5.1.1 矩形的性质-八年级数学下册同步课堂（浙教版）

矩形的性质特殊平行四边形学习目标壹掌握矩形的定义和性质，理解矩形和平行四边形的区别和联系。贰会初步利用矩形的性质来解决有关问题。叁通过演示、观察、动手操作、归纳总结等活动，增强动手操作能力，增强主观探究意识。肆培养严谨的推理能力以及合作探究的精神，体会逻辑推理的思维价值，感受数学活动的乐趣。知识回顾平行四边形有两组对边分别平行的四边形.边角对角线有两组对边分别相等的四边形.有一组对边平行且相等的四边形.有两组对角分别相等的四边形.有两组邻角互补的四边形.对角线相互平分的四边形.平行四边形对边相等邻边不相等对角相等邻角不相等边特殊化角特殊化对边相等邻边相等对角相等邻角相等四条边都相等四个角都相等生活中的矩形你有什么发现？四个角是直角。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

平行四边形有一个角是90度矩形矩形是特殊的平行四边形∠A=90°ABCD四边形ABCD是矩形矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？用矩形纸片折一折，回答下列问题：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角四边形平行四边形矩形矩形矩形与四边形、平行四边形的关系（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分边角对角线矩形的特殊性质猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．角：对角线：边：验证结论矩形的四个角都是直角证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°,∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°,∴∠B=180－∠C=90°,∴∠D=∠B=90°,

即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90°.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.验证结论矩形的对角线相等已知：四边形ABCD是矩形,

求证：AC=BD.ABCD证明：在矩形ABCD中,∵∠ABC=∠DCB=90°,又∵AB=DC，BC=CB,∴△ABC≌△DCB（SAS）,∴AC=BD.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.矩形的性质矩形的对边平行且相等.矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等.角对角线边对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.例题讲解例1.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=4cm.（1）判断△AOB的形状（2）求矩形对角线的长.解：（1）在矩形ABCD中，AC=BD（矩形的对角线相等）∵OA=OC=AC,OB=OD=BD(平行四边形的对角线互相平分）∴OA=OC=OB=OD∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形.

（2）∵AB=4cm,∴AC=BD=2AB=8cm,即矩形的对角线的长为8cm.学以致用1.如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF=3，则GH的长为________．

3学以致用2.矩形ABCD中，AD长8cm，对角线比AB边长4cm。求AB的长及点A到BD的距离AE的长.解：设AB=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：AB2+AD2=BD2,

∴解得x=6，则AB=6cm.∵AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.学以致用3.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）

A、7°

B、21°

C、23°

D、24°解：在矩形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，∴∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∠AFC=∠FAE+∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，则∠ACD=∠ACF+∠ECD=3∠ECD=69°，∴∠ECD=23°.C学以致用4.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．学以致用5.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．证明：∵四边形ABCD是矩形