重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高二下学期3月质量监测数学试题（含答案）

万州二中教育集团高2022级高二（下）三月质量监测数学试题（120分钟150分命题人：数学备课组）一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数，则（）A．0 B． C． D．2．若函数在点处的切线与垂直，则（）A．2 B．0 C． D．3．在等差数列中，，，则（）A．4 B．5 C．6 D．84．函数在上的大致图象为（）A． B． C． D．5．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（）A．60 B．48 C．54 D．646．已知双曲线：的焦距为，则的渐近线方程是（）A． B． C． D．7．若函数在单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法10．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（）A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点C．函数必有2个零点 D．11．已知函数，其中，则（）．A．不等式对恒成立B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则的取值范围是C．方程恰有3个实根D．若关于的不等式恰有1个负整数解，则的取值范围为三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是______．13．某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时，总利润最大．14．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”．已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则______．四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知等比数列的公比为整数，且，，数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式．16．（15分）已知函数．（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；（2）讨论的单调性．17．（15分）已知椭圆：的右顶点为，左焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点．记坐标原点为，圆过O、A两点且与直线相交于两个不同的点，（，在第一象限，且在的上方），，直线与椭圆相交于另一个点．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积．18．（17分）已知函数，是大于0的常数，记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，．（1）若函数，，且在存在最小值，求的取值范围．（2）当时，求的取值范围．19．（17分）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的．数列满足，．（1）证明数列为等差数列．（2）证明：；（3）证明：．数学参考答案一．单选1．A【详解】，所以．故选：A．2．D【详解】，，即函数在点处的切线的斜率是，直线的斜率是，所以，解得．点在函数的图象上，则，，所以D选项是正确的．3．C【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得．【详解】设等差数列的公差为，，，，所以．故选：C4．A【详解】依题意，，即函数为奇函数，选项C，D不满足；当时，，而，即，选项B不满足，选项A符合要求．故选：A5．B【详解】因甲不选A景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在B，C，D三个景点中任选一个，有3种选法；第二步，再考虑乙和丙，从A，B，C，D中分别任选一个景点，有中选法．由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．故选：B．6．C【详解】因为焦距为，故，故，故故渐近线方程为，故选：C．7．C【详解】因为，所以，因为在单调递减，所以，即，令，所以在上恒成立，令，，故，即，解得，故选：C．8．A【详解】由可得，当时，显然成立；当时，由可得．设，则，．设，则，当时，，当时，，故的最小值为，故，即，当且仅当时等号成立．故，当且仅当，即时等号成立，又满足，故，即，故实数的取值范围为．故选：A二．多选9．ABD10．BD【详解】因为，所以，因为导函数满足，当时，，则，所以是增函数；当时，，则，所以是减函数；故A错误，B正确；又，则，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，可能有1个或2个零点，故C错误；因为函数在上为增函数，所以，即，整理得，故D正确；故选：BD11．AD【详解】对于选项A，，当或时，，所以在，上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD三．填空12．13．25【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以，（其中为非零常数），又生产100件这样的产品单价为50万元，所以，故，所以，记生产件产品时，总利润为，所以，则，由，得；由，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，取最大值，即产量定为25件时，总利润最大．故答案为：2514．0【详解】当时，过原点作的切线，设切点，，，则切线方程为，又切线过点，所以，所以．设，，则为增函数，且，所以，，当时，过原点作的切线，设切点，，，则切线为，又切线过点，所以，又，，，因为，所以两切线垂直，所以，．故答案为：0．四．解答题15．【解答】解：（1）由题意，设等比数列的公比为，则，，，，化简整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由题意，设，则数列的前项和，则当时，，当时，，当时，也满足上式，，，，，，．16．【解答】解：（1）若，则，，，所以曲线在点处的切线斜率为，即，解得，所以，所以切线的方程为，即．（2）函数，，，令，，则为开口向上，对称轴为，，又，当，即时，在上单调递增，所以，所以在上，单调递增，当，即时，①若，即时，，所以在上，单调递增，②若，即时，有两个根，，若，即时，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．17．【解答】解：（1）由题意有：，又，所以，所以陏圆的方程为，又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）设，，，，，因为，所以，①圆过点与且与直线相交于两个不同的点，，则圆心的坐标为，又，所以，解得，②由①②解得，，所以，，所以直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，解得点的横坐标，所以，又到直线的距离，所以的面积．18．【解答】解：（1）（2）函数，求导得，所以切线方程为：，令，得，由，得，又，则，解得，又，得，即，令，，所以，所以当时，，当时，，因此函数在区间单调递增，在区间单调递减，而，，则由，得，所以的取值范围是．19．【解答】（I）解：，．故是