0110

非运算真值表非运算表达式

Y=A非门逻辑符号1AYYAAY3.非运算（逻辑反）（NOT）

非运算规则：

3.非运算（逻辑反）（NOT）（1）与非运算（NAND）

ABY

001011101110与非逻辑真值表与非逻辑表达式与非逻辑功能口诀：有“0”出“1”；全“1”出“0”。

&AYBYAB与非门逻辑符号AYB2.2.2.复合逻辑运算或非逻辑功能口诀：有“1”出“0”；全“0”出“1”。

ABY

001010100110或非逻辑真值表（2）或非运算（NOR）或非逻辑表达式或非门逻辑符号≥1

ABYYAB+

ABY2.2.2.复合逻辑运算与或非门逻辑符号（3）与或非运算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB≥1&与或非逻辑表达式ABCDY

001010100110与或非逻辑真值表YDCAB+2.2.2.复合逻辑运算异或逻辑功能口诀：同为“0”；异为“1”。

（4）异或运算（XOR）

ABY

000011101110异或逻辑真值表异或逻辑表达式异或门逻辑符号YAB=1AYBAYB⊕2.2.2.复合逻辑运算

异或运算规则：

2.2.2.复合逻辑运算同或逻辑功能口诀：同为“1”；异为“0”。

（5）同或运算（XNOR）

ABY

001010100111同或逻辑真值表同或逻辑表达式⊙异或与同或互为反运算：⊙⊙2.2.2.复合逻辑运算同或门逻辑符号AYBA⊙YB=1AYB0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1

同或运算规则：

2.2.2.复合逻辑运算

异或与同或的关系：2.2.2.复合逻辑运算1.逻辑函数2.2.3逻辑函数F=ABC+ACG=AB+AC把逻辑问题的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。

所得的表达式F=f（A、B、C、...）称为逻辑函数。输入变量输出变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态逻辑函数真值表表示以表格方式将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。注:n个输入变量可以有2n个状态。ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”C开，F灭0000110逻辑函数式

挑出函数值为1的项1101111101111

每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项

这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC２.由真值表写出逻辑函数表达式与-或式

挑出函数值为1的项

每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项

这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC或-与式

挑出函数值为0的项

每个函数值为0的输入变量取值组合写成一个和项

这些和项作逻辑乘输入变量取值为1用反变量表示;反之，则用原变量表示或-与式

挑出函数值为0的项

每个函数值为0的输入变量取值组合写成一个和项

这些和项作逻辑乘输入变量取值为1用反变量表示;反之，则用原变量表示A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+CF=(A+B+C)(A+B+C))(A+B+C))(A+B+C)(A+B+C)ABCF00000100101110011011101100001101101111101111逻辑图F=ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现，和项用或门实现3、逻辑函数的相等(1)逻辑函数“相等”的概念定义:若F(A1,A2,…,An)为变量A1,A2,…,An的逻辑函数,G(A1,A2,…,An)为变量A1,A2,…,An的另一逻辑函数,如果对应于A1,A2,…,An的任意一组状态组合,F和G的值都相同，则称F和G是相等的。记作：F=G。举例：若F=A(B+C）G=AB+ACF与G是否相等？若F=A(B+C）G=AB+ACF与G是否相等？ABCF=A(B+C)G=AB+AC0000000100010000110010000101111101111111真值表F=G交换律结合律分配律AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A

(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)2.2.4.逻辑代数的基本定律、公式和规则反演律AB=A+BA+B=ABA⊙B=A⊕BA⊕

B=A⊙B１.逻辑代数的基本定律重叠律AA=AA+A=AA

⊕

A=0A

⊙A=1

代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立例：A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律（１）代入规则２、三个基本规则(2).反演规则返回反演规则的内容：将函数式F中所有的•++•

常数取反

（求反运算）互补运算2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F'显然：(变换时，原函数运算的先后顺序不变)1.运算顺序：先括号再乘法后加法。变量取反例1：

与或式注意括号注意括号

例2：

与或式反号不动反号不动

(3).对偶规则

对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：得到新函数式为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数

对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2

则F1′=F2′。•++•

常数取反新表达式：F'例：,求F'其对偶式注:1.函数式中有“

”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“

”换成“⊙”，“⊙”换成“

”。2.求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。

3.四个常用公式A+AB=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC（1）（2）AB+AB=A（3）（4）长中含短，留下短。长中含反，去掉反。正负相对，余全完。常用公式0-1律重叠律互补律还原律反演律自等律A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)长中含短，留下短。长中含反，去掉反。正负相对，余全完。证明方法（1）利用真值表例：用真值表证明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000

AB=A+BA+B=AB等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：例：证明包含律成立（2）利用基本定律常用公式举例1.原变量的吸收：A+AB=A（吸收律）证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。长中含短，留下短。2.反变量的吸收：证明：例如：被吸收长中含反，去掉反。消因律3.混合变量的吸收：证明：例如：1吸收正负相对，余全完。包含律函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式2.2.5逻辑函数的标准形式

五种常用表达式F(A、B、C)“与―或”式“或―与”式“与非―与非”式“或非―或非”式“与―或―非”式基本形式

表达式形式转换利用还原律利用反演律函数表达式的常用形式1.最小项及逻辑函数的标准与-或式1）最小项定义

在一个具有n变量的逻辑函数中，如果一个与项包含了所有n个的变量，而且每个变量都是以原变量或是反变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的与项就称为该逻辑函数的一个最小项。对于n个变量的全部最小项共有2n个。

例如，在三变量的逻辑函数F（A、B、C）中，它们组成的八个乘积项即、、、、、、、、都符合最小项的定义。因此，我们把这八个与项称为三变量逻辑函数F（A、B、C）的最小项。除此之外，还有、等与项，都不满足最小项的定义，所以，都不是三变量逻辑函数F（A、B、C）的最小项。

3变量最小项真值表

ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小项编号m0m1m2m3m4m5m6m72）最小项的性质

（1）对于任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。（2）不同最小项，使其值为1的变量取值也不相同。（3）对于变量的任意一组取值，任意两个不同最小项的乘积均为0。（4）对于变量的任意一组取值，全体最小项的和恒为1。

为了表达方便，人们通常用mi表示最小项，其下标i为最小项的编号。编号的方法是：最小项中的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如三变量最小项对应的变量取值为100，它对应的十进制数为4，因此，最小项的编号为m4。其余最小项的编号以此类推。3）最小项编号注意:

在规定n变量最小项的编号时，对变量的排列顺序是重要的。例如，把记作m4。其中隐含了A是最高位，而C是最低位这一排列顺序。4）标准与-或式（最小项之和）=m6+m4+m3又记为：这是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）排列，函数本身由3个最小项构成。上述表达式即为逻辑函数的最小项之和的标准形式。

由最小项的逻辑或的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的最小项之和的标准形式。如：2.最大项及逻辑函数的标准或-与式

在一个具有n变量的逻辑函数中，如果一个或项包含了所有n个的变量，而且每个变量都是以原变量或是反变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的或项就称为该逻辑函数的一个最大项。对于n个变量的全部最大项共有2n个。1）最大项定义例如，在三变量的逻辑函数F（A、B、C）中，它们组成的八个和项即都符合最大项的定义。因此，我们把这八个或项称为三变量逻辑函数F（A、B、C）的最大项。除此之外，还有、最大项。等或项，都不满足最大项的定义，都不是三变量逻辑函数F（A、B、C）的所以，

（1）对于任意一个最大项，有且仅有一组变量取值使其值为0，而其余各种变量取值均使它的值为1。

（2）不同最大项，使其值为0的变量取值也不相同。

（3）对于变量的任意一组取值，任意两个不同最大项的和均为1。

（4）对于变量的任意一组取值，全体最大项的积恒为0。

2）最大项的性质

因此，最大项的编号为M3其余最大项的编号以此类推3）最大项编号

最大项编号用Mi表示最大项，其下标i为最大项的编号。编号的方法是：最大项中的原变量取0，反变量取1，则最大项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最大项的编号。

如三变量最大项对应的变量取值为011，它对应的十进制数为3，

由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如：=M1M3M4又记为：是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）排列，函数本身由3个最大项构成。4）标准或-与式（最大项之积）3.将逻辑函数展开为

两种标准形式的方法

利用公式与将函数展开为两种标准形式例将函数展开为两种标准形式。A.配项法

解：（1）求最小项之和的标准形式…………将函数式变换为一般“与—或”表达式

…

运用公式变换为最小项之和的形式

=m1+m3+m6+m7=（2）求最大项之积的标准形式

=………将函数式变换为一般“或—与”表达式…运用=M0·M2·M4·M5公式变换为最大项之积的形式分配律

例将函数展开为两种标准形式。解作函数的真值表，如表(下页）所示。B.利用真值表展开为两种标准形式函数F的真值表ABCFABCF00011001001010100100110101111110=m0+m3+m4+m6由表可知：

用真值表求函数标准形式的方法：（1）利用真值表求最小项之和标准形式的方法：观察真值表，找出函数F为1的各项，作函数对应这些项的最小项，对于输入变量为1，则取输入变量本身，若输入变量为0，则取其反变量，再取这些最小项之和，即为所求函数的最小项之和标准形式。（2）利用真值表求最大项之积标准形式的方法：观察真值表，找出函数F为0的各项，作函数对应这些项的最大项，对于输入变量为0，则取输入变量本身，若输入变量为1，则取其反变量，再取这些最大项之积，即为所求函数的最大项之积标准形式。最小项和最大项的关系因为，

即：n变量的同一编号的最小项与最大项之间是互补的。又因为：(由真值表中0项可得)=m1+m2+m5+m7所以=M1·M2·M5·M7很明显，每个最大项对应真值表为0的某项。

逻辑电路所用门的数量少

每个门的输入端个数少

逻辑电路构成级数少

逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性2.3逻辑函数的化简函数的简化的目的代数化简法（公式法）图解法

列表法

逻辑函数的化简的方法逻辑函数的代数简化法举例1．消项法根据A+AB=A去掉多余的“与“项例1

化简逻辑函数

F=解：F=2．消元法根据消去多余的变量例2

化简逻辑函数F=解：F=例3

化简逻辑函数F=解：F=4．配项法根据A=A（）或对已知函数加项，使之便于简化。去掉多余的互补变量3．并项法根据BBAAB=+

例4

化简逻辑函数F=解F===例5：反变量吸收提出AB=1提出A5．综合几种方法

例6：反演配项被吸收被吸收

用代数的方法化简应使得逻辑函数式包含的项数以及变量数最少为原则；对于化简的结果，尤其较为复杂的结果，通常难于判断是否最简，因此我们还常常使用卡诺图的方法来化简逻辑函数。二、卡诺图化简法

卡诺图

卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。卡诺图构成原则如下：①N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；

②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。

逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。

几何相邻的含义：在卡诺图中的物理位置相邻。最小项:输入变量的每一种组合。1.卡诺图的画法：（二输入变量）ABY001011101110AB01010111输出变量Y的值输入变量三变量卡诺图的画法

1.卡诺图的画法

三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块；②将变量分为两组（A/BC或AB/C），两变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。③将变量取值对应的最小项填入对应的小方格。相邻相邻四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻对角线上不相邻。①4变量的卡诺图有24个小方块；②将变量分为两组（AB/CD），两变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。③将变量取值对应的最小项填入对应的小方格。

（1）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。例已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。

逻辑函数Y的真值表2.

用卡诺图表示逻辑函数

ABCY00000011010101101001101011001111Y的卡诺图

（2）从最小项表达式画卡诺图

把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。例画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。卡诺图

（3）从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。1111AB＝11例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD=1011ABCD=0111

（4）从一般形式表达式画卡诺图

先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。

（1）卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项，可消去变量。合并两个最小项，可消去一个变量；合并四个最小项，可消去两个变量；合并八个最小项，可消去三个变量。合并2N个最小项，可消去N个变量。3.卡诺图化简法

由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。两个最小项合并

m3m11BCD四个最小项合并

八个最小项合并

（2）利用卡诺图化简逻辑函数

A．基本步骤：

①画出逻辑函数的卡诺图；②合并相邻最小项（圈组）；③从圈组写出最简与或表达式。

关键是能否正确圈组。

B．正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；②每个取值为1的最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。

C．从圈组写最简与或表达式的方法：

①将每个圈用一个与项表示

圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量；

②将各与项相或，便得到最简与或表达式。例用卡诺图化简逻辑函数

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相邻A相邻BDABCABD例化简图示逻辑函数。解：多余的圈11223344圈组技巧(防止多圈组的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一种圈法的1；③最后圈大圈；④检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过。例用图解法化简逻辑函数

F（A,B,C,D）=∑m（0,2,5,6,7,9,14,15）例用图解法化简逻辑函数

F（A,B,C,D）=∑m（0,2,5,6,7,8,9,11,14,15）5.具有无关项的逻辑函数及其化简

①无关项的概念

对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用∑d（）表示。例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。

②具有无关项的逻辑函数及其化简

因为无关项的值可以根据需要取0或取1，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。

例设ABCD是十进制数X的二进制编码，当X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表。画卡诺图并化简。

充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值为1，而圈外无关项自动取值为0。利用无关项化简结果为：Y＝A＋BD＋BC

例化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示无关项。解：画函数的卡诺图并化简。结果为：Y＝CD＋CD

2.4逻辑门电路逻辑门电路的基本原理逻辑门电路应用的基本概念特殊逻辑门电路的逻辑符号和应用1.逻辑门电路的基本原理TTL型

以双极性型晶体管为主要器件晶体管工作于开关状态，使输出为高电平或低电平二极管：导通、截止三极管：截止、饱和，放大态只是短暂的过渡状态CMOS型以MOS管为主要器件（PMOS和NMOS互补）

MOS管有导通、截止两种状态，在电路中作为开关元件，使输出为高电平或低电平。二极管的开关特性

正向导通时UD(ON)≈0.7V（硅）

0.3V（锗）RD≈几Ω～几十Ω相当于开关闭合

二极管的伏安特性曲线反向截止时反向饱和电流极小反向电阻很大（约几百kΩ）相当于开关断开

二极管的伏安特性曲线二极管与门2.工作原理DaDbUYUaUb0003v3v03v3v3.真值表（状态表）4.输出函数式Y=A•B5.逻辑符号&YAB0O011011Y0001导通导通导通导通导通导通截止截止0.7V0.7V0.7V3.7vAB1.电路组成（以二输入为例）+VCCRABYDaDb设：VCC=5V，UIH=3v,UIL=0v二极管正向压降0.7V。1.电路组成(以二输入为例)

2.工作原理UaUb0003v3v03v3v3.真值表AB00011011Y01114.输出函数式Y=A+B5.逻辑符号截止截止截止截止导通导通导通导通DaDbUY2.3v2.3v2.3vYAB≥10二极管或门截止状态开关等效电路(1)截止状态VB<VE,VB<VCiB≈0,iC≈0,VO≈

VCC(2)放大状态VB>VE,VB<VCiC=ßiBVI↑VO↓三极管的开关特性

(3)饱和状态VB>VE,VB>VC,iB>iBS特点：UBES=0.7V，UCES=0.3V/硅-VEEVcc3.

真值表A01Y104.输出函数式

Y=A

5.逻辑符号1AY2.工作原理注：为了保证在输入低电平时三极管可靠截止，常将电路接成上图形式。由于接入了负电源VEE，即使输入低电平信号稍大于零，也能使三极管的基极为负电位，使三极管可靠截止，输出为高电平。1.电路原理图Ua03vT截止饱和UY0三极管非门（1）门电路的“封锁”和“打开”问题&ABCY当C=1时，Y=AB.1=AB与门打开，与功能成立。当C=0时，Y=AB.0=0与门封锁，与门不能工作。≥ABCY当C=1时，Y=A+B+1=1或门封