新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学生用书新人教A版必修第二册

6.3平面对量基本定理及坐标表示6.3.1平面对量基本定理学习任务1．理解平面对量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．(数学抽象)2．把握平面对量基本定理，会用基底表示平面对量．(规律推理、数学运算)在物理课《力的合成与分解》中，我们知道，一个力可以分解成很多对大小、方向不同的分力．学问点平面对量基本定理1．平面对量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个__________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使__________________2．基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内全部向量的一个基底．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基底中的向量可以是零向量． ()(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ()(3)若AB＝a，AC＝b，AD是△ABC的中线，则AD＝12(a＋b)． (类型1平面对量基本定理的理解【例1】(多选)假如e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的全部向量B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λD．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．[跟进训练]1．(多选)设{e1，e2}是平面内全部向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2类型2用基底表示向量【例2】(源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G．在△ABC外任取一点O，作向量OA，(1)试用OA，OB表示(2)试用OA，OB，[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基底表示其他向量的方法方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止．方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟进训练]2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC．设OA＝a，OB＝b．(1)用a，b表示OC，(2)若OC与OA＋kDC共线，求k的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3平面对量基本定理的应用【例3】(2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．(1)设AB＝a，AD＝b，用a，b表示ED，(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝32AD[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用向量解决几何问题的一般思路(1)选取不共线的两个平面对量作为基底．(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．(3)利用向量学问进行向量运算，得向量问题的解．(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．[跟进训练]3．用向量方法证明：菱形对角线相互垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是()A．{AB，DC} B．{C．{BC，CB} D．{2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为()A．3 B．－3C．0 D．23．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝()A．－12 B．－C．43 D．－4．如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，用基底{a，b}表示AB，BC，则AB＝________，BC＝回顾本节学问，自主完成以下问题：1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？6.3.1平面对量基本定理[必备学问·情境导学探新知]学问点1．不共线向量a＝λ1e1＋λ2e2课前自主体验(1)×(2)√(3)√[关键力量·合作探究释疑难]例1BC[由平面对量基本定理可知，AD的说法是正确的．对于B，由平面对量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]跟进训练1．ACD[选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．]例2解：(1)OP＝OA+AP＝OA＝OA＋12＝OA＋12OB＝12OA＋(2)OG＝OP+PG＝OP＋13PC＝＝OP＋13OC＝23OP＝231＝13OA＋13跟进训练2．解：(1)由题意知A为BC的中点，∴OA＝12(∴OC＝2OA-OB＝2a－DC＝OC-OD＝OC－23OB＝2(2)由(1)得OA＋kDC＝(2k＋1)a－53kb∵OC与OA＋kDC共线，设OC＝λ(OA＋kDC)，则2a－b＝λ(2k＋1)a－53λkb∴2=λ2k+1，-1=-例3解：(1)由于AE＝2BE，所以AE＝23AB，所以ED＝AD-AE＝b－2EF＝EB+BF＝13AB＋12AD＝(2)证明：由于ED⊥EF，所以ED·EF＝0，即b-23a·13a+12即|a|＝32|b|，所以AB＝32跟进训练3．证明：设AB＝a，AD＝b．由于四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，又AC＝AB+AD＝a＋b，BD＝AD-AB＝则AC·BD＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，故AC⊥BD．所以AC⊥BD．[学习效果·课堂评估夯基础]1．D[由于AB，2．A[由平面对量基本定理，得5x则①－②得x－y＝3．]3．D[由题意可得BO＝23×12(BA+BC)＝13BA＋13BC＝13BA＋13(BA+AC)＝23BA＋134．12a－12b12a＋12b[法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有AO＝OC＝12AC＝12a，B