2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第04讲基本不等式（原卷版）

第4讲基本不等式思维导图知识梳理1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(q2,4)(简记：和定积最大)．核心素养分析理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.题型归纳题型1利用基本不等式求最值【例11】（2019·济南模拟）（1）已知，求的最大值；（2）已知，是正实数，且，求的最小值．【例12】（2019·辽宁模拟）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【例13】（2019·合肥调研）已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为________．【跟踪训练11】（2020春•湖北期中）已知，则的最小值为．【跟踪训练12】（2020•韶关二模）已知，，且，则的最小值是A．7 B．8 C．9 D．10【名师指导】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．4.两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．题型2利用基本不等式解决实际问题【例21】（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则A． B． C． D．【例22】（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高【跟踪训练21】（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元斤、元斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）．【名师指导】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．题型3基本不等式的综合应用【例31】（2020春•吉林月考）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为A． B． C． D．【例32】（2020春•广陵区校级期中）已知直线过圆的圆心，则的最小值为A．3 B． C．6 D．【例33】（2020•山东模拟）若，，则实数的取值范围为．【跟踪训练31】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量，且向量与向量平行，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【跟踪训练32】（2020•淮南一模）已知函数，满足，均为正实数），则的最小值为【名师指导】利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子