第6.3.2讲平面向量的正交分解及坐标表示-第6.3.3讲平面向量加减运算的坐标表示-新高一数学宝典（人教A版2019）

平面向量及其应用第6.3.2讲平面向量的正交分解及坐标表示第6.3.3讲平面向量加减运算的坐标表示班级_______姓名_______组号_______1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．会用基底坐标表示向量的加减运算．3．培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理的学科素养．1、向量的坐标表示2、向量加减法的坐标运算3、向量加减法坐标运算的应用1．向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．3．向量加、减运算的坐标表示(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．题型1、向量的坐标表示1．已知向量，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.【详解】向量，，则.故选:C2．已知点，则与向量方向相反的单位向量为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的坐标表示，得到，求得，结合，即可求解.【详解】由点，可得，则所以与向量方向相反的单位向量为.故选：B.3．若，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】由，可得，，故选：B.4．已知向量，，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，求出，再列出方程，即可得解.【详解】设点，又因为，，所以，即，所以，解得所以点的坐标为.故选：C.5．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，所以.故选：C题型2、向量加减法的坐标运算6．已知向量，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐标加减运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：A7．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加减法结合坐标运算计算即可.【详解】,,.故选：C.8．如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可.【详解】如图建系可得,,,..故选:D.9．在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用可得答案.【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，则，因为，可得，即，解之得，所以.故选：D.10．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接刚好构成一个四边形，则向量的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先设出向量的坐标为，再利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得向量的坐标.【详解】设=，因为表示向量的有向线段首尾相接刚好构成一个四边形，则，所以即=，故选：C.题型3、向量加减法坐标运算的应用11．已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因为，，且，所以，即，解得.故选：B12．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，∴，则，由，得：，∴，解得，则故选：B.13．已知A（，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，，且∠AOC=，设（），则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由∠AOC=，从而设，则，利用向量相等的坐标表示可得．【详解】根据已知条件得：.设，则，∵，∴，∴∴.故选：D.14．在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为，由题意求出，，从而可求出其长度，进而可得结果【详解】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为，因为、、，所以，所以，，所以，，因为，所以较长的对角线长为，故选：B15．若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的运算，求出，再利用向量的数量积公式，得到且不同向，进而可求解.【详解】由已知得，，，所以，，且不共线同向，即且，所以，且，故.故选：C一、单选题1．已知，，则线段中点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果.【详解】设线段中点的坐标为，取，则；由向量的坐标表示可得，即，解得；所以线段中点的坐标为.故选：D2．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标【详解】.故选：B.3．已知向量，若，则=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得,所以解得,所以.故选:A.4．已知平面向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算，然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.【详解】因为，，，所以，又，所以，解得，故选：B.5．已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质和向量的坐标表示求解即可；【详解】设顶点D的坐标为，由题意知，,根据向量的坐标运算解得；，解得：，即顶点D的坐标为，故选；A.6．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被作为第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为BF的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，利用勾股定理和向量的坐标运算即可得出结果．【详解】以A为原点建立直角坐标系，如图所示．不妨设，则.∴，解得，设，则，，，即，设，由，则，，.故选：B．7．在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据已知条件建系计算,结合向量运算和辅助角公式,计算范围即可【详解】根据矩形,,以为坐标原点,以,分别为轴,则,又因，则,即设且，所以可取1,1,2；又，所以的取值不可能为3.故选:.8．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.【详解】因为，，可得，又因为点是线段的三等分点，则或，所以或，即点的坐标为或.故选：C.二、多选题9．已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．的坐标为B．，其中C．线段的中点坐标为D．【答案】ABD【分析】根据向量线性运算的坐标表示以及向量模长计算公式判断每个选项.【详解】由向量的坐标表示可得，A正确；，，所以，B正确；的中点坐标为，故C错误；因为，所以，D正确.故选：ABD10．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（

）A．满足的点P必为BC的中点 B．满足的点P有两个C．满足的点P有且只有一个 D．满足的点P有两个【答案】CD【分析】建立平面直角坐标系，设点，依题意得，，结合各选项中的值，得出关于的二元一次方程，通过该方程表示的直线与正方形ABCD的交点数量和位置，即可判断各个选项正确性.【详解】设，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设点，则有得，故对于选项，若，则，可知直线与正方形边界交于点和的中点，故选项错误；同理可得，选项正确；对于选项，若，则，可知直线与正方形边界没有交点，故错误.故选：CD.三、填空题11．已知点，，若点满足，则点的坐标为．【答案】【分析】设，根据条件得到，，再利用向量相等即可求出结果.【详解】设，因为，，所以，，又，所以，解得，所以点的坐标为.故答案为：.12．已知点的坐标分别是，，，则.【答案】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算公式即可得解.【详解】因为点的坐标分别是，，，所以，，故.故答案为：.四、解答题13．已知向量、的坐标，求、的坐标．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【详解】（1）解：因为，，则，.（2）解：因为，，则，.（3）解：因为，，则，.（4）解：因为，，则，.14．解答下列各题：(1)设向量，，求；(2)已知两点和，