新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算教师用书新人教A版必修第二册

10.1.2大事的关系和运算学习任务1．了解随机大事的并、交与互斥的含义．(数学抽象)2．能结合实例进行随机大事的并、交运算．(数学运算)在掷骰子试验中，定义如下大事：Ci＝{消灭i点}，Di＝{消灭的点数不大于2i－1}．在上述大事中，(1)大事C1与大事C2间有什么关系？(2)大事D2与大事C2间有什么关系？学问点1大事的关系关系定义表示法图示包含关系若大事A发生，大事B肯定发生，称大事B包含大事A(或大事A包含于大事B)B⊇A(或A⊆B)相等关系假如大事B包含大事A，大事A也包含大事B，则称大事A与大事B相等A＝B互斥大事假如大事A与大事B不能同时发生，称大事A与大事B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立大事假如大事A和大事B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称大事A与大事B互为对立，大事A的对立大事记为A若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立学问点2大事的运算项目定义表示法图示并大事大事A与大事B至少有一个发生，称这个大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)A∪B(或A＋B)交大事大事A与大事B同时发生，称这样的一个大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)A∩B(或AB)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两个大事是互斥大事，则这两个大事也是对立大事． ()(2)若两个大事是对立大事，则这两个大事也是互斥大事． ()(3)若大事A与B是互斥大事，则在一次试验中大事A和B至少有一个发生． ()(4)抛掷一枚骰子一次，记大事A＝{消灭点数大于4}，大事B＝{消灭的点数为5}，则大事B发生时，大事A肯定发生． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观看颜色．设大事A为“所取两个球至少有一个白球”，大事B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∪B表示的大事为________；A∩B表示的大事为________．[答案]所取两个球至少有一个白球所取两个球恰有一个红球类型1大事关系的推断【例1】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．推断下列给出的每对大事是否为互斥大事，是否为对立大事，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．[解](1)是互斥大事，不是对立大事．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥大事．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立大事．(2)既是互斥大事，又是对立大事．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个大事不行能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥大事，又是对立大事．(3)不是互斥大事，当然不是对立大事．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个大事可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥大事，当然也不是对立大事．推断互斥大事、对立大事的两种方法定义法推断互斥大事、对立大事一般用定义推断．不行能同时发生的两个大事为互斥大事；两个大事，若有且仅有一个发生，则这两个大事为对立大事，对立大事肯定是互斥大事集合法(1)由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥；(2)大事A的对立大事所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集[跟进训练]1．(1)同时掷两枚硬币，向上面都是正面为大事A，向上面至少有一枚是正面为大事B，则有()A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．A与B互斥(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则大事“取出1个红球和2个白球”的对立大事是()A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球(1)A(2)D[(1)由大事的包含关系知A⊆B.(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则大事“取出1个红球和2个白球”的对立大事是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.]类型2大事的运算【例2】掷一枚骰子，下列大事：A＝“消灭奇数点”，B＝“消灭偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记H为大事H的对立大事，求D，[解](1)A∩B＝∅，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．(3)D＝{1，2}B∪大事间的运算方法(1)利用大事间运算的定义．列出同一条件下的试验全部可能消灭的结果，分析并利用这些结果进行大事间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验全部可能消灭的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．[跟进训练]2．从某高校数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2022年后出版的书}．问：(1)A∩B∩C表示什(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)假如A＝B，那么是否意味着图书室中的全部的数学书都不是中文版的？[解](1)A∩B∩C(2)在“图书室中全部数学书都是2022年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)是．A＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且全部的中文版的书都不是数学书．1．抽查10件产品，设大事A：至少有两件次品，则与大事A互斥的大事为()A．恰有两件次品 B．恰有一件次品C．恰有两件正品 D．至少有两件正品B[大事“恰有一件次品”与大事A不会同时发生，故选B.]2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为大事A，“向上一面的点数是2或3”为大事B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3D．A∩B表示向上一面的点数是1或2或3C[设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的点数是1或2或3．]3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，大事E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝________．{向上的点数为2}[E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}．]4．从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是________(填写序号)．①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．①②⑤[A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个大事，由此知：A与B是互斥大事，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥大事，更不是对立大事；B与C是互斥大事，也是对立大事．所以正确结论的序号为①②⑤.]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．大事间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？[提示]大事关系或运算的含义大事关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并大事(和大事)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交大事(积大事)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω2．互斥大事与对立大事有什么关系？[提示](1)对立大事肯定是互斥大事，但互斥大事不肯定是对立大事．(2)从集合的观点来推断：设大事A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥大事A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.课时分层作业(四十五)大事的关系和运算一、选择题1．掷一枚骰子，设大事A＝{消灭的点数不小于5}，B＝{消灭的点数为偶数}，则大事A与大事B的关系是()A．A⊆BB．A∩B＝{消灭的点数为6}C．大事A与B互斥D．大事A与B是对立大事B[由题意大事A表示消灭的点数是5或6；大事B表示消灭的点数是2或4或6．故A∩B＝{消灭的点数为6}．]2．打靶3次，大事Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．全部未击中B[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个大事中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为大事A，“这2个数的和为偶数”为大事B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为()A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1C[从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中大事A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．大事B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．所以大事A∪B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．大事A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．]4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示大事“3件产品全不是次品”，F表示大事“3件产品全是次品”，G表示大事“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G任意两个大事均互斥D．E与G互为对立D[由题意得大事E与大事F不行能同时发生，是互斥大事；大事E与大事G不行能同时发生，是互斥大事；当大事F发生时，大事G肯定发生，所以大事F与大事G不是互斥大事，故A，C不正确；大事E与大事G中必有一个发生，所以大事E与大事G互为对立，故B不正确，D正确．]5．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名同学去参与竞赛，则下列各对大事中为互斥大事的是()A．恰有一名男生和全是男生B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生D．至少有一名男生和全是女生AD[A中两个大事是互斥大事，恰有一名男生即选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不行能同时发生；B中两个大事不是互斥大事；C中两个大事不是互斥大事；D中两个大事是互斥大事，至少有一名男生与全是女生明显不行能同时发生．]二、填空题6．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．则A∪B＝________；A∩B＝________．[答案]{2，3，4，5}{5}7．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为大事A，B，则AB∪AB表示的含义是________，大事“密码被破译”可表示为________．[答案]只有一人破译密码AB∪AB∪AB8．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述大事中，是对立大事的为________．②[①是互斥不对立的大事，②是对立大事，③④不是互斥大事．]三、解答题9．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设大事A＝“三个圆的颜色全不相同”，大事B＝“三个圆的颜色不全相同”，大事C＝“其中两个圆的颜色相同”，大事D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示大事A，B，C，D；(3)大事B与大事C有什么关系？大事A和B的交大事与大事D有什么关系？说明理由．[解](1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}．B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以大事B包含大事C，大事A和B的交大事与大事D互斥．10．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是()A．对立大事B．互斥但不对立大事C．不行能大事D．以上说法都不对B[由于只有1张红牌，所以这两个大事不行能同时发生，所以它们是互斥大事；但这两个大事加起来并不是总体大事，所以它们不是对立大事．]11．(多选)(2022·江苏南京六校联考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设大事A＝“两弹都击中飞机”，大事B＝“两弹都没击中飞机”，大事C＝“恰有一弹击中飞机”，大事D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪DABC[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中．“至少有一弹击中飞机”包含两种状况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中．∴A∪B≠B∪D.]12．(多选)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的大事，且A＋B＋C＋D是必定大事，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事B．B＋C与D是互斥大事，但不是对立大事C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事BD[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必定大事，故大事的关系如图所示．由图可知，任何一个大事与其余三个大事的和大事互为对立，任何两个大事的和大事与其余两个大事中任何一个是互斥大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事互为对立，故B，D中的说法正确．]13．