湖南省长沙市麓山国际实验学校2023-2024学年高一下学期第一次学情检测数学试题(含答案)

-2024-2麓山国际高一年级第一次学情检测高一年级数学试卷总分：150分时量：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题且，则命题为（）A．且 B．或C．且 D．或2．已知函数，则（）A．6 B．4 C．2 D．03．（★）设是非零向量，则是成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为．若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（）A． B． C． D．5．（★）已知正实数满足，则的最小值是（）A．9 B．8 C．3 D．6．在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角的大小为（）A． B． C． D．7．（★）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知关于的不等式的解集为，则（）A． B．C．的解集是 D．的解集是10．（★）已知向量，下列说法正确的是（）A． B．C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量在向量上的投影向量为11．下列命题中正确的是（）A．若且，则为第二象限角B．C．若，则D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（★）_______．

13．（★）_______．14．（★）已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是①②③④．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知二次函数满足．（1）求的解析式．（2）求在上的值域．16．（15分）在中，内角所对的边分别为．已知．（1）求的大小；（2）若，求的面积．17．（15分）已知定义在上的函数，且是偶函数．（1）求的解析式；（2）当时，记的最大值为，若存在，使，求实数的取值范围．18．（17分）已知函数，其中在一个周期内的图象如图所示，点，点是图象上的最低点，点是图象上的最高点．（1）求函数的解析式（2）记（均为锐角），求的值．19．（17分）已知为常数，函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）对于给定的，且，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．2023-2024-2麓山国际高一年级第一次学情检测高一年级数学试卷参考答案1．B存在量词命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，并否定结论，故命题为或．故选：B．2．C由题意，在中，，故选：C.3.B由可知，方向相同，表示方向上的单位向量，所以成立；由可得，同向共线，不一定有，反之不成立，所以是成立的充分不必要条件，故选B.4．D将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间，高度的变化较大，即较大，到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大．故选：D．5.C由条件知当且仅当故选C.6．B因为向量，，，所以，即，由余弦定理可得.因为，所以，故选：B.7.B因为由故选B.8．A由题意可知时，，根据正弦函数的图象与性质知.故选：A9．CD由题意可得和5是方程的两根，且，由韦达定理可得，得，对于A，因为，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，不等式，即，即，得，∴不等式的解集是，故C正确；对于D，由不等式，得，即，则，得或，即解集为，故D正确.故选：CD.10.AD因为，11．ABD若，则为第二或四象限角，又，则为第一或二象限角或终边为y轴非负半轴，则为第二象限角，故A选项正确；，B选项正确；当时，满足，此时，不满足（），故C选项错误；角的终边在第一象限，则角的终边在第一或第三象限，当角的终边在第一象限时，，当角的终边在第三象限时，，故则的取值集合为，D选项正确.故选：ABD12.13.914.④画出的图象，由图可知，的符号不确定,,故①②错；故又15．(1)(2)【详解】（1）令，则，，∴（2）因为，所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，∴，，即的值域为16．(1)(2)【详解】（1）由，结合正弦定理，得，即，即，即，因为，所以，即．（2）因为，所以．利用正弦定理得．而，故的面积为．17．(1)(2)【详解】（1）记，为偶函数，恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，，（2）和都是单调递增函数,在是单调递增的，,在上有解，在上有解，在上有解，在上单调递增，,18.【详解】以及点是图象上的最低点，是图象上的最高点.可得将Q点代入得：所以又因为，所以，所以(2)由图可知，点R的横坐标为，19．（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.【详解】（1）当时，.当，即时，由得或，不等式的解集为或.当，即时，恒成立，不等式的解集为.当，即时，由得或，不等式的解集为或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或（2）当时，，其图象的对称轴为.当，即时，在上单调递增，在上存在零点，，即得..当，即时，在