2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.经过点（0』）且与直线x+2y-1=0垂直的直线的方程为（

A.x+2y-2=0B.x-2y+2=0

C.2x-y+\=0D.2x+y-i=0

【正确答案】C

【分析】与直线x+2y-1=0垂直的直线的斜率为2,结合点斜式即可求解直线方程.

【详解】直线x+2y-l=0的斜率为一J

所以与直线x+2y-l=0垂直的直线的斜率为2,又过点（0,1）,

•••所求直线方程为：y=2x+\

即2x-y+1=0

故选：C

2.已知向量：;（2,-1,3）,（-4,2,。的夹角为钝角，则实数f的取值范围为（）

A.(-8,-6)q-6,—

【正确答案】B

【分析】根据向量：1（2,-1,3）,—（-4,2，。的夹角为钝角，可得1晨0,且「，不共线,

列出不等式，从而可得出答案.

【详解】解：因为向量：二（2,-1,3）,的夹角为钝角，

所以且不共线，

-'-|Q

则。山=一10+3/<0，得，<与"，

当时，，=-6,

的取值范围为

故选：B.

3.已知直线/：ax-V+l=O与圆C:(x-l)2+/=4相交于两点48,当。变化时，△N8C的

面积的最大值为()

A.1B.>/2C.2D.272

【正确答案】C

【分析】将△N8C的面积表示出来即可求出最大值.

【详解】因为直线直线/：奴-^+1=0恒过点(0,1)在圆内，所以直线与圆相交,

圆C:(X-1)2+/=4的圆心C(l,0)/=2,所以△NBC的面积的最大值为：

4.抛物线V=_i2x的准线与双曲线匚-片=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于

93

()

A.2B.C.373D.4

【正确答案】C

【分析】先求出抛物线/=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线方程，然后求出

其交点坐标，确定三角形底边和对应的高，利用面积公式求出三角形的面积.

【详解】解：抛物线/=-12x的准线为x=3,

双曲线二-己=1的两条渐近线方程分别为：y=Bx,y=-^-x，

9333

设准线x=3与这两条渐近线的交点分别为4B，则/(3,向,8(3,-6)

则|阴=20，

则准线x=3与两条渐近线所围成的三角形的面积为S=gxM@x3=gx2j5=W5

故选：C.

5.设。为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线/=4x上任意一点，若M是线段尸尸的中

点，则直线0"的斜率的最大值为（）

A.1B.1C.—D.3

323

【正确答案】A

【分析】设「（三,坊）,〃（》））,m是线段P尸的中点，得到》=与+,/=等，利用直线

2P44P2

%

的斜率公式，得到j自必=;春2？=二2二，结合基本不等式，即可求解.

£+2（L旦+国

44py1,P

【详解】由题意，抛物线V=4x的焦点坐标为尸（5,0）,

设产（9•，％），"（xj），〃是线段尸尸的中点，

2P

因为求斜率最大值，不妨设外＞0,

y»

所以直线。用的斜率自忖=言支-7FI

44/7%P4%P

当且仅当旦=为，即坊=。时等号成立，

VoP

所以直线OM的斜率的最大值为1.

故选：A.

6.已知数列｛勺｝中，q=l,%=3/T+4（〃WN，且〃N2）,则数列｛4｝通项公式％为（）

A.3"-'B.3,,+1-2C.3"-2D.3"

【正确答案】C

由已知得的=7,23=3进而确定数列0+2｝的通项公式，即可求%.

an-\+，

+

【详解】由4=1,。“=3。“-1+4知：a2=7Ji—=3(^>2),而q+2=3,々+2=9,

an-l+2

•••｛4+2｝是首项、公比都为3的等比数列,即%=3"-2,

故选：C

思路点睛：

1、构造辅助数列：上吟=3且q+2=3,%+2=9可得｛%+2｝的通项公式；

an-\+2

2、求｛%｝通项公式：由辅助数列通项公式直接写出

—1111

7.在数列｛““｝中，若q=0,an+l-an=2n,则一+—++-一的值为()

a2a3C7〃

n—\n+1_n-\

A.-----B・------C.-----D.——

nn/i+ln+1

【正确答案】A

【分析】利用累加法求得通项公式。“，

【详解】由己知=2,a3-a2=4,a4-a3=6,an-an_y=2(n-1),"22,

〃22时，

)=(〃一地『)+工〃(1)

4“=4+(%-《)+(%-%)+(。"-%-1)=。+2+4++2(〃-l

»

111111

...—+—4-+—=-----+------+4----------

a2a3an1x22x3

I2八23J[n-\nJnn

故选：A.

本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和.已知%+「%=/(〃)，可用

累加法求通项公式，已知—=/(〃)可用累乘法求通项公式.

%

8.已知定点片(-2,0),8(2,0),N是圆O:M+/=1上任意一点,点与关于点N的对称点为

M,线段大M的中垂线与直线耳〃相交于点则点尸的轨迹方程是()

2222

A./+匕=1B.x2--^-=lC.—+y2=lD.---y2=1

3333

【正确答案】B

【分析】由N是圆0:x2+/=i上任意一点，可得|ON|=-1,N为M耳的中点可求g,结

合垂直平分线的性质可得归用=|尸加|,从而可得归用-归用|=2为定值，由双曲线的定义即

可得结果.

【详解】如图，当点P在歹轴左侧时，连接。N,PF-贝！］|ON|=gEM=l,所以优M|=2.

结合PN为线段崎的垂直平分线，可得|尸周=1PM|=|尸闾-|居=I尸图-2,

所以归闻-|对|=2<山闾=4.

同理，当点尸在轴右侧时，|尸耳|-|尸闯=2<|耳玛1=4.

故点户的轨迹是双曲线，其方程为--己=1.

3

故选：B

本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型，并求圆锥曲线的方程，属

于中档题.

二、多选题

22

9.已知双曲线C:工上=1(Z>>a>0）的左、右焦点分别为百，玛，双曲线上存在点尸（点尸

a2b2

不与左、右顶点重合），使得耳=3/尸耳乙，则双曲线C的离心率的可能取值为（）

A.—B.73C.—D.2

22

【正确答案】BC

【分析】由6>“>0可得e>0，记NPBB=a,利用正弦定理结合双曲线及离心率的定义,

利用分比定理以及三角恒等变换公式化简离心率.然后利用余弦函数的性质得到离心率的取

值范围，进而做出判定.

【详解】-：b>a>0,则离心率6=J+4>应，则排除A；

记ZP耳玛="（0。<0<45。），俨周=加,\PF2\=n,

则NPF?F\=3a,m-n=2a,

2c_m-n_2a

由正弦定理结合分比定理可知：-^-=—

sin3asinasin4asin3a-sinasin3a-sina

sin4a_2sin2acos2a=2cosad6,2),

sin3a-sinasin(2a+a)-sin(2a-@

所以B,C是正确的，D不正确.

故选：BC.

10.已知抛物线C:/=2px（p>0）的焦点/到准线/的距离为2,则（）

A.焦点尸的坐标为（1,0）

B.过点47,0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线x+y-1=0与抛物线。相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆x2+V=5交于M,N两点，贝“MN|=4

【正确答案】ACD

【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.

【详解】由题可知抛物线方程为产=4x

对于A,焦点F的坐标为（1,0）,故A正确

对于B,过点4-1,0）有抛物线的2条切线，还有y=0,共3条直线与抛物线有且只有一个

交点，故B错误

[x-\-y-\=02,

对于C,\=>炉+44=0,弦长为

[y2=4x

也|必-%I=3小（必+%）2-4必%=0116+16=8,故C正确

工2-4-172—5

对于D,\2=>X2+4x-5=0,解得x=l（1=-5舍去），交点为。,±2）,有1MA1=4,

y=4x

故D正确

故选：ACD

11.已知单调递增的正项等比数列｛《,｝中，%-q=30,%-%=12,其公比为4,前〃项

和邑，则下列选项中正确的有（）

A.q=2B.仆=512C.S„=2a„-1D.S„<a„+l

【正确答案】AD

【分析】由已知条件解得等比数列｛%｝首项与公比后，即可得到数列｛““｝的通项公式及前〃

项和公式，代入验证各选项即可解决.

【详解】单调递增的正项等比数列中，公比为4（4>1）

Aa1=-32

a}q-ax=30卬=；或.

由，,可得1（舍）,

a”？_qq=]24=2q=2

则数列加,,｝的通项公式为%=2”,前n项和S,,=2（1-2，，）=2向-2

1—2

选项A.g=2判断正确;

8

选项B.a8=2=256^512判断错误;

选项C.2%-1=2x7-1=型-1工，判断错误；

选项D.%“=2向>2"”-2=S,判断正确.

故选：AD

12.如图所示，正方体N5C£>-/'8'C'。的棱长为1,E,尸分别是棱44',CC'的中点,

过直线EF的平面分别与棱88'，DD'交于前M,N,以下四个命题中正确的是（）

B.麻卜陷

C.四边形MEN尸的面积最小值与最大值之比为2:3

D.四棱锥力-MENF与多面体力8。-屈0//体积之比为1:3

【正确答案】ABD

【分析】证明平面进而得即可得A选项正确：证明四边形MENF

为菱形即可得B选项正确；由菱形性质得四边形MENF的面积尸，再分别讨论

MN的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.

【详解】对于A选项，如图，连接8。，B'D',MN.由题易得E尸，80,EFLBB',

BDcBB'=B>

所以EF上平面BDD'B',又仞Vu平面,所以EF_LKV,

因此MV-E/=0，故A正确.

对于B选项，由正方体性质得：平面8CU8'//平面/。）⑷，

平面8CC'8'平面EMFN=MF,平面平面EMFN=EN,所以MF//EN,

同理得ME7/NE,又EF1MN,所以四边形"ENF为菱形，

因止匕|加'W目故B正确.

对于C选项，由B易得四边形MEN/的面积S

2

所以当点M,N分别为88'，。。的中点时，四边形MEN/的面积S最小，

此时MN=EF=&，即面积S的最小值为1；

当点M,N分别与点8（或点（或。）重合时，四边形AffiMF的面积S最大，

此时即面积S的最大值为逅，

2

所以四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2:布，故C不正确.

对于D选项，四棱锥4-MEN/的体积

匕=-M-4EF+八-AEF=加以血=9近走=9

J340

因为E,尸分别是44',CC'的中点，所以BM=D'N,DN=B'M,于是被截面MEN尸平

分的两个多面体是完全相同的，

则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD-EMFN的体积匕=g/方体,〜®“=1，

所以四棱锥力-MENF与多面体/BCO-EWW体积之比为1:3,故D正确.

故选：ABD.

本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运

算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MEN5为菱形，利用割补法将四棱

锥/-户的体积转化为三棱锥尸和的体积之和，将多面体

ABCD-EMFN的体积转化为正方体的体积的一半求解.

三、填空题

13.圆C:(x-l)2+(y+l)2=4上至IJ直线/:x+y-C=O的距离为1的点的个数为

【正确答案】3

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径，，，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线

的距离d,由半径r-d=l,从而得到该圆上到直线x+y-亚=0的距离为1的点的个数即

可.

【详解】解：由圆的方程C:(x-l)2+(y+l)2=4,得到圆心坐标为C(L-l),半径厂=2,

二圆心到直线x+y-应=0的距离.=M=1<2,

Vi+i

.•,-1=1,则圆上到直线/:x+y-0=0的距离为1的点的个数为是3.

故3.

14.在平行六面体中，ABAD=ZA'AB=ZA'AD=60°,AB=3,AD=4,

AA'^5,则/C'=.

【正确答案】历.

在平行六面体中，利用对角线向量利用向量的平方等于向量模的平

方，结合向量数量积的运算律求得结果.

【详解】由平行六面体的特征可知AC''^AB+AD+AA'，

所以卜C『=(Z8+/O+A4')2=48+AD+AA'+2ABAD+2AB-AA^2ADAA'

=9+16+25+2x3x4x1+2x3x5x1+2x4x5x1

222

=50+12+15+20=97,

所以40=历,

故答案为.历

该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的运算，空间向量的平方等

于向量模的平方，向量数量积的运算法则，属于简单题目.

15.已知耳，鸟是双曲线工-_/=1的左、右焦点，双曲线上一点/＞满足|助|+|尸6|=6,

4

则^PFK的面积是.

【正确答案】2

【分析】假设P在左支上，由双曲线定义及已知条件可得I尸61=5,13|=1,再用余弦定理

求cosN百尸用，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△)=；6的面积.

【详解】不妨假设P在左支上，则|尸乙|-|尸耳1=2。=4,又|尸耳+|「库=6,

所以|P5|=5,|不|=1,而片|=2c=26，贝心。$4；尸6=3^尸=：,

7T4

所以有"€(0,5),故sin/与尸乙=《，

综上，△尸耳月的面积是:x|P5|x|PFJxsin/耳2鸟=2.

故2.

22

16.已知椭圆C:?+g-=l的左、右焦点分别为耳，JM为椭圆C上任意一点，N为圆

E:(x-3y+(y-2『=1上任意一点，则的最小值为.

【正确答案】2&-5

【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为再根据

\MN\2\ME\-\(当且仅当〃、N、E共线时取等号)，最后根据国才次|求得

的最小值.

【详解】如图，

由“为椭圆C上任意一点，则I"用+|岫|=4

又N为圆E:(x-3)2+(y-2)2=l上任意一点，则可N以〃同-1(当且仅当A/、N、E共线时

取等号)，

；.\MN\-\MFt\=\MN\-(4-M尸21)=W卜4W%卜怔,5W机+5,

当且仅当〃、N、E、行共线时等号成立.

•.,巴(1,0),E(3,2),则|EF/=J(3-l)2+(2_0)2=2衣,

：.\MN\-\MF\的最小值为2五-5.

故2屈.-5.

思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等

价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.

四、解答题

17.已知圆C：X2+/-2X-4J；-20=0

(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆。的标准方程；

(2)当/取何值时，直线船-夕+34+1=0与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长.

【正确答案】(l)(x-3f+(y+2)2=25；

⑵％=-4,4万

【分析】(1)根据斜率公式和中点公式，结合圆的标准方程进行求解即可；

(2)先判断直线过定点，利用圆的性质进行求解即可.

【详解】(1)圆心C(l,2),厂=5,设0(，”,“)，因为圆心C与。关于直线对称，所以

S—2x亚-2=0

-2-2=。(3,-2),厂=5

^=-2

22

所以圆。标准方程为：(X-3)+(^+2)=25;

(2)直线/过定点"(-3,1),当CM，/时，弦长最短，

七乂=—>k=-4

此时最短弦长为2,]r2-\CM[=2725-(7(^I)2+(1-2)2=4五.

18.数歹I」｛《,｝的前"项和5„=2a„-1,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若4=3〃-2,求数歹I」｛。也｝的前〃项和7；.

【正确答案】(l)a"=2"T

(2)[=(3〃-5)2"+5

【分析】(1)利用数列通项。.与前〃项和S”的关系求解.

(2)利用错位相减法求解.

【详解】(1)因为5“=2%-1,所以

当〃=1时,q=S]=2S]-1,所以q=1,

当心2时,4=-S〃T=(24-1)-(2勺_1-1)=2an-2an_x,

整理可得—=2,所以数列｛“"｝是以2为公比的等比数列，

an-\

所以。"=2"T.

(2)由(1)有：a也=(3”-2>2"T,所以

7；,=1X2°+4X2'+7X22+---+(3/?-5)X2,,-+(3«-2)X2"4,

27；,=lx2+4x22+7X25+---+(3n-5)x2-'+(3n-2)x2,

错位相减可得：

-7；=1+3X2+3X22+-..+3X2"T-(3〃-2)X2"

=l+3x(2+2〈+…+2"T)-(3〃-2)x2”

=1+，］21-("-2)2'，

所以7；=(3〃-5)2"+5

19.设/(-c,0),8伍,0乂。>0)为两定点，动点P到4点的距离与到B点的距离的比为定值

(1)求尸点的轨迹E方程；

(2)当“>1时，求AZB尸面积的最大值.

【正确答案】(1)当。=1时轨迹£的方程为x=0,当axl时，方程可化为

【分析】（1）设P（x,y）,根据已知条件列方程，化简求得轨迹E的方程.

（2）根据圆的几何性质求得△力8P面积的最大值.

P4

【详解】（1）设P（x,y）,依题意,=a,

化简可得(1—卜“+(1—)歹2+2c(1+b+c?卜0,

当。=1时，方程为x=0,

2

c(1+

当。二1时，方程可化为X----z--叫+

a2-1

所以当。=1时轨迹E的方程为x=0,当axl时•，方程可化为

c(l+a2)2

(2)当。＞1时，轨迹E的方程为x----z---+-y=

a2

C(1+Q2)、

K,。为圆心，半径为孕；的圆,

所以轨迹E是以

a-1

所以三角形△的面积的最大值为Rex含二言

20.如图，在四棱锥P-/8C。中，PC_L底面/BCD,Z5CD是直角梯形，AD1DC,

AB//DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.

(D线段P/上是否存在一点G,使得点。，C,E,G共面，存在请证明，不存在请说

明理由；

(II)若PC=2,求二面角P-ZC-E的余弦值.

【正确答案】(I)存在4的中点G满足条件.证明见解析；(II)逅.

3

(I)取"的中点G,连接GE,GD,根据平行的传递性，证明GE//QC,即可证明四点共

面；

(II)取48的中点。，连结CQ,以点C为坐标原点，分别以C。、CD、CP所在直线为x

轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可

求出结果.

【详解】证明：(I)存在尸/的中点G满足条件；

连接GE,GD,

因为点E是PB的中点，则GE是三角形尸Z8的中位线,

所以GE//AB,又由已知Z8//0C,

所以G£7/Z）C,所以G,E,C）。四点共面；

（II）取48的中点。，连结C。，以点C为坐标原点，分别以C。、CD、CP所在直线为x

轴、V轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为45=2/0=28=2,PC=2,

则C（0,0,0）,P（0,0,2）,4（1,1,0）,5（1,-1,0）,

--UU1"X/11）

.•.C4=（1,1,0）,CP=（0,0,2）,CE=\-,--,i\

设加=a，M，Z|）为平面PAC的一个法向量，

则收*：+M=0,所以不妨取士=1,则凹=-1,

m-CP=2zt=0[Z]=0

所以加=（1,-1,0）；

设〃=（马,>2，Z2）为平面/CE的一个法向量,

▼

nCA=x2+y2=0

y9=-x9i

则；i，所以__、取々=1，则%=一1，z?=T,所以〃=(1,—1,一1)

ZX

n-CE=-x2--y2+z2=02=~2

11I

xrm-n1x1+(-1)x(-1)+0x(-1)指

•cos<m.n>=.iTnr.

UH72.733，

所以二面角P-AC-E的余弦值为亚

又因为所求二面角为锐角,

3

立体几何体中空间角的求法：

（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线,

在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量,

通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面

的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.

21.已知椭圆C：W+4=l（a>b>。），其离心率为正，若巧分别为C的左、右焦点,

ab2

x轴上方一点P在椭圆C上，且满足泊产用=26.

（1）求C的方程及点尸的坐标；

（2）过点P的直线/交C于另一点。，点M与点。关于x轴对称，直线交x轴于点M

若VPQN的面积是的面积的2倍，求直线/的方程.

【正确答案】（1）尹]=1,P点的坐标为他,G）

⑵士后-2y+2百=0或士指》-6了+66=0

【分析】⑴根据数量积的性质，因为尸口咚所以所:丽:0,因为|尸口啕=26,

所以P片一+2尸£-Pg+尸/:=12,则|?片「+归/旷=|片用-=4c2=12,可得到c的值，在根

据离心率的定义，可得到。的值，进而得到最后答案；再根据椭圆的定义以及向量的等式，

可得到留,尸鸟的长度，进而得到点P的值.

（2）根据题意，设出直线方程，联立方程，求点的坐标，然后根据三角形的面积关系，得

到点〃与点P,N的位置关系，得到最后答案.

【详解】（1）因为助工货，所以而：而：0,且归留2+|尸引2=忻用L

又附+Pg]=25所以淖+逮=12,

即常+道=12,即归用2+|尸&2=]可目2=4,2=]2,所以c=JL

又罔心率6=£=^^，所以a=c2=a2—b1>所以6=

a2

所以椭圆方程为《+?=1.

63

:尸尸+PF^=12,.又+卜5|=2°=2几，

二|尸肝=可=而，:.P点的坐标为（0,6）.

（2）依题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为歹=丘+百,

y=kx+>f3r-

/消去y整理（2/+1k2+4&=0,解得》=0或太=胃如

由，

T+T-+

6_2四］

所以。点坐标为2公+1J

2&2疔

从而M点坐标为

2公+1

所以直线P