广东省东莞市望牛墩中学2022－2023学年九年级下学期一模考试数学试卷（含解析）

-2023学年望牛墩学校九年级下学期一模考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．-(+2)的化简结果（）A．2B．0C．−12 2．下列计算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2 B．a4÷a＝a4 C．2a2+a2＝3a4 D．a3•a4＝a73．如图所示的几何体的俯视图为（）A． B． C． D．4．受疫情影响，2022年上半年某县经济出现逆势增长，上半年该县生产总值约为11.7亿元，按可比价计算，比上年同期增长0.8%．将数据11.7亿用科学记数法表示为（）A．11.7×108 B．1.17×109 C．1.17×108 D．11.7×1095．书架上有1本数学书，2本物理书，从中任取1本书是物理书的概率为（）A． B． C． D．6．已知点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）7．下列实数中最大的数是（）A． B．π C． D．48．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形9．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（）A． B． C． D．10．二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0，②b＞a＞0，③4a﹣2b+c＜0，④a﹣c＞k．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）11．因式分解：b2﹣4＝．12．已知x1和x2一元二次方程x2+3x-1＝0的两根，那么x1+x2的值为．13．如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则△ABC的面积为cm2．14．如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和增加°．15．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为．三．解答题（共8小题）16．计算：−117．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若CD＝3，AD＝5，过点D作DE⊥AB于E，求AE的长．18．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．（1）求证：AB＝DE；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．19．为了解某校七年级450名男生引体向上成绩情况，陈老师对该校随机抽取的30名七年级男生进行了引体向上测试，制成统计表如表：成绩（个）01234567学生（人）13564533（1）求这30名男生引体向上成绩的平均数、中位数和众数．（2）学校规定：当引体向上测试成绩超过5个时成绩等级评为优秀，请估计该校七年级所有男生引体向上成绩为优秀的人数．20．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．（1）原来每天加固河堤多少米？（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？21．现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数，（1）根据图中规律，写出（a+b）5的展开式；（2）根据图中规律,多项式（a+b）2的展开式第三项的系数是1,（a+b）6第三项的系数；（3）认真观察规律,猜想多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；（4）若（a+b）n的展开式第三项的系数是210,求你n的值22．如图△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．（1）求证：BM平分∠ABC；（2）当BC＝4，cosC＝时，①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．2022-2023年望牛墩学校九年级下学期一模考试数学试卷答案解析一．选择题（共10小题）1．-(+2)的化简结果（）A．2B．0C．−12 【分析】本题考查相反数的概念,关键是掌握只有符号不同的两个数叫做相反数.【解答】故选：D．2．下列计算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2 B．a4÷a＝a4 C．2a2+a2＝3a4 D．a3•a4＝a7【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项逐项进行判断即可．【解答】解：A．（﹣a）2＝a2，因此A不正确；B．a4÷a＝a3，因此B不正确；C．2a2+a2＝3a2，因此C不正确；D．a3•a4＝a7，因此D正确；故选：D．【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项等知识，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方是得出正确答案的前提．【点评】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．如图所示的几何体的俯视图为（）A． B． C． D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看外边是正六边形，里面是圆，故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．受疫情影响，2022年上半年某县经济出现逆势增长，上半年该县生产总值约为11.7亿元，按可比价计算，比上年同期增长0.8%．将数据11.7亿用科学记数法表示为（）A．11.7×108 B．1.17×109 C．1.17×108 D．11.7×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11.7亿＝1170000000＝1.17×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．书架上有1本数学书，2本物理书，从中任取1本书是物理书的概率为（）A． B． C． D．【分析】应用简单随机事件概率计算方法进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，P（从中任取1本书是物理书）＝．故选：D．【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．6．已知点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，而1×3＝﹣3×（﹣1）＝3×1＝3，﹣1×3＝﹣3，∴点（﹣1，3）在该反比例函数图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．7．下列实数中最大的数是（）A． B．π C． D．4【分析】先化简＝3，估算，然后进行大小比较即可得出答案．【解答】解：∵3.82＝14.44，∴3.8，∵＝3，∴，∴最大的数是4．故选：D．【点评】本题考查了立方根和算术平方根以及实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．8．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理，分别分析得出答案．【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意；C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法等进行求解是解决本题的关键．9．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．【解答】解：∵＝+，∴＝﹣＝，∴u＝，故选：B．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把异分母通分．10．二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0，②b＞a＞0，③4a﹣2b+c＜0，④a﹣c＞k．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案．【解答】解：由图象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞a＞0，故②正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵当x＝﹣1时，ax2+bx+c＜，∴a﹣b+c＜﹣k，∵b＝2a，∴﹣a+c＜﹣k，∴a﹣c＞k，故④正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．二．填空题（共5小题）11．因式分解：b2﹣4＝（b+2）（b﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：b2﹣4＝（b+2）（b﹣2）．故答案为：（b+2）（b﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．12．已知x1和x2一元二次方程x2+3x-1＝0的两根，那么x1+x2的值为【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2＝﹣＝﹣3，x1•x2＝＝1，再把前面的值代入即可求出其值．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x+1＝0的两根为x1和x2，∴x1+x2＝﹣＝﹣3，x1•x2＝＝1，故填空答案-3．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．在形如x2+px+q＝0的方程中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．13．如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则△ABC的面积为12cm2．【分析】根据三角形的中位线得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，得出比例式，即可得出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△ADE的面积为3cm2，∴△ABC的面积为4×3cm2＝12cm2，故答案为：12．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质和判定的应用，能得出△ADE∽△ABC是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．14．如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和增加360°．【分析】根据多边形的内角和定理即可求得．【解答】解：设原多边形边数是n，则n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加2，则新多边形的内角和是（n+2﹣2）•180°．则（n+2﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°．故它的内角和增加360°．故答案为：360．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，是基础题，熟记公式是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为4．【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP＝2，则AB的最小长度为4．【解答】解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OC﹣3＝2，∴OP＝OA＝OB＝2，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最小值是解题的关键．三．解答题（共8小题）16．计算：−10【分析】先计算立方根、分数指数幂、零次幂，再计算加减．【解答】解：−10−【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若CD＝3，AD＝5，过点D作DE⊥AB于E，求AE的长．【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．（2）利用角平分线的性质定理证明DC＝DE＝3，再利用勾股定理求出AE即可．【解答】解：（1）∠ABC的角平分线BD如图所示．（2）∵BD平分∠ABC，作DE⊥AB于E，∠C＝90°，∴DC⊥BC，∴CD＝DE＝3，∵AD＝5，∴AE＝＝＝4．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．（1）求证：AB＝DE；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；（2）根据矩形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC，∵AE＝BC，∴AE＝BD，∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE；（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，∵AE＝BC，BD＝CD＝BC，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝DE，∴当AB＝AC时，AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．为了解某校七年级450名男生引体向上成绩情况，陈老师对该校随机抽取的30名七年级男生进行了引体向上测试，制成统计表如表：成绩（个）01234567学生（人）13564533（1）求这30名男生引体向上成绩的平均数、中位数和众数．（2）学校规定：当引体向上测试成绩超过5个时成绩等级评为优秀，请估计该校七年级所有男生引体向上成绩为优秀的人数．【分析】（1）分别根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可；（2）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）这30名男生引体向上成绩的平均为：×（0+1×3+2×5+3×6+4×4+5×5+6×3+7×3）＝3.7（个），中位数为＝3.5（个），众数为3个；（2）450×＝90（人），答：估计该校七年级所有男生引体向上成绩为优秀的人数为90人．【点评】此题考查了中位数、众数，本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．20．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．（1）原来每天加固河堤多少米？（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？【分析】（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，由题意：某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，共用26天完成了全部加固任务．列出分式方程，解方程即可；（2）由（1）得（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），由题意：承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，列式计算即可．【解答】解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，由题意得：+＝26，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：原来每天加固河堤80米；（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21．现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数，（1）根据图中规律，写出（a+b）5的展开式；（2）根据图中规律,多项式（a+b）2的展开式第三项的系数是1,（a+b）6第三项的系数；（3）认真观察规律,猜想多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；（4）若（a+b）n的展开式第三项的系数是210,求你n的值【分析】（1）根据表中的规律可以直接写出（a+b）5的展开式；（2）根据表中的数字，可以得到多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，再根据表中第三项系数的变化特点，可以得到多项式（a+b）n的第三项系数；（3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和；（4）根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题．【解答】解：（1）由图可得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）由图可知，多项式（a+b）n的展开式是一个n次（n+1）项式，∵（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；∴（a+b）6的第三项系数为1+2+3+4+5=15；（3）∵（a+b）1的展开式的各项系数之和1+1＝2＝21，（a+b）2的展开式的各项系数之和1+2+1＝4＝22，（a+b）3的展开式的各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，（a+b）4的展开式的各项系数之和1+4+6+4+1＝16＝24，…，∴（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和是2n；（4）（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）＝=210,n=21【点评】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值．22．如图△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．（1）求证：BM平分∠ABC；（2）当BC＝4，cosC＝时，①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）【分析】（1）连OM，根据切线的性质得OM⊥AE，而AE⊥BC，则OM∥BC，根据平行线的性质得∠OMB＝∠MBC，而∠OBM＝∠OMB，所以∠OBM＝∠MBE；（2）①设⊙O的半径为R，根据等腰三角形的性质得BE＝CE＝2，由cos∠C＝得到∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，所以AB＝AC＝BC＝4，则∠OAM＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AO＝2R，则2R+R＝4，解得R＝；②过O作OH⊥BM，H为垂足，根据垂径定理得BH＝MH，易得∠AOM＝60°，∠ABH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得OH＝OB＝，BH＝OH＝，所以BM＝，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式和S阴＝S扇形FOM+S△OBM进行计算．【解答】（1）证明：连OM，如图，∵⊙O与AE相切于M，∴OM⊥AE，∵AE⊥BC，∴OM∥BC，∴∠OMB＝∠MBC，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠OBM＝∠MBE，∴BM平分∠ABC；（2）解：①设⊙O的半径为R，∵AB＝AC，BC＝4，AE⊥BC，∴BE＝CE＝2，在Rt△ACE中，cos∠C＝，∴∠C＝60°∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∴∠OAM＝30°，∴AO＝2R，而AB＝OA+BO，∴2R+R＝4，∴R＝，即⊙O的半径为；②过O作OH⊥BM，H为垂足，如图，∵OH⊥BM，∴BH＝MH，∵OM