高等数学数列的极限

关于高等数学数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列极限的性质

1.3数列的极限第2页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入第3页,共65页，2024年2月25日，星期天正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第4页,共65页，2024年2月25日，星期天2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第5页,共65页，2024年2月25日，星期天二、数列的定义称为一个数列,

记为{xn}.1.定义

数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)

称为数列的通项或一般项

数列也称为序列第6页,共65页，2024年2月25日，星期天介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1第7页,共65页，2024年2月25日，星期天…xnx2x1x0x3…••••••••••第8页,共65页，2024年2月25日，星期天01–1x所有的奇数项所有的偶数项第9页,共65页，2024年2月25日，星期天x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项第10页,共65页，2024年2月25日，星期天1xnx3x2x1x0………••••••••••…第11页,共65页，2024年2月25日，星期天注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第12页,共65页，2024年2月25日，星期天001二、数列的极限第13页,共65页，2024年2月25日，星期天播放第14页,共65页，2024年2月25日，星期天问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第15页,共65页，2024年2月25日，星期天第16页,共65页，2024年2月25日，星期天预先任意给定一个正数

>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后的所有项都落在U(1,

)中.（在U(1,

)外面只有有限项）第17页,共65页，2024年2月25日，星期天其中,是描述点xn与点0无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.

1n)1(e<--N-11+第18页,共65页，2024年2月25日，星期天由N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N(

).不等式称为目标不等式.第19页,共65页，2024年2月25日，星期天一般地,

如果数列{xn}当n

时,

列{xn}当n

时以a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数a,

则称数此时,也称数列是收敛的.第20页,共65页，2024年2月25日，星期天若{xn}当n

时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,

也称数列{xn}是收敛的.

极限描述的是变量的变化趋势

数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：第21页,共65页，2024年2月25日，星期天注意：第22页,共65页，2024年2月25日，星期天几何解释:其中因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关，改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限第23页,共65页，2024年2月25日，星期天数列极限的定义未给出求极限的方法.证所以,注意：例2第24页,共65页，2024年2月25日，星期天证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3第25页,共65页，2024年2月25日，星期天证作为公式用例4第26页,共65页，2024年2月25日，星期天(P36-6)证例5第27页,共65页，2024年2月25日，星期天1.-N语言证明(关键:技巧是适当地放大不等式)说明:-N语言的应用有以下两个方面:练习P36-3及作业的填空题（练Ｎ的选取）第28页,共65页，2024年2月25日，星期天2.用“-N”语言,由一个已知极限存在的数列,证明另一个数列的极限.方法:

对已知极限存在的数列应用“-N”语言,再从中变形成所要证明的数列极限的“-N”语言形式.(如例4)练习P36-5，6，7，8第29页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界第30页,共65页，2024年2月25日，星期天定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.推论

无界数列必定发散.

该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.

例如,{(－1)n}.第31页,共65页，2024年2月25日，星期天2.唯一性定理2想想,如何证明它？若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.第32页,共65页，2024年2月25日，星期天设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由

的任意性,上式矛盾,故a=b.第33页,共65页，2024年2月25日，星期天3.唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.

充分必要条件何谓子数列？第34页,共65页，2024年2月25日，星期天

子数列的概念

在数列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为

唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．第35页,共65页，2024年2月25日，星期天例6解取子数列：第36页,共65页，2024年2月25日，星期天例7解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:第37页,共65页，2024年2月25日，星期天四.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性.重点：

-N语言应用第38页,共65页，2024年2月25日，星期天思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立第39页,共65页，2024年2月25日，星期天思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第40页,共65页，2024年2月25日，星期天从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为第41页,共65页，2024年2月25日，星期天由均值不等式

或用后面讲的夹逼准则证明第42页,共65页，2024年2月25日，星期天练习题第43页,共65页，2024年2月25日，星期天1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入第44页,共65页，2024年2月25日，星期天1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入第45页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第46页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第47页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第48页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第49页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第50页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第51页,共65页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第52页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第53页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第54页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第55页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第56页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第57页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第58页,共65页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第59页,共65页，2024年2