函数y=(9x+1)²(5x+20)³的主要性质及图像示意图

函数y=(9x+1)2(5x+20)3的图像示意图及其性质主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(9x+1)2(5x+20)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(9x+1)2(5x+20)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(9x+1)2(5x+20)3，∴y'=18(9x+1)(5x+20)3+(9x+1)2*15*(5x+20)2，=(9x+1)(5x+20)2(90x+360+135x+15),=(9x+1)(5x+20)2(225x+375)※.取对数求导法。∵y=(9x+1)2(5x+20)3，取导数有：∴lny=ln(9x+1)2(5x+20)3,即：lny=2ln(9x+1)+3ln(5x+20),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(18,9x+1)+eq\f(15,5x+20),y'=y(eq\f(18,9x+1)+eq\f(15,5x+20)),y'=(9x+1)2(5x+20)3(eq\f(18,9x+1)+eq\f(15,5x+20)),y'=(9x+1)(5x+20)2[18(5x+20)+15(9x+1)],y'=(9x+1)(5x+20)2(225x+375).令y'=0，有9x+1=0，225x+375=0，即：x1=-eq\f(1,9)，x2=-eq\f(5,3).(1)当x∈(-∞，-eq\f(5,3))，(-eq\f(1,9),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(5,3)，-eq\f(1,9)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(9x+1)(5x+20)2(225x+375)∴y''=9(5x+20)2(225x+375)+(9x+1)[10(5x+20)(225x+375)+225(5x+20)2]=9(5x+20)2(225x+375)+(9x+1)(5x+20)[10(225x+375)+225(5x+20)]=(5x+20)[9(5x+20)(225x+375)+10(9x+1)(225x+375)+225(9x+1)(5x+20)]=(5x+20){(225x+375)[9(5x+20)+10(9x+1)]+225(9x+1)(5x+20)}=(5x+20)(40500x2+135000x+75750)=750(5x+20)(54x2+180x+101).令y''=0，则5x+20=0，或54x2+180x+101=0，即：x3=-4,x4=eq\f(-30-7\r(6),18)≈-2.61,x5=eq\f(-30+7\r(6),18)≈-0.71,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-4),(-2.61,-0.714)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-4,-2.61],[-0.714,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(9x+1)2(5x+20)3=-∞；lim(x→+∞)(9x+1)2(5x+20)3=+∞；lim(x→0)(9x+1)2(5x+20)3=12*203。.函数的五点图x-9-4-2.61-1.66-0.714-0.110.3888(9x+1)264001225509.54919629.450020.25(5x+20)3-15620329.041587.94434.87351.610567.y-999680001676623112281306050213982※.函数的示意图y=(9x+1)2(5x+20)3y(-1.66,311228)(-2.61,167662)(-0.714,130605)