高中数学人教A版选修2-1测评2-2-2椭圆的简单几何性质

第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆x2a2+y25=1(a>5)A.4 B.3 C.2 D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a>5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.椭圆x225+y29=1与x29A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等解析椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上,前者a2=25,b2=9,则c2=16,后者a2=25k答案D3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=C.x26+y24=解析由题意得c=25,a+b=10,所以b2=(10a)2=a2c2=a220,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+答案A4.已知椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,若定点B(1,0),则|PB|A.32 B.2 C.52 D解析由题意可得:e2=a2-1a2=2椭圆方程为y25+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则y02故|PB|=(x当x0=14时,|PB|max=5答案C5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为433,且a2=A.x28+y24=1C.y216+x28=解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=bax+b,即bx+ayab=0,依题意原点到直线的距离为aba2+b2=433,且a2=2b2,由此解得a2=16,b答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.

解析依题意有(a+c)∶(ac)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=ca答案17.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.

解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,∴a≥2,当且仅当b=c=2时等号成立.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为210解析由题意,得2ab=210,即ab=10①.又e2=c2a2=a2-b2a2解①②得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为x25+答案x259.(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过1,32,一个焦点为解(1)由右焦点为(2,0),则c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2c2=1,椭圆C的方程为x2(2)由题意得1a2+34b2=1,a2-b210.已知椭圆x24+y23=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M解由已知得c2=43=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(2≤x≤2),则(x-1)2+y2=|x4|,两边平方得y2=6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入因为2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若点A(1,m)在椭圆C:x24+y22=1的内部,A.(6,B.62,C.∞,62∪62,+∞D.32,解析由题意知,124+m22<1,解得m∈6答案B2.如图,F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△FA.32 B.12 C.22 D解析连接AF1(图略),由圆的性质知,∠F1AF2=90°.因为△F2AB是等边三角形,所以∠AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=3c,因此e=ca=答案D3.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明方程a2x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则PQ2AQ·BQ为常数.据此推断A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,答案D4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面mkm,远地点B距离地面nkm,地球半径为kkm,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2(m+kC.mn D.2mn解析由题意可得ac=m+k,a+c=n+k,故(ac)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m所以椭圆的短轴长为2(m答案A5.已知点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,A.33 B.12 C.22解析点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,可得4a2+1b则|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2所以e=a2-b2答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤32,则长轴长的取值范围为.解析因为b=1,所以c2=a21.又c2a2=所以1a2≥14,即a2≤4.又a21>0,故1<a≤2,长轴长2<2a≤4.答案(2,4]7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的标准方程为.解析设椭圆G的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>所以b2=a2c2=3627=9,故椭圆G的方程为x236+答案x2368.已知F1(c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点解设P(x0,y0),则PF1=(cx0,y0),PF2=(cx0,y0),所以PF1·PF2=(cx0)(cx0)+(y因为P(x0,y0)在椭圆上,所以x02a所以y02=b2所以PF1·PF2=x解得x0因为x0∈[a,a],所以x02∈[0,a即0≤(3c2-a2)a2c2≤a2,所以即13≤c2即椭圆离心率的取值范围是339.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,(1)求椭圆C的标准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)∵焦距为2,△ABF1的周长为42,∴c=1,4a=42,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=2.∴椭圆C的标准方程为x22+y2=(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立x=my+1,x2+2y2=2,得(m∴y1+y2=2mm2+2,y1y∵|AB|=4|F2A|,∴|BF2|=3|F2A|,∴y2=3y1.联立y1+y2=∴直线AB的方程为xy1=0或x+y1=0.10.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=2x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2.∵e=ca=22,∴b2=a2c2=2,即椭圆方程为x24+(2)设点A的坐标为(x1,y1),点