新高考2023届高考数学二轮复习练习 第20讲数列的通项公式学生版

第20讲数列的通项公式

一.选择题（共7小题）

1.（2021春•赤坎区校级月考）设｛an｝是首项为1的正项数列，且

（〃+1）4,-〃。：+。用4=0（〃=1,2,3,...）,则它的通项公式是“πw=（）

A.100B.—C.101D.-ɪ-

100IOI

2.（2021•庐山区校级期中）己知数列｛«„｝,｛bll｝,｛δ｝满足：

π+

岫+a2b2+a3b3+...+anbn=（w-l>2'+2（neN'）,若也｝是首项为2,公比为2的等比

数列，C,,=（--Γ',则数列［%］的前"项的和是（）

A1-(4〃+1)(-3)"1+3,|(4∏+1)

1616

1-(3〃+2)(-3)”1+3"(3/7+2)

1616

3.（2021•黄州区校级二模）数列｛an｝满足q=2,%”=-------4----------则数列｛%｝的前

32（2n+∖）atl+1

2021项的和为（）

A403540364037θ4038

A.------DnC.

4036.40374038・4039

r

4.（2021•天水校级期末）已知数列｛4｝中，,%=1，∕7¾+1=2(a1+a2+...+azf)(A?∈Λ*)»则

数列｛%｝的通项公式为（)

A.an-nB.an=2π-l

〃+1∫1,5=1)

Cc.Ci=------D.a=〈

"2/7"ti[〃+1,5..2)

5.（2021春•丽水期末）已知数列｛〃〃｝满足q=1,%〃〃+2=4。；+1，则数列｛%｝的最

〜16

小项为（）

_25

A.2七B.2^τC.27D.2-6

6.（2021•福州一模）已知数列｛αl,｝满足q=l,%=，+■，「，,则知=（）

2an÷4nali+n

7.（2021•德州期末）对于数列｛%｝,规定｛△%｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中△

%=q,+∣-%（"GN*）,对自然数％/...2），规定｛△%,,｝为数列｛%｝的k阶差分数列，其中△

4ll

an=Δ*,-a,,+l-Δ*'^all.若α∣=l,且-Z∖α,+∣+α,,=-2"("∈N*),则数列｛”"｝的通项

公式为()

2

Λ.al,=n×2"-'B.an=n×2"-'

πl

C.a,,=5+l)x2'TD.all=(2n-l)×2^

二.填空题(共5小题)

8.(2021•广西月考)已知数列｛%｝的首项为-1,设S“是数列｛”,｝的前〃项和，且

。向=2S,,S向，则S,,=—.

9.设｛an｝是首项为1的正项数列，且(〃+1)¾+1-na^1+a,,+lall=0("=1,2,3,…)，则％=>

an=——•

10.(2021•山东月考)已知数列｛0,,｝中，ax=|,其前〃项和S.满足S；+%=0(〃..2),

=

则生----；S20]9=----------->

11.(2021•重庆模拟)设各项均为正数的数列｛凡｝的前〃项和S〃满足

S；-(7+"-2)5,-2(/+,7)=0,〃wN*,则数列I—1的前2021项和与侬=____.

IaM,+J

12.(2021•江西月考)已知数列｛”,｝满足％=；,。向=-a；+2a,,.记S,,=[aJ+[%]+…+U,]，

其中[团表示不超过机的最大整数，求$239的值为一.

Ξ.解答题(共35小题)

13.(2021•浙江月考)已知数列｛”,｝的各项都不为零，其前〃项和为5,,,且满足：

2ξ,=¾(a,,+l)(n∈2√∙).

(1)若a“>0,求数列｛%｝的通项公式；

(2)是否存在满足题意的无穷数列使得%(M6=-2(H5?若存在，求出这样的无穷数

列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.

14.(2021•迎泽区校级月考)设数列｛a,,｝的前〃项和为S,,,已知q=2,%=8,

SM+4SJJT=5\(»...2),。是数列｛log,an｝的前n项和.

(1)求数列也,｝的通项公式;

(2)求(1-----)(1-----)...(1--------)的值.

TA%015

15.(2021•殷都区校级月考)(1)已知数歹(]｛a,J满足az=a”+2"+l,ax=∖,求数列｛a,｝

的通项公式；

(2)求数列J,2L3L4L…的前〃项和.

24816

2

16.(2021•湖南模拟)在正项数列｛α,,｝中，al=∖,a2=2,且""∣*+.

β

n-⅛-∣%-a,

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛---｝的前〃项和5“.

an+¾÷l

17.(2021•重庆三模)已知数列｛%｝是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前〃项和

为S,,q∙6=81,&,a3,%-S3成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若—，求｛%•4｝的前”项和匕，并求勺的最小值.

从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题.

①数列｛"｝满足：b=—,3Z),,=--—∙b(n∈N')；

t2+1〃+2n

②数列他,｝的前n项和Tn∈M);

③数列｛“｝的前n项和Tn满足：6Tn-bl,=5(〃eN*).

18.(2021春•莱芜区校级月考)在数列｛&｝中,q=2,anall,l=2an-l.

⑴求证:数列国

是等差数列，并求｛α,J的通项公式；

(2)求数列，的前〃项和S,,.

[4∕α,J

19.(2021•河西区二模)已知数列｛4,｝的前〃项和为S.,且2S,,=3(%-2)("eN*),数列｛"｝

是公差不为0的等差数列，且满足白=Iq,"是H和3的等比中项.

6

(1)求数列｛〃“｝和也,｝的通项公式：

求2IO片1；

(2)

t

1„3tO2"

(3)设数列｛&｝的通项公式ς1='JZeN*),求£(c,-I)2(〃eN*)：

[%,"=2M

20.(2021•葫芦岛月考)在数列｛α,,｝中，4=1,%=2%+/-4〃+2(〃..2).

(1)证明数列｛α,,+∕｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)求数歹∣J｛〃%+/｝的前”项和s,l.

2L(2021∙秦州区校级月考)已知数列｛(｝中，％=4,%+ι=24,,-2("eM)∙

(1)令4=勺-2,求证：数列｛〃｝为等比数列；

(2)求数列｛%｝和收｝的通项公式；

3

(3)S”为数列也｝的前"项和,求S,,.

22.(2021•西城区校级月考)数列｛4｝中，α1=∖,an+an.l+2n-l=0(neN*ħn..2).

(I)求生，的值；

(II)证明：数列｛4+〃｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

(III)求数列｛4｝的前"项和S”.

23.(2021•赫山区校级期中)已知数列｛%｝中,ai=2,an+l≈2+3aπ.

(1)求证以+1｝是等比数列，并求｛为｝的通项公式见；

(2)求数列｛%｝的前”项和S.；

24.(2021•沈阳月考)在等差数列｛为｝中，已知q=l,公差d>0,其前〃项和S,满足

4Sn=M(α,,+α,,+1).

(1)求数列｛α,J的通项公式；

(2)设数列｛a,,∙2",｝的前〃项和为7；,求7；的表达式.

25.(2021•五华区校级月考)己知数列也｝中，q=3,a2=6,当”..2(〃eN*)时，

%+∣+%τ=2a“+1.

(1)证明：数列｛%M-α,,｝是等差数列，并求数列｛为｝的通项公式；

n

(2)当eN*)时，an<2,求正整数加的最小值.

n

26.(2021•湖南月考)已知在数列｛α,,｝中，q=3,an=an,i+2-∖n.2).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设ξ,=log2(α用-1)，求｛一一｝的前"项和

b也+1

4

27.(2021•青羊区校级开学)在①S,，25ntl,352成等差数列，且昆=1；②

媒=+”(2。“-5%),且%>0;③2S,+α,,-f=0«为常数)从这三个条件中任选一个补

充在横线处，并给出解答.

问题：已知数列｛4｝的前〃项和为S,,q=；,,其中“wN*∙

(1)求｛α,,｝的通项公式；

(2)记”=1OgIa求数列也也｝的前"项和7；.

3

28.(2021•明山区校级月考)在数列｛%｝中，S.为其前〃项和，且q=2,

4

(1)求SJ的通项公式;

(2)若a=联,求数列色｝的前〃项和北.

2a

",Λ+l

n

29.(2021•邯郸开学)在数列｛”“｝中，q=2,aπ+i=an+2+2.

(1)求数列｛q,-2"｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足"=2(%+2-2”)，求也｝的前〃项和

2

30.(2021•全国I卷月考)已知数列｛%｝中，q=l,且满足。用=%-2”，bn=an+n(neN*).

(1)证明：数列｛4｝是等差数列，并求数列也,｝的通项公式；

(2)设S,为数列!」一］的前"项和，求满足S,,…上的”的最小值.

l⅛∙⅛÷J12

31.(2021∙天河区月考)已知数列｛α,,｝中，α,,>0,其前〃项和为国，且对任意“wN”,都

有S,=(殁

(1)求《、。2、a3,并求数列｛〃”｝的通项公式.

(2)求数列｛(—1)"可｝的前〃项和7；.

32.(2021春•雅安期末)已知数列｛0,,｝中，α=1,《向=eN*).

14a“+3

(1)求证：］卜+2)是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)己知数列｛4｝,满足”=照Fy.

(i)求数列｛"｝的前月项和7；；

(ii)若不等式(-1)”<7;+占」对一切恒成立，求；I的取值范围.

2"n

33.(2021•遂宁模拟)已知数列｛α,,｝中，α2=∣,an=α,,+1+2αnα,,+1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

γ

(2)若a=且数列｛2｝的前〃项和为方，求

%

34.(2021•北京月考)已知数列｛〃,｝中，q=,，且%=」一对「迎∙(-')"T(">l且"eN*).

2n-∖22

(1)求数列｛α,J的通项公式；

⑵设数列｛α,J的前〃项和为S,,,求满足2S,-3/+5〃>0的所有正整数〃的值.

35.(2021•漂阳市期中)己知数列｛风｝的前"项和为S"，点(及，S,)("∈N*)在函数y=/的

5

图象上，数列｛"｝满足"=6"τ+2"M("∙.2,"eN*),且4=4+3

(1)求数列｛α,｝的通项公式;

(2)证明列数｛/+1｝是等比数列，并求数列也｝的通项公式；

(3)设数列｛%｝满足对任意的〃∈N，,均有可用=+上=+上〒+…+-ɪ-成立

4+2h2+2^A2+2,bn+2"

c1÷c2+C3÷...+C2010的值.

36.(2021春•长阳县校级期中)已知数列｛4｝中，4=5,a2=2,an=2αw,1+3an_29(n,.3)

(I)证明数列｛%-3/./｝成等比数列，并求数｛〃”｝列的通项公式4;

(II)若数列b,,=也+%)，求数列I｛"｝的前"项和5“.

37.已知在数列｛%｝中，al=3,aπ+l+an=3∙2"^',nwN*•

(1)求数列｛α,,｝的前n项和S11；

(2)若l<r<s且r,swN,是否存在直线/,使得当卬，%,生成等差数列时，点列(2,,

2,)在/上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由.

38.(2021春•内江期末)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且满足q=l,当〃.2(〃eN*)时,

(M-l)∖-(n+l‰=∣(√-n).

(1)计算：a2,a3;

(2)求｛4,,｝的通项公式；

(3)设6“=tan亚^,求数歹U也什也｝的前〃项和北.

39.(2021春•新津县校级月考)已知数列｛0,,｝中，6=1,且

氏=」ɑ,ɪ+2“∙3'τ("…2,〃eN,)•

n—1

(1)求出，％的值及数列｛0,,｝的通项公式;

(2)令〃(〃eN*),设数列也,｝的前“项和为S,,,求S,并比较S2,与〃的大小.

40.(2021春•广东期中)已知数列｛4｝满足q=2,且％=2q+2"*2(〃6N*),b“畤.

(1)求证数列｛“｝是等差数列，并求数列｛α,J的通项公式；

(2)记7；=-ɪ-+—^―+—l-+...+―!—,求7；；

bb

ι∙2b2∙b3b3∙b4bll∙bn+l

(3)是否存在实数在，使得(1+2)(1+2)...(1+2)..&/4+2-5对任意〃€:*都成立?若

6

存在，求实数人的取值范围；若不存在，请说明理由.

41.(2008•深圳二模)已知数列｛α,J满足q=α,α向=«"+6)α.+4〃+10(“.

2/7+1

(1)试判断数列｛"2｝是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项.

2n+1

(∏)如果α=1时，数歹U｛。“｝的前”项和为5”.试求出S,,并证明一!→L+…+-!-<L(〃..3).

S3S&S1110

42.(2021•南城县校级月考)设各项为正数的数列｛4｝的前〃项和为Szt,且满足：

22

Sn-(n+n~3)S,,-3(/+〃)=QZN等比数列也,｝满足：Iog2bn+ɪɑ,,=0.

(I)求数列｛%｝，｛⅛w｝的通项公式；

(H)设Czf=〃〃•"，求数列｛qj的前〃项的和北；

(HI)证明：对一切正整数〃，有一1—+—'—+...+—1—<L

α∣(q+l)a2(a2+1)α,,(a,,+1)3

43.(2021春•寿县校级月考)设数列｛α,,｝满足：q=l

%=ɪɑ+%+Jl+24*(〃GN*)∙令”,=Jl+24%.

Io

(1)求证数列也,-