新高考2023届高考数学二轮复习练习 第29讲外接球与内切球问题学生版

第29讲外接球与内切球问题

一.选择题（共20小题）

1.（2021春•润州区校级期末）若棱长为2√Σ的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为（）

A.12万B.24;TC.36万D.144乃

2∙（2021∙泉州二模）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶

点都在球。的球面上，若十四面体的棱长为1,则球。的表面积为（）

3.（2021•三模拟）如图，已知一底面半径为1,体积为方的圆锥内接于球。（其中球心。在

圆锥内），则球。的表面积为（）

B.%C.当D.竺万

933

4.（2021•甲卷）已知/,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且4CJ.8C,

ZC=BC=I,则三棱锥。-N8C的体积为（）

5.（2021春•让胡路区校级期末）一块边长为IOcw的正方形铁片如图所示，将它的阴影部

分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥

的外接球的表面积（）

E

289289

C.---πD.---π

4864

6.（2021•晋中三模）在正四棱锥尸-力6C。中，已知PZ=4δ=2,。为底面NBCO的中心,

以点。为球心作一个半径为2叵的球，则该球的球面与侧面尸8的交线长度为（）

3

VδΛ∕6y[βʌ/ð

A.71D.71C.TUD.71

6432

7.（2021•河南模拟）如图，正方形NBs与正方形NCM所在的平面互相垂直，AB=I,

点1,B,C,D,E,尸在同一个球面上，则该球的体积是（）

8.在半径为K的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切,

另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为（）

A.（3-2√2）ΛB.（4-2√3）7?C.（5-2√6）ΛD.（6-2√7）7?

9.（2021春•三明期中）在三棱锥尸-/8C中，PA=PB=BC=4,AC=S,ABVBC.平

面尸/8J.平面/8C,若球。是三棱锥P-48C的外接球，则球。的表面积为（）

A.25πB.60πC.72πD.80乃

10.（2021•白山三模）如图，正四棱锥P-ZBC。的每个顶点都在球M的球面上，侧面P48

是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。

的体积与球M的体积的比值为（）

2

P

11.（2021•鼓楼区校级模拟）已知矩形∕8CO,AB=\,=2,点E为8C边的中点将

A48E沿ZE翻折，得到四棱锥B-IECD,且平面BZE_L平面/ECD,则四面体B-EC。的

外接球的表面积为（）

79

A.-πB.4πC.-πD.5π

22

12.桌面上放着3个半径为1的球，两两相切，在它们上方的空间里放入一个球使其顶点（最

高处）恰好和3个球的顶点在同一个平面上，该球的半径为（）

.√2-IR√3-lr1n√3-l

A.-----------D.C.-D.---------

2332

13.（2021•龙岩模拟）如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球O2,

这两个球相外切，且球«与正方体共顶点/的三个面相切，球仪与正方体共顶点A的

三个面相切，则球仪的半径最大时，球O2的体积是（）

14.（2021•桂林三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高80w,将一

个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器

的厚度，则球的表面积为（）

3

15.（2021•聊城一模）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学

和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情

况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于

圆柱体积的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（）

1I23

A.-B.-C.-D.-

2334

16.（2021∙5月份模拟）已知三棱锥P-NBC的四个顶点在球。的球面上，PA=PC=BC=2,

/8=4,ZAPC=120°,平面产力CJ_平面48C,则球。的体积为（）

A.4辰B.电S万C.迎叵万D.8√5Λ-

33

17.（2021•广西模拟）已知三棱锥尸-NBC的四个顶点在球。的球面上，平面NBC,

PA=AB=BC=I,P8与平面尸/C所成的角为30。，则球。的表面积为（）

A.6πB.12万C.16万D.48乃

18.（2021•厦门模拟）如图，在四棱锥P-ZBCO的平面展开图中，四边形Z8C。是边长为

2的正方形，AWE是以为斜边的等腰直角三角形，NHDC=NFAB=90°,则四棱锥

P-48C。外接球的球心到面PBC的距离为（）

19.（2021•江苏模拟）在三棱锥尸-43C中，Δ∕18C是边长为2的正三角形，PA=PB=PC,

E,尸分别是尸48的中点，且CELEF,则三棱锥P-X8C接球的表面积为（）

A.6πB.12ιC.24πI）.36;F

20.（2021春•扬中市校级期末）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且/8_L

平面8C0,AB=2y∕3,AC=AD=4,CO=2√Σ,则球。的表面积为（）

A.20乃B.18万C.36πD.24万

二.填空题（共18小题）

21.（2021•蚌埠模拟）有四个半径为1的小球，球«,球O2,球Q放置在水平桌面上，第

四个小球Qt放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球。，

与这四个小球均外切.则球。的半径为一.

22.（2021•榆林一模）已知直三棱柱ABC-A,的各顶点都在同一球面上，若48=NC=1,

AAt=2,NBAC=120。，则此球的表面积等于.

23∙（2021∙安徽模拟）已知球。是圆锥尸。的外接球，圆锥Pq的母线长是底面半径的3倍,

且球0的表面积为等，则圆锥尸。的侧面积为一.

24.（2021秋•唐山期末）已知一个圆锥内接于球。（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面

上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为9ji日r,则球。的表面积为一.

25.（2021春•青羊区校级期末）已知边长为26的菱形48。。中，ZBAD=60°,沿对角边

BD折成二面角A-BD-C为120。的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为.

26.（2021•沈阳三模）在四面体ZBC。中，AS。D是边长为2的等边三角形，AABD是以BD

为斜边的等腰直角三角形，平面480，平面/8C,则四面体NBCZ）的外接球的表面积

为一.

27.（2021春•包河区校级期中）把四个半径分别为9,9,9,19的小球同时放入一个大球

中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为一.

28.把半径为，的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为一.

29.（2021•饶阳县校级模拟）如图，在三棱柱月8C-4AG中，AtBl=A1C1=4,S为棱AG

上一点，S.ZASC=90o,ZB-L平面/CS,则三棱锥S-ZBC的外接球的表面积为.

Al_________CX

30.（2021∙普陀区模拟）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球

的表面积为.

5

31.（2021•奉贤区校级二模）已知A48C是面积为吨的等边三角形，且其顶点都在球。的

4

球面上.若球。的表面积为16τr,则球。的体积为—；。到平面NBC的距离为一.

32.（2021•渝水区校级模拟）阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的

正多边形为面构成的凸多面体.如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体,

若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体,且该阿基米德多面体的表

面积为76,则该阿基米德多面体外接球的表面积为一.

33.（2021•泰州模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体.将一

个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的

阿基米德八面体，则该阿基米德八面体的外接球的表面积为一.

34.（2021•潍坊三模）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱

容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等

于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底

面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值

为一,

35.（2021秋•怀化期末）矩形/8CD中，AB=4,BC=3,沿ZC将矩形/8