新教材同步备课2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算教师用书新人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算学习任务1．把握复数的乘法和除法运算．(数学运算)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的安排律．(规律推理)3．把握在复数范围内解方程的方法．(数学运算)怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定内容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？学问点1复数的乘法1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的安排律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3学问点2复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝ac+bdc2+d2＋bc-adc2+d2i(a，b(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正确吗？[提示](1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必需在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．(1)1i＝________(2)1+i1-(3)1-i1+[答案](1)－i(2)i(3)－i类型1复数代数形式的乘法运算【例1】(源自湘教版教材)计算：(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1000．[解](1)(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，留意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[跟进训练]1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在其次象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．(1)B(2)①13②5－25i[(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，由于对应的点在其次象限，所以a+1<0，1-a>0，解得(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]类型2复数代数形式的除法运算【例2】(源自北师大版教材)计算：(1)-12i；(2)1+2i[解](1)-12i＝-(2)1+2i2-3i＝1+2i2+3i(3)1+i1-i6＝1+i21．依据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．2．设z1，z2都是复数，则|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2[跟进训练]2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz-1A．－1＋3i B．－1－3iC．－13＋33i D．－13(2)(多选)若复数z＝21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(A．z的虚部为－1B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为－1－i(1)C(2)ABC[(1)∵z＝－1＋3i，∴z·z＝|z|2＝(-12+(3则zzz-1＝-1+3i(2)z＝21+i＝21-i1+i对于A，z的虚部为－1，正确；对于B，模长|z|＝2，正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．]类型3在复数范围内解方程【例3】在复数范围内解下列方程．(1)x2＋5＝0；(2)x2＋4x＋6＝0．[解](1)由于x2＋5＝0，所以x2＝－5，又由于(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x＝±5i，所以方程x2＋5＝0的根为±5i．(2)法一：由于x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，由于(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i．法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以a又由于b≠0，所以a解得a＝－2，b＝±2．所以x＝－2±2i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i．在复数范围内解方程的方法(1)当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总是有解的，而且①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．[跟进训练]3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．(1)求b，c的值；(2)试推断1－i是不是方程的根．[解](1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴b+c=0，2+b=0(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．∴1－i是方程的根．1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5 B．5C．3 D．3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5．]2．已知i为虚数单位，则i1+i的实部与虚部之积是(A．14 B．－1C．14i D．－1A[由于i1+i＝i1-i1+所以i1+i的实部与虚部之积是3．在复平面内，复数i1+i＋(1＋3i)2对应的点位于(A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限B[i1+i＋(1＋3i)2＝12i＋12＋1－3＋23i＝－324．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内解为________．1±2i[Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，所以方程的根为x＝2±16即方程的两根分别为1＋2i和1－2i．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以|z|＝a2+b2，|z|＝z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z．2．复数除法的实质是怎样的？[提示]复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．3．实系数一元二次方程的虚根有何特点？[提示]实系数一元二次方程的虚根是成对消灭的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．利用复数产生分形图以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，zn，…．假如存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点．f(z)的全部收敛点组成的集合称为f(z)的布满茹利亚集．例如，当f(z)＝z2时，假如z0＝i，则得到的一列值是i，－1，1，1，…，1，…；假如z0＝1＋i，则算出的一列值是1＋i，2i，－4，…，，…．明显，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的布满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的全部z组成的集合)．让人惊异的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的布满茹利亚集是格外简单的．假如利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色．而且，假如依据肯定的规章对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．课时分层作业(十九)复数的乘、除运算一、选择题1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则()A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3B[a＋3i＝bi－1，∴a＝－1，b＝3，故选B．]2．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2iD[(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D．]3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝()A．1 B．±1C．i D．±iD[由于z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．当z＝i时，z3＝i3＝－i．当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]4．设a是实数，且a1+i＋1+i2是实数，则aA．12 B．C．32 D．B[∵a1+i＋1+i2＝a1-i2又∵a1+i+1+i2∈R，∴15．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2C．1+i1BC[计算得AD为实数，BC为纯虚数．]二、填空题6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________．-3±23i4[由于Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝-3±-7．若复数z满足方程zi＝1－i，则z＝________．－1＋i[由题意可得z＝1-ii＝1-i-ii·-i＝－i(1－8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋1z的虚部为b，则b＝________45[由于z＝－2＋i，所以z＋1z＝－2＋i＋1-2+i＝－2＋i＋-2-i-2+i-2-i＝－2＋i三、解答题9．已知复数z＝1-(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．[解](1)z＝-2i+3+3i2-i＝(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以a+b=1，2+a=10．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“抱负复数”．已知z＝a1-2i＋bi(a，b∈R)为“抱负复数”A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0D[由于z＝a1-2i＋bi＝a1+2i1-2i1+2i＋bi＝a5＋2a5+b11．(多选)已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是()A．若z12<0，则zB．若|z1|＝|z2|，则z12C．若z1＝z2，则z1，z2D．若z12-AC[对于A，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z12＝a2－b2＋2abi<0，则ab＝0且a2－b2<0，所以a＝0，b≠0，所以z1是纯虚数，故对于B，若z1＝1，z2＝i，此时|z1|＝|z2|＝1，但z12＝1≠z2对于C，若z2＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，b)，则z1＝z2＝a－bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，－b)，所以z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故C对于D，若z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则z12＝3+4i，z22＝－3＋4i，此时z12．复数z同时满足①|z－2i|＝|z－2|；②|z|2＝2，则z＝________．±(1＋i)[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到a