甘肃青海宁夏三省2023届高三下学期联考数学（文）试卷（含答案）

甘肃青海宁夏三省2023届高三下学期联考数学(文)试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、若iz=l—2i,则z2=()

A.-3-4iB.3-4iC.-3+4iD.3+4i

2、已知集合A={x∣4x<l},B={x∣-3<6%<8},则AB=()

B.{J∣x<g}C.卜Ix<：}D.∣x∣-y<x<∙^∣

3、已知平面向量α=(2,m),6=(4,—6),且α∙b=T0,则∣α∣=()

A.5B.2√2C.√13D.√15

4、已知互相垂直的两个平面α,"交于直线/,若直线加满足加_La,则()

A.m±βB.2_L/〃C.mllβD.IHm

5、某企业为了解员工身体健康状况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发

部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4:1,且

被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72,则参加体检的人

数是()

A.90B.96C.120D.144

6、在AABC中，内角A,B,C所对应的边分别是α,b,c,若的面积是

G(O2+C2-/)

，则A=()

4

,π

A.-

3B∙T吟

2尤+y-2≥0,

7、已知实数X,y满足约束条件∣x-2y-2≤0,,则』的最大值是()

X

A.lB.-C.2D.3

3

8、已知函数/(x-l)为偶函数，且函数/(x)在［-l,+∞)上单调递增，则关于X的不等

式/(1-2')<∕(-7)的解集为()

A.(-∞,3)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)

9、已矢口cos(α+^^∣∙]+cos[α+^∙)=g,贝IJCoS〔2a+,)=()

A∙-空B∙i*

25

10、将函数/(X)=2Sin(2x+狮图象向左平移J单位长度，得到函数g(x)的图

像，则g(x)的单调递增区间为()

13π.π,π,1lπ,

A.--------FK71,FKTt(⅛∈Z)B.------Fκ7U,Fk∏(ZeZ)

24-------2424-----24

π,π,π,5π.

C.-----l-κπ,-+κπ(女∈Z)D.---Fkll,----FKTt伏∈Z)

63.36

11、已知体积为三的球Q与正三棱柱ABC-A与G的所有面都相切，则三棱柱

ABC-44Cl外接球的表面积为()

A.24πB.20πC.16πD.12π

12、若函数/(X)=Ye*-In%的最小值为加，则函数gCrXGe"+?τ∏x的最小值为()

A.∕∏-lB.em+1C.∕∏÷lD.em-1

二、填空题

13、函数/(x)=5SinX+3CoSX的图象在点(0,3)处的切线的斜率为.

14、南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的

轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的

深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

15、2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人开展

应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为.

r22

16、已知O是坐标原点，尸是双曲线a-τ-a=l(q>0/>0)的左焦点，平面内一点

ab

M满足AOM尸是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点M且IMNI=INR则双曲

线E的离心率为.

三、解答题

17、设数列｛叫的前〃项和为S“，JSLSn=2αn-l.

(1)求｛4,,｝的通项公式；

(2)若bn=an+log,an+i,求数列也｝的前〃项和Tn.

18、赤霉素在幼芽、幼根、末成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植

株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：ng∕g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通

过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10,20,30,40,50的种子各20粒，并跟踪每

粒种子后天生长的情况，收集后天生长茁壮的种子数量y(单位：粒)，得到的数据如下

表：

赤霉素含

1020304050

量X

后天生长

茁壮的种237810

子数量y

(1)求y关于X的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，估计IOOO粒赤霉素含量为60ng∕g的种子中后天生长茁壮的

数量.

∑(xi-x)(^.-y)

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=*½----------,

/=1

a=y-hx.

19、如图，在四棱锥P-ABcD中，四边形ABCO是菱形，NABC=60。，PA=PC,

E是棱PD上的动点，且2PO=3PE.

(1)证明：AC_L平面PBD

(2)若AB=2,PB=PD=娓,求点尸到平面ACE的距离.

20、已知函数f(x)=∖nx--x+-.

2X

(1)若“X)在(3,+8)上不单调，求实数”的取值范围；

⑵当XGn,+8)时，/(χ)≤0恒成立，求实数α的取值范围.

22

21、已知椭圆C:*+我=l(α>b>O),四点M∣(-2,—2),M2(2,l),M3(2,2),

〃4(加，1)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点(-2,-4)的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,试问直线MvP,的斜率

之和是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由.

22、［选修4-4：坐标系与参数方程］

在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为F=l+=c°sα,(α为参数).在以坐标原

点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于O,A两点.

(1)求曲线C的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)若直线/的极坐标方程为e=g,曲线C与直线/相交于。，B两点，求AOAB的面

积.

23、［选修4-5：不等式选讲］

已知函数/(x)=∣x+α∣+∣x-3∣.

(D当α=2时,求不等式/(x)≥2x的解集;

(2)若不等式/(x)≤g4+5的解集非空，求”的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：因为iz=l-2i,所以(iz)2=(l-2i)2,gp-z2=-3-4i,则z?=3+4i.

2、答案：B

解析：因为A={x∣x<1},8={x∣-g<X<g},所以A6={x∣x<g}.

3、答案：C

解析：α∙b=8—6加=—10,则/"=3,所以Ial=J4+9=-Jn.

4、答案：B

解析：因为IUCc,所以又<2_1力，所以加//夕或mu/?.故选B.

5、答案：C

解析：设参加体检的人数是〃，则3」〃=72,解得〃=120.

55

6、答案：A

222

一Iʌ/ɜ(z?+c-α)ʌ/ɜr-

解析：由题意可得一OcsinA=——---------------=——becosA,所以tanA=6,则

242

π

A=-.

3

7、答案：C

解析：画出可行域，如图所示，且A∣^,-∣)表示的是可行域内的点与原点0(0,0)

连线的斜率，故工,-±2.

8、答案：A

解析：因为/(X-1)为偶函数，所以/(X-1)的图象关于y轴对称，则/(X)的图象关于

直线尤=T对称.因为/(x)在[-1,+∞)上单调递增，所以/(x)在(-∞,T]上单调递减.因

为了(1—2)</(—7),所以一7<l-2'<5,解得x<3.

9、答案：C

解析：因为cos(α+^∣∙J+CoSla+^∙)=g,所以cos(a+1]-sina+])=g，所以

I.(.π∖1,∣.24,,(C2π∖.(C24

l-sιn2«+—=—，rn贝IJSnI2a+—=—，故CoS2a+—=-sιn2a+—=-----.

(6J25(6J2513)(6J25

10、答案：D

解析：g(x)=/1+个)=2sin+g=2COSl2x+gJ,令

π+2kπ<2x+^≤2π+2A,π,kwZ,解得;+kπ≤x≤詈+kπ,AeZ,故g(x)的单调

递增区间为-+kπ,-+kπ(&∈Z).

_36_

11、答案：B

解析：因为球01的体积为手，所以球。1的半径为1,又球。与正三棱柱ABC-AgG

的所有面都相切，所以正三棱柱ABC-A6Cl底面内切圆的半径为1，高为2,则三棱

柱ABC-4gG外接球的半径为Vi万=6，即外接球的表面积为20π.

12、答案:C

解析：若Xe(O,+∞),则exe(0,+∞),所以函数

/(eɪ)=(e%)2eex-ln(eɪ)=x2eex+2-(1+Inx)的最小值与/(Λ)的最小值相等，因为

g(χ)=/(")+1，所以g(χ)的最小值为加+1.

13、答案：5

解析：因为/'(x)=5cosx-3sinx,所以/'(0)=5.

14、答案：—

8

解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

依题意可得A的坐标为设抛物线的标准方程为V=2Py(P>0),

则以=6p,解得P=—.故该抛物线的焦点到准线的距离为^cm.

488

3

15、答案：-

5

解析：记另外3人为α,b,C从这5人中任意选出2人，总事件包括（甲,乙），

（甲,0）,（甲力），（甲,c）,（乙,0）,（乙力），（乙,c）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,共10种情况,

其中甲、乙2人中恰有1人被选中的事件包括（甲⑷，（甲力），（甲,c）,（乙,α）,（乙力）,

（乙,c）,共6种情况，故所求的概率为9=土

105

√B+1

16、答案:

3

解析：设双曲线E的右焦点为F2,连接NF?（图略），因为AOMF是等边三角形，所以

IMF∣=∣OF∣=c,NOfM=60°.又IMNI=INFI,所以INFl=I.在AFN心中,

222

∣TV∕ς∣HΛ^F∣+∖FF2f-2∖NF∖-∖FF2∖COSZNFF2=^-C,则IN用=半c,则

+1

2α=∣N居|一|NFl=^ɪɪɪe,贝∣jf=-j=f—=^.

1^l2a√13-13

17、答案：(l)α,,=2"τ

解析：⑴当〃=1时，Sl=al=2ai-1,解得“∣=L

当“22时，S,τ=2α,"-1,则%=S“一S(IT=2α,,-2α,τ,即4=2α,-("≥2),

从而｛0,,｝是首项为1,公比为2的等比数列，

故4=%q"T=2n^*.

⑵由(1)可得/+∣=2",则勿=2"-∣+〃,

故(=(1+1)+(2+2)+(2?+3)++(2π^*+n)

=(1+2+22++2n^l)+(l+2+3++n)

l-2n(l+n)2n+'+√+zι-2

=--------1----------π=-------------------.

1-222

18、答案：(l)y=0.21x-03

(2)615

版十二zιχ-10+20+30+40+50CC-2+3+7+8+10Z

解析：⑴X=-------------------------=30,V=--------------------=6.

55

Z(XiT)(y-y)=2io,∑(χ,∙-χ)^=WOO,

/=I/=1

•210-

则ZJ=------=0.21,a-y-bx--0.3.

1000

故y关于X的线性回归方程为y=0.21x-0.3.

(2)将％=60代入y=0.2Lc—0.3,得至Uy=12.3，

则估计IOOO粒赤霉素含量为60ng∕g的种子中后天生长茁壮的数量为IOoOX/=615.

19、答案：（1）证明见解析

⑵李

解析：（1）证明：记ACBD=O,连接OP,则。是B。，AC的中点.

因为四边形ABCo是菱形，所以BDj.AC.

因为PA=PC,且。是AC的中点，所以OPLAC.

因为OP,BDU平面PB。，且OPBD=O,所以AC_L平面PBD

⑵解：连接OE

l∖

因为BB=P。，且。是8。的中点，所以OP_LB£>.

因为OPLAC,AC,BDU平面ABCD,且ACBD=O,所以OPL平面ABCD

因为AB=2,ZABC=60°,所以AC=2,OB=也,则。P=6.

故三棱锥P-AC。的体积/Ae=JXLX2X√5X>Λ=1∙

32

29

因为2PO=3PE,所以VPYCE=

过点E作£F_LB。，垂足为凡

由题中数据可得ER=JoP=立，OF=ZoD=巫,则OE=姮.

33333

因为OEU平面PB。，且AC_L平面P8D,所以ACJ_OE,

则A4CE的面积5=&2乂巫=姮.

233

设点P到平面ACE的距离为d,则％TCE=2X坐d=：,解得d="5.

ACt3335

20、答案：(l)α的取值范围是1-00,-|

(2)α的取值范围是1-8,；

解析：(1)因为广(幻=4-五M=E±⅛≡≥,且/(x)在(3,+8)上不单调，

X2x2x

所以关于X的方程-Y+2χ-2"=0在(3,+8)上有根，

所以—32+2x3-2α>O,所以a<—g,即α的取值范围是18,—

(2)因为/(尤)=InX——X+—≤O,所以Y-xInx.

2X2

⅜^(x)=-X2-x∖nx,则g,(x)=x-∖nx-l.

令〃(X)=X-Inx-I,贝(jM(X)-\--=——-,

XX

可知力(X)在(0,1)上单调递减，在(l,⅛w)上单调递增,

,

所以Λ(x)min=∕z(l)=0,所以h(x)=g(x)≥0，

所以g(X)在［1,+OO)上单调递增，所以gθ)min=<?⑴=:，

所以α≤L,即α的取值范围是JO0」.

212」

r2V2

21、答案：⑴Tral

(2)直线M∙iP,V3。的斜率之和是定值，且该定值为1

解析：(1)由椭圆的对称性可知M∣(-2,-2),M,(2,2),M,(W,1)在椭圆C上•

44F-(2

KQ=

解m162

由题意可得1lb2=

10F-

—+

ar

22

故椭圆C的标准方程为工+J=1.

126

(2)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为％=-2,则不妨令P(-2,2),Q(-2,-2).

因为“3(2,2),所以右述=0,⅛=1,故％P+%2=L

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k(x+2)-4,P(X,y),Q(x2,y2)>

y-k(x+2)-4,

联立・f丁2整理得(2^+i)f+8-AS一2)%+8%2_32女+20=0,

—I—=1,

〔126

贝U由A〉。，W4⅛2+8Zr-5>0,x+x=-^⅛^,8%2-32Z+20

2XM2=

1-2公+12-+1

X—2

因为ZaP

Xj—2‰=—工2-2

y-2+%-2kX[+2k-6+kx?+2k-6

所以+"%。

x∣—2%2—2Xj-2x1—2

(G+2⅛-6)(X2_2)+(AX2+2左一6)(玉一2)2kxix2-6(x1+X2)-8ZΓ+24

(x1-2)(X2-2)xlx2-2(x