中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的半角模型(解析版)

专题02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为学；

这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固

定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.

【模型证明】

以点A为中心，把AADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至AABF;

解决方

法

1、△AMN全等于△AMN',MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'→BE+EF=EF;

结论3、MN2=BM2+DN2↑

4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；

5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。

1:顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;

2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

应用环

3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻

境

补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4:此等腰三角形的相关弦.

【模型柘展】

90。中央45。（正方形中的半角模型）

条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=450,BD为

对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD

D

证明

图3

证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90。，F点落在F'处，连接BF',

ΛZEAF,=90o-ZEAF=90o-45o=45o=ZEAF,

且AE=AE,AF=AF,,

Λ∆FAE^∆F,AE(SAS),

ΛEF=EF,,

又∕D=NABF'=90°,ZABE=90o,ΛZABE÷ZABF,=90o+90o=180o,

ΛF∖B、E三点共线，

/.EF,=BE÷BF,=BE+DFo

结论②：图2中MN2=BM2+DN2;

E

图4

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90。，N点落在N'处，连接AN'、BN∖

MN',

ΛZN,AM=90o-ZEAF=90o-45o=45o=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

ΔMAN,乌AMAN(SAS),

二MN=MN',

又∕ADN=45°=NABN',ZABD=45o,

二ZMBN,=ZABD+ZABN'=45°+45°=90°,

二在RtAMBW中，MN,2=BM2+BN,2,

即22,2

MN=BM+BNo

结论③：图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

证明过程见证明①中时4FAE^∆F,AE即可。

结论④：图1、2中SMEF=SAABE+SMDF°

证明：如图5中，过A点作AH_LEF于H点，由结论③可知：ZAEH=ZAEB,

且∕AHE=NABE=9(Γ,AE=AE,...ZXAEBdAEH(AAS),

,AH=AB=AD,进而可以证明△AHFgAADF(AAS),

S∆ΛEF=SMHE+S1MHF=SMBE+SvtDF•

【题型演练】

一、单选题

1.如图，四边形ABCO内接于。。，AB=AD,NBCD=I20°,E、F分别为BC、CQ上一

点，NEAF=30。，EF=3,DF=∖.则BE的长为（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长C8到〃，使BH=DF=1,连接AH,则可证得△A5”-Z∖AO凡从而AH=AF,

ZBAH=ZDAFf易证△AHEgAAPE,可得HE=EF=3,则可求得BE的长.

【详解】延长CB到“，使BH=DF=1,连接AH,如图

・・・四边形ABCO内接于。O

，NA8C+NAOC=I80°

VZABH+ZABC=180°

.*.ZABH=ZADF

在△48〃和AADb中

AB=AD

<NABH=ZADF

BH=DF

・•・AAB的AADF

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF

*：ZBAD+ZBCD=∖SOo,ZBCD=120°

ΛZBAD=180o-ZBCD=60°

VZEAF=30°

ΛZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=30°

：.ZEAH=ZBAE+ZBAH=30°

在AAHE和△4庄1中

AHAD

ZEAH=NEAF

AE=AE

：.ΛAHE^∕∖AFE

：.HE=EF=3

.,.BE=HE-BH=3-1=2

故选：B

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等

三角形的问题的关键与难点.

2.如图，点M、N分别是正方形ABCD的边8C、CD上的两个动点，在运动过程中保持NMAN

=45°,连接EN、FM相交于点0,以下结论：①MN=BM+DN；®BE2+DF2=EF2；③BC?

=BF∙DE∙,④)0M=JiOFQ)

A.够③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由旋转的性质可得AΛf=AM,BM=DM',ZBAM=ZDAM',ZMAM'=90°,

ZABM=ZADM,=90o,由“SAS”可证△AMN<Z∖AMW,可得MN=NMl可得MN=BM+DN,

故①正确；由“SAS”可证△AEFgA4EZ>',可得EF=DE,由勾股定理可得8炉+。产=E-

故②正确；通过证明ADAESZ∖B∕¾,可得丝=丝，可证BC2=DE∙BF,故③正确；通过

ABBF

证明点A,点6,点M,点/四点共圆，ZABM=ZAFM=90o,ZAMF=ZAθF=450,

/BAM=/BFM,∏TiιEM0=√2E0,由NBAgNZMN,可得。母OR故④错误，即可求解.

【详解】解：将AABM绕点A逆时针旋转90。，得到AAOMl将△A。“绕点A顺时针旋转

90°,得到

1o

：.AM=AM,BM=DM',ZBAM=ZDAMfNMAM=90。，ΛABM=ZADMΓ=901

JZADM'+ZADC=180°,

.,・点MI在直线CQ上，

∖∙NΛMN=45°,

/DAN+/MAB=450=NDAN+NDAM=/MAN,

：.NM'AN=NMAN=450,

又♦:AN=AN,AM=AAf,

：,/XAMN学∕∖AM'N(SAS),

：・MN=NM'

，M'N=M'D+DN=BM+DN,

：,MN=BM+DN∖故①正确；

:将^AO尸绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD,,

,

.∖AF=AD9DF=DBNADF=NABD'=45。,NDAF=NBAD',

,o

・・・ZDBE=90f

∖∙NMAN=45°,

o,,

JZBAE+ZDAF=45=ZBAD+ZBAE=ZDAEf

ΛZD,ΛE=ZEAF=45o,

XVAE=AE,AF=AD∖

：./\AEF^∕∖AED,(SAS),

：.EF=DE9

∙∕D,E2=BE2÷D,B2,

：.BE2+DF2=EF2;故②正确；

・・・ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE^-45o,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,

：.ZBAF=ZAEF9

又・・・ZABF=ZADE=45o,

Λ∆DAE^∆BM,

.DEAD

••-----=-----,

ABBF

y.9：AB=AD=BC,

：.BC2=DE-BF,故③正确；

VZFBM=ZMΛ∕=45o,

，点A,点8,点M,点尸四点共圆，

oo

ΛZABM=ZAFM=90,ZAMF=ZABF=45tZBAM=ZBFM1

同理可求NAeV=90。，NDAN=/DEN,

：.NEoM=45。=NEM。，

：.EO=EM,

：・MO=五EO,

「NBAM*/DAN,

：.NBFM≠/DEN,

IEO≠FO,

.∙.()M≠近FO,故④错误,

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质,

旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题

3.如图，在Rl△ABC和Rt△8CD中，ZBAC=ZBDC=90o,BC=4,AB=AC,NCBD=

30o,M,N分别在8。，CO上，NMAN=45。，则的周长为

【答案】26+2

【分析】将AACN绕点A逆时针旋转，得到AABE,由旋转得出NNAE=90。，AN=AE,

/ABE=ZACD,NEAB=/CAN,求出ZEAM=/MAN,根据SAS推出△AEM丝ZXANM,

根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN

的周长=BD+DC,代入求出答案即可.

【详解】将绕点A逆时针旋转，得到AA8E,如图：

o

由旋转得：Z∕VAE=90,AN=AE,ZABE=ZACDf/EAB=NCAN,

・・・NBAC=No=90。，

.β.NA8。+/AC£>=360。-90°-90°=180°,

o

JZABD+ZABE=∖S0f

：・E,B,M三点共线，

VZMA∕V=45o,ZBAC=90%

：.ZEAM=ZEAB+ZBAM=ZCAN^-ZBAM=ZBAC-NMAN=90。-45。=45。，

.∙.NEAM=NMAN,

在AAEM和AANM中，

AE=AN

<乙EAM=乙NAM,

AM=AM

・・・AAEMgzMNM(SAS),

IMN=ME,

∙∙.MN=CN+BM,

;在Rt△80)中，NBDC=90。,NCBO=30。，βC=4f

：.CD=；BC=2,BD=√BC2-CD2=√42-22=2√3,

.,.丛DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2®2,

故答案为：2√3+2.

【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出

辅助线是解此题的关键.

4.如图，在边长为6的正方形ABCD内作NE4∕=45。，AE交BC于点、E,AF交CD于点尸，

连接防，将一ADb绕点A顺时针旋转90。得到ABG9若BE=2,则样的长为.

GBEC

【答案】5

【分析】由题意易得8G="F,AG=AENGAF=90。，则有NG4E=/E4E=45。，然后可

证,GAEg二E4E,则有GE=EF,设GB=OF=x,则有CF=6-x,CE=4,EF=X+2,进

而根据勾股定理可求解.

【详解】解：：四边形ABCO是正方形，且边长为6,

CD=BC=6,NC=ZABC=ND=90。,

：.ADF绕点A顺时针旋转90。得到，ABG,

；.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,

.∙.点G、B、E三点共线，

NMF=45。，

ZGAE=ZFAE=45°,

"."AE=AE,

：.^GAE^FAE,

JGE=EF,

⅛GB-DF-X,则有C77=6-x,CE=4,E∕7=x+2,

在RtAECF中，由勾股定理可得EC2+CF'=EF-,

即16+(6-X)2=(X+2)^,

解得：x=3,

，EF=5↑

故答案为5.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋

转的性质及勾股定理是解题的关键.

5.如图，正方形48C。的边长为6,点E,F分别在边AB,BC上，若尸是BC的中点，且

NEDF=45°,则QE的长为.

【答案】2√i6

【分析】延长BA到点G,使AG=C凡连接。G,EF,利用SAS证明AAOG丝Z∖CO凡得

ZCDF=ZGDA,DG=DF,再证明△GDE丝Z∖FQE(SAS),得GE=ERi⅛AE=x,则8E=6-

x,EF=X+3,再利用勾股定理解决问题.

【详解】解：延长BA到点G,使AG=CF,连接OG,EF,

"：AD=CD,NDAG=NDCF,

Λ∆ΛDG^ΔCDFCSAS),

：.ZCDF=ZGDA,DG=DF,

：NEOF=45。，

/.NEDG=NADE+NADG=ZADE+ZCDF=45o,

"：DE=DE,

ΛΔΔFDE(SAS),

.,.GE=EF,

是BC的中点，

.∙.AG=CF=8F=3,

设AE=X,贝∣j8E=6-χ,EF=x+3,

由勾股定理得，(6-χ)2+32=(X+3)2,

解得x=2,

.∙.AE=2,

2222

∙'∙DE=y∣AD+AE=√6+2=2√10，

故答案为：2Jii.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练

掌握半角模型的处理策略是解题的关键.

三、解答题

6.正方形ABCD的边长为3,E、P分别是AB、8C边上的点,且/EDF=45。.将△D4E绕点

。逆时针旋转90°,得到△DCM.

(1)求证：EF=FM

(2)当AE=I时，求EF的长.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）由折叠可得DE=DM,ZEDM为直角，可得出NEDF+NMDF=90。，由NEDF=45°,

得到NMOF为45。，可得出NEZW=NMDF,再由。F=∕）F,利用SAS可得出三角形OEF与

三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MR

（2）由第一问的全等得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用A8-AE求出EB的长，再由

3C+CM求出的长，设EF=MF=X,可得出BF=BM-FM=BM-EQLr,在直角三角形BEF

中，利用勾股定理列出关于X的方程，求出方程的解得到X的值，即为Eb的长.

【详解】（1）∙.∙Z∖D4E逆时针旋转90。得到△DCM,

：.DE=DM,NEDM=90。,

.∙.∕EDF+NFDM=90。,

VZEDF=45o,

NFDM=NEDM=45。,

β

.∙DF=DFf

：・4DEFm4DMF,

：.EF=MF

（2）设£7MG

'：AE=CM=],

.*.BF=BM-MF=BM∙EF=4∙x,

,.∙EB=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即22+（4-X）2=X2,

解得，x=∣.

7.已知，如图所示，正方形ABCO中，E,尸分别在边BC,8上，且NE4尸=45。，AE,

A尸分别交BQ于H,G,连E尸，求证：

@DF+BE=EF®DG2+BH2=HG2.

AD

【答案】见解析

【分析】①把△ABE逆时针旋转90。得到△ADG,根据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,

再根据NEAF=45。求出/FAG=45。，然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据

全等三角形对应边相等可得EF=GF,即EF=GD+FD,即可证明EF=BE+DF;

②把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,根据旋转的性质得到

ZNAE=ZEAF,根据全等三角形的性质得到GH=GN,求得

ZNBG=ZABN+ZABG=45o+45o=90o,根据勾股定理得到BG2+HD2=GH2;

【详解】①如图，把△ABE逆时针旋转90。得到△ADM,

.∙.NFAM=90°-45°=45°,

ΛZEAF=ZFAM,

在4AEF和AAMF中，

AE=AM

-ZEAF=ZFAM,

AF^AF

Λ∆AEF^ΔAMF(SAS),

EF=MF,

即EF=MD+DF,

BE+DF=EF;

②如图，把小ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,

，BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,ZABN=ZADH,

VZEAF=450,

ΛZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90o-45o=45o,

，ZNAE=ZEAF,

在^ANG和4AGH中，

AN=AH

-NNAG=NEAF,

AG=AG

ΛΔAGN^ΔAGH(SAS),

.∙.GH=GN,

在正方形ABCD中，NABE=NADH=45。，

NNBG=NABN+∕ABG=450+45°=90°,

ΛBG2+BN2=NG2,

即BG2+HD2=GH2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解

决问题的关键.

8.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将-AZ)P绕点A顺时针旋转90。

后，得到,.A8Λ∕,连接EM,AE,且使得NM4E=45。.

(1)求证：ME=EF；(2)求证：EF-=BE2+DF2.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】(1)直接利用旋转的性质证明△AME也AAFE(SAS),即可得出答案;

(2)利用(1)中所证，再结合勾股定理即可得出答案.

【详解】证明：(1)：将一Ar)厂绕点A顺时针旋转90。后，得到qABM，

.∖MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,

.-.MAA.AF,

ZM4E=45°,

.∙.ZE4F=45o,

.∙.ZMAE=NFAE,

在^AME和Z^AFE中

AM=AF

<NMAE=ZFAE,

AE=AE

■...AMEAFE(SAS),

.-.ME=EF-,

(2)由(1)得：ME=EF,

在RtMSE中，MB2+BE2=ME1<

乂•：MB=DF,

：.EF2=BE2+DF2-

【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确

得出△AMEgAAFE是解题关键.

9.已知：边长为4的正方形ABC£>,/E4F的两边分别与射线C2、Oe相交于点E、F,且

求证：EF=BE+DF.

图2图3

(1)如图1,；正方形ABCD中，AB=40,ZBAD=ZB=ZΛDC=90o,

把AABE绕点A逆时针旋转90。至AAOE,则RD、E在一条直线上,

NEAF=度..........

根据定理，可证：&AE2XAEF.

：.EF=BE+DF.

类比探究：

(2)如图2,当点E在线段CB的延长线上，探究EABE、。尸之间存在的数量关系，并写出

证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在4ABCtV,AB=AC,。、E在BC上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=U,S∆ADE

=6,求线段50、DE、EC围成的三角形的面积.

【答案】(1)45

Q)DF=BE+EF,证明见解析

(3)2

【分析】(1)把ΔABE绕点A逆时针旋转90。至ΔAZ)E,贝∣JF、D、£在一条直线上，

ΔADE,^ΔABE,再证AE'F,得EF=EF,进而得出结论；

(2)将AABE绕点A逆时针旋转90。得到ΔADE,由旋转的性质得ΔAΓ>E3U3E,再证ΔAEF名

ΔAErF,得EF=EF,进而得出结论；

(3)将AABD绕点A逆时针旋转得到ΔACD',连接ED则ΔACD⅛ΔABD,得CD=BO,

r

因此&w=Smmie=14,同(2)得ADE,则OE=O'E，SM½∙=SW6=6,得BD、

DE、EC国成的三角形面积=SQ°,即可求解.

(1)

解：如图1,：正方形A8C。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=90o,

，把4ABE绕点、A逆时针旋转90。至Δ4DE,

图1

贝IJR£＞、£在一条直线上，∕SADE∕∖ABE,

∙,.DE=BE,ZDAE'=ZBAE,AE'=AE,

ZE'AE^ZEAD+ZZME'=N£AQ+N8AE=N8AQ=90。,

则ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45o,

.*.NEAF=ZEAF,

.∙.∆AEF^ΔAE'F(SAS),

.*.EF=EF,

'.∙EF=DE+DF,

；.EF=BE+DF.

故答案为：45；

(2)

解：DF^BE+EF理由如下：

将AABE绕点、A逆时针旋转90。得到△ADE¢,

图2

.".ΛADE^∕^ABE,

：.AE=AE,,BE=DE,,ZDAE=ABAE,

.,.ZE,AE=NBAE+NE,AB=ZE,AD+ZEAB=N8AO=90°,

则ZEAF=ZE,AE-ZEΛF=45°,

∙,∙ZEAF=NEAF=45°,

在△AE'F中，

AE=AE'

■ZE'AF=NEAF,

AF=AF

...△AEF四△AE'F(SAS),

,EF=EF,

DF=DE+EF,

.'.DF=BE+EF；

(3)

解：将4ABD绕点4逆时针旋转得到4ACD',连接ED',

图3

则4ACD'^∆AβD,

.∖CD,=BD,

∙,∙SekABC=⅝½)BΛO'CD=14,

同(2)得：AADE四△AZXE(SAS),

,"DE=D'E'~SAtfE~6,

：.BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、DE、EC围成的三角形面积

SAED'C=⅞S)gΛZ>,CD-S.ΛI>K~AtfE=2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性

质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作

出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型.

10.如图1,在菱形ABCD中，AC=2,BZ)=2√3,AC,8。相交于点O.

⑴求边AB的长；

(2)求NBAC的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形488的顶点4处，绕点A左

右旋转，其中三角板60。角的两边分别与边BC,Cf)相交于点E,F,连接E凡判断AAE/

是哪一种特殊三角形，并说明理由.

【答案】(1)2；(2)60°；(3)见详解

【分析】(1)由菱形的性质得出OA=I,OB=√3,根据勾股定理可得出答案；

(2)得出AABC是等边三角形即可；

(3)由4ABC和^ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE丝ZXACF；可得AE=AF,

根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.

【详解】解：(1)Y四边形ABCD是菱形，

ΛAClBD,

...△AOB为直角三角形，且04=,47=1,OB=LBD=6.

22

2222

,AB=y∣OA+OB=λ∕l+(^)=2；

(2)；四边形ABCD是菱形，

AB=BC,

由(1)得：AB=AC=BC=2,

,△ABC为等边三角形，

ZBAC=60o;

(3)∆AEF是等边三角形，

；由(1)知，菱形ABCD的边长是2,AC=2,

Λ∆ABC和4ACD是等边三角形，

NBAC=NBAE+NCAE=60°,

∙.∙ZEAF=ZCAF+ZCAE=60o,

ΛZBAE=ZCAF,

在乙ABEiRlAACF中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC

NEBA=ZFCA

Λ∆ABE^∆ACF(ASA),

.∙.AE=AF,

∙.∙∕EAF=60°,

.∙.ZkAEF是等边三角形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的

旋转.解题的关键是熟练掌握菱形的性质.

11.（1）如图1,在正方形ABC。中，E是48上一点，G是40上一点，NECG=45。，求证

EG=BE+GD.

图2

（2）请用（1）的经验和知识完成此题:如图2,在四边形ABCD中,AGHBe（BC>AG）,/8=90。，

AB=BC=12,E是A8上一点，且NECG必5°,BE=4,求EG的长？

【答案】（1）证明见解析；（2）EG=10.

【分析】（1）延长40至F,使DF=BE,连接CR根据正方形的性质，可直接证明

△EBgAFDC,从而得出NBCE=/OCR根据NGCE=45。，得NGCF=NGCE=45。，利用

全等三角形的判定方法得出△ECG会丛FCG,即GE=GF,即可证出EG=BE+GD;

（2）过C作CO_LAG,交AG延长线于£）,则四边形A8C。是正方形，设EG=x,贝∣J4E=8,

根据（1）可得：AG=16-x,在直角AAGE中利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：如图3所示，延长Ao至尸，使DF=BE,连接CF,

图3

Y四边形A3CO是正方形，

ΛBC=DC,NABC=NAoONBCo=90。，

VZCDF=I80o-ZADC,

ZCDF=90o,

.∙.ZABC=ZCDF9

,:BE=DF,

：・AEBgAFDC,

：.ZBCE=ZDCFfEC=FCf

∖∙NECG=45。，

JZBCE+ZGCD=90o-ZECG=90o-45o=45o,

：,NGC£>+/。CF=N/CG=45。，

・・・ZECG=ZFCG.

β

:GC=GCfEC=FC,

Λ∆ECG^∆FCG,

；・EG=GF.

YGF=GD+DF=BE+GD,

∙"∙EG=BE+GD.

(2)解：如图4,过C作CO_LAG,交AG延长线于£>,

在直角梯形ABCG中，

'：AG，BC,ZA=ZB=90o,

又NaM=90°,AB=BC,

.∙.四边形A8C。为正方形.

AAD=AB=BC=12.

已知NECG=45。，根据(1)可知I,EG=BE+DG,

设EG=x,则AG^AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=]6-x,

AE=12-8E=12-4=8.

在RtAAEG中

"：EG2=AG2+AE2,

即♦=(16-x)2+82,

解得：X=10.

：.EG=IO.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系,

正确作出辅助线是解题的关键.

12.如图，点E是正方形48Cz)的边BC上一点，连接。E,将。E绕着点E逆时针旋转90°,

得到EG,过点G作GCB,垂足为凡GHA.AB,垂足为H,连接。G,交AB于/.

(1)求证：GEFmEDC

(2)求证：四边形BFG”是正方形;

(3)求证：ED平分NCEl

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)先证明/FEG=/EDC,即可利用A4S证明全等；

(2)首先证明四边形F8"G是矩形，再证明FB=FG即可解决问题；

(3)延长8C到J,使得C∕=A∕.证明△/£>E丝∙∆JOE(SAS)即可解决问题.

(1)

；四边形ABCD是正方形，

JBC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90o,

'：GF±CF,GHLAB,

/.NF=NGHB=/FBH=90。,

・•・四边形尸8"G是矩形，

•：ED=EG,NDEG=90。,

YNOEC+NFEG=90。，NDEC+NEDC=9。。,

：.NFEG=NEDC,

在^DCE和AEFG中

ZF=ZDCE

<ΔFEG=Z-EDC

GE=DE

Λ∆DCE^∆EFG(AAS),

(2)

MDCEmAEFG

：.FG=EC9EF=CD,

•：CB=CD,

ZEF=BC,

JBF=EC,

：.BF=GF,

・・・四边形反HG是矩形

・•・四边形尸BHG是正方形.

(3)

延长AC到人使得C∕=A∕.

：DA=DC,NA=NOc/=90。，AI=CJf

,.∆DA∕^∆DC√(SAS),

∖Dl=DJi/ADI=/CDJ,

'.Z∕DJ=ZADC=90o,

/Z7DE=45o,

・・∕EDI=NEDJ=450,

DE=DE,

.∖∆IDE^∕∖JDE(SAS),

.,.NDEl=NDEJ,

.∙.OE平分N∕EC.

【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

13.学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形ABCD中，NE4尸=45。，求证：EF=BE+DF.',

小明同学的思路：∙.∙四边形ABC。是正方形，；.AB=AQ,ZB=ZADC=90o.

把^ABE绕点A逆时针旋转到Z∖ADE的位置,然后证明丝△`£,从而可得EF=ETL

EF=ED+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图2图3