分式与二次根式（解析版）-三年（2020-2022）中考数学真题汇编（湖北）

专题04分式与二次根式

一.选择题

1.(2020∙武汉)式子疡々在实数范围内有意义，则X的取值范围是()

A.x20B.x≤2C.x2-2D.x22

【分析】根据二次根式有意义的条件可得X-2》0,再解即可.

【解答】解：由题意得：X-220,

解得：xN2,

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是

非负数.

2.(2021•襄阳)若二次根式√Γ斗在实数范围内有意义，则X的取值范围是()

A.x2-3B.x》3C.x≤-3D.x>-3

【分析】根据二次根式的概念，形如内(a>0)的式子叫做二次根式，进而得出答案.

【解答】解：若二次根式夜转在实数范围内有意义，

则x+320,

解得：X2-3.

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

3∙(2020∙荆门)下列等式中成立的是()

A.(-3χ2y)3=-9χ6y3

x+1X-I

B.X92=(—)92-(—)92

22

C.√2÷(7+7)=2+√6

v2√3

111

D.=-----------------------.........

(x+l)(x+2)x+1x+2

【分析】根据积的乘方和哥的乘方对A进行判断；利用平方差公式对B进行判断；利用

分母有理化和二次根式的乘法法则对C进行判断；利用通分可对D进行判断.

【解答】解：A、原式=-27x*y,所以A选项错误♦

x+1,x-1,x+1x-1x+1x-1

B、(—)-(—)=(—+—)•(---一)=x∙l=x,所以B选项错误；

PJg-F历.(血■,小、,3Λ∕2+2V3p：66V2(3∙∕2-2∙∕3)A/7

C、原式=豆＜(三+丁=豆「」一=近义刀用再=18-12=6-29限,

所以C选项错误；

11x+2-(x+l)1

D、---,所以D选项正确.

x+1x+2(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.也考查了整式

和分式的运算.

4.(2021•荆门)下列运算正确的是()

A.(-x'i)^=x"B.ʌ/(-x)2=X

C.(-x)2+x=x'1I).(-l+x)^-χ2-2x+l

【分析】根据基的乘方与积的乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解.

【解答】解：A.(-Xs)2=χ6,错误，不满足题意.

B.QR=∣x∣,错误，不满足题意.

C.(-χ)2+x=χ2+x,错误，不满足题意.

D.(-l+x)^-X2-2x+l,正确，满足题意.

故选:D.

【点评】本题考查哥的乘方与积的乘方、二次根式的化简、整式的运算，解题关键是熟

练掌握各种运算的方法.

5.(2022∙仙桃)下列各式计算正确的是()

A.√2+√3=√5B.4√3-3√3=1C.√12÷2=√6D.√2×√3=√6

【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可.

【解答】解：A、应与W不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意：

B、4√3-3√3=√3,故B不符合题意：

C、√12÷2=√3,故C不符合题意；

D、√2×√3=√6,故D符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

21

6.(2020•随州)--'F一的计算结果为()

xzΓ-4xz-2x

x2x2x2

A.B.-----C.D.

x÷2x+2x—2x(x+2)

【分析】根据分式的乘除法的运算顺序进行计算即可求解∙

【解答】解：原式=(X+2⅞<-2)+舟J

2

(

=(Xx+,ɔ2ʌ)(Z——x-25)^∙XX-2)

2x

=x+2,

故选：B.

【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程.

32

7.(2020•孝感)已知X=6-1,y=√5+l,那么代数式X-Xy的值是()

χ(χ-y)

A.2B.√5C.4D.2√5

【分析】先将分式化简，再代入值求解即可.

【解答】解：原式=XcV)

=x+y

当x=√5-l,y=√5+l,

原式=6一1+6+1

=2√5.

故选：D.

【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简.

8.(2020•荆州)若X为实数，在Λ(√3+1)□XW的“口”中添上一种运算符号(在"+,

-,X,÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则X不可能是()

A.√3+lB.√3-lC.2√3D.1-√3

【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可.

【解答】解：A.(√3+l)-(√3+l)=0,故本选项不合题意；

B.(√3+l)一8=1,故本选项不合题意；

C.(√3+l)与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题

T*>∙-

屈、;

D.(√3÷1)(l-√3)=-2,故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方

差公式是解答本题的关键.（a+b）（a-b）=a2-b2.

9.（2021•鄂州）已知aɪ为实数，规定运算：32=1-ɪ,33=ɪ-τ^,ai=ɪ-τ^,ɑʒ=1-ɪ»…，

ala2a3a4

1

a∏=1-.按上述方法计算：当aι=3时，d2021的值等于（）

an-l

2112

A.-QB.-C.—ɔD.一

ɜ323

【分析】化简前几个数，得到加以三个数为一组，不断循环，因为2021÷3=673..∙2,

所以a2M=a2,再代数求值即可.

【解答】解：aɪɪɪaɪ,

1

%—1——,

aI

_11əɪ_-1_1

1nɪ-1əɪ—11-aɪ

aI

3.4=1-（1-aɪ）=a”

・・・%以三个数为一组，不断循环，

V2021÷3=673...2,

--11-1_2

•∙3∙2021—I—-=I-ɜ=ɜ*

故选:D.

【点评】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键.

二.填空题

10.（2021∙孝感）式子√Γ位在实数范围内有意义，则a的取值范围是a》-2.

【分析】根据被开方数大于等于O列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，a+220,

解得a≥-2.

故答案为：a》-2.

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

2

11.（2022•仙桃）若分式一有意义，则X的取值范围是XrI.

X-I

【分析】根据分式有意义的条件可知X-1#0,再解不等式即可.

【解答】解：由题意得：X-l≠0,

解得:x≠l,

故答案为：x≠l∙

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等

于零.

12.(2020•武汉)计算J(-3)2的结果是3.

【分析】根据二次根式的性质解答.

【解答】解：√(-3)2=√9=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

13.(2021•武汉)计算五司的结果是5.

【分析】根据二次根式的性质解答.

【解答】解：代寻=-51=5.

【点评】解答此题，要弄清二次根式的性质：G=Ial的运用.

14.(2022•武汉)计算J已*的结果是2.

【分析】利用二次根式的性质计算即可.

【解答】解：法一、√(≡2)2

=I-2|

=2；

法二、7(-2)2

=V4

=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“后=ε|”是解决本题的关键.

15.(2022•襄阳)化简分式：—-+—-=m.

a+ba+b----

【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=噜器

_m(a+b)

—a+b

=m,

故答案为：m.

【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于

基础题型.

2x11

16∙(2022∙武汉)计算口一口的结果是

—x+3—

【分析】先通分，再加减.

【解答】解：原式=鬲后一丽薪行

2x—X—3

=(x+3)(x-3)

X—3

=(x+3)(x-3)

1

=x+3,

1

故答案为：一ɔ.

X÷3

【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键.

17.(2020•武汉)计算二一一的结果是_2_.

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

【解答】解:原式=2(m—n)m—3n

(m+n)(m-n)(m+n)(m-n)

2m-2n-m+3n

(m+n)(m-n)

m+n

(m÷n)(m-n)

]

m-n

故答案为：——.

m-n

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.(2020•黄冈)计算：√⅛÷(l-ɪ)的结果是ɪ.

x2-y2x+y-x-y-

【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最

后约分即可得.

【解答】解：原式='Y¥∖WY、八^i^(±'-'-)

(x+y)(X-y)χ+yχ+y

y.y

(x+y)(x-y)'x+y

_y.x+y

,

■(χ+y)(X-y)y

1

=可’

1

故答案为：---.

×-y

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则.

ɪ____

19.(2021•荆州)已知：a=(-)"+(—遮)°,b=(√^+√Σ)(√5-√I),则√I不E=2.

2-------

【分析】先计算出a,b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值.

1

【解答】解：∙.'a=(-)'+(―√3)°=2+l=3,b=(√3+√2)(√3—V2)=3-2=1,

2

.∙.√a+b

=√3∏

=√4

=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数累、负整数指数塞，解答

本题的关键是明确它们各自的计算方法.

20.(2022•荆州)若3-√Σ的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+√Ia)∙b的值是2.

【分析】根据鱼的范围，求出3-夜的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即

可.

【解答】解：：1<企<2,

Λl<3-√2<2,

：若3-√Σ的整数部分为a,小数部分为b,

Λa=l,b=3-√2—1=2—V2,

.∙.(2+√2a)∙b=(2+√2)(2-√2)=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值.

21.(2022•随州)已知m为正整数，若√189^是整数，则根据√189i^=

√3X3X3X7m=3√3X7m可知In有最小值3X7=21.设n为正整数，若J■是大于

1的整数，则n的最小值为3,最大值为75.

【分析】先将呼化简为10可得n最小为3,由舞是大于1的整数可得磨越

小，平越小，则n越大，当J驾=2时，即可求解.

3x100IoJI，且为整数,

【解答】解：•••

.∙.n最小为3

；J节是大于1的整数，

.∙.J詈越小，：丁越小，则n越大,

当舞=2时，

300

一=4,

Λn=75,

故答案为：3;75.

【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意,

根据关键词“大于”，“整数”进行求解.

≡.解答题

a2ɪ

22.（2022•鄂州）先化简，再求值：-...，其中a=3.

a+1a+1

【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将a的值代入化简后的式子计算即

可.

a+1

(a+l)(a-l)

当a=3时，原式=3-1=2.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式

分解的方法.

χ2—ɪX—1

23.（2022•恩施州）先化简，再求值：一丁+1,其中X=8.

X2X

【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行

计算，最后代入求出答案即可.

χ2—1χ—1

【解答】解：——÷-1

XNX

_(x+i)(x-D∙JLI

X2X-I

x+1

=--------11

X

_x+1-x

一X

_1

=7

当x=√5时，原式=3=等.

【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的

关键，注意运算顺序.

24.(2022•黄石)先化简，再求值：(l+-⅛r)÷当牢，从-3,-1,2中选择合适的a

arɪar"ɪ

的值代入求值∙

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可

求出答案.

2

【解答】解：原式=需+喘-

=a+3、a+1

-a+1(a+3)2

1

=a+3,

由分式有意义的条件可知：a不能取-1,-3,

故a=2,

原式=占

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运

算法则，本题属于基础题型.

25.(2022•襄阳)先化简,再求值：(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=√3-√2,

b=√3+y∕2.

【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代

入得出答案.

【解答】解：原式=a、4b'+4ab+a--4b、2ab-2a"

=6ab,

Va=V3—λ∕2,b=ʌ/ɜ÷√2,

，原式=6ab

=6×(√3-√2)(√3+√2)

=6.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算一一化简求值，正确掌

握整式的混合运算法则是解题关键.

a1b1

26.(2。22•荆州)先化简，再求值：(惠于一不),其中a=(-)Ib

a2-2ab+b23

=(-2022)°.

【分析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将a、

b的值代入即可得到答案.

【解答】解：原式=J2_工卜空

(a+b卜：)(a-b)a+bb

_a.(a-b)2_1(a-b)2

(a+b)(a-b)ba+bb

_a2—aba2—2ab+b2

=b(a+b)b(a÷b)

_b(a-b)

-b(a+b)

_a-b

=布’

ɪ

Va=(-)ι=3,b=(-2022)0=l,

3

.∖原式=Q∣j

【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分和约分.

27.(2022•十堰)计算：(ɪ)-l+∣2-√5∣-(-1)2022.

3

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

ɪ

【解答】ft⅛:(-)',+∣2-√5-(-1)2022

=3+√5-2-1

=V5.

【点评】本题考查了负整数指数寒，有理数的乘方，实数的运算，估算无理数的大小，

绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键.

a2_u2.2_9.

28.(2022•十堰)计算：-----÷(a+~).

aa

【分析】根据分式的运算法则计算即可.

【解答】解：史史+(a+史衿)

aa

a*2-b2a2,b2-2ab

=-------(—z+---------)x

aaa

a2—b2a2—2ab+b2

—______：___________=

a∙a

(a+b)(a-b)a

a(a-b)2

a+b

=a→-

【点评】本题考查分式的混合运算，明确分式混合运算的步骤是解决问题的关键.

29∙(2022∙宜昌)求代数式咚零+f½的值，其中x=2+y.

X2-yzyz-xz

【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把x=2+y代入计算即可.

【解答】解：原式=途看一丽M

2(x+y)

一(χ+y)(χ-y)

2

=-----，

×-y

当x=2+y时，原式=2+j_y=L

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则、约分法则是解题的关键.

12_1

30.(2021•黄石)先化简，再求值：(l-ʌ)+三a工，其中a=b-l.

aa

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：(1一4)÷⅛1

dɑ

_a-1a

-a(a+l)(a-l)

1

==a+l,

当a=√5-l时，原式二5:=坐.

√0—1+1ɔ

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

x2+2x+l1

31.(2021•襄阳)先化简，再求值：一--÷(x--)＞其中X=遮+1.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简后的式

子即可解答本题.

5X2+2X+11

【解答】解：-------÷(X——)

22

：(x+1),X-I

X∙X

_(x+1)2X

一_X(x+l)(x-l)

x+1

当x=JΣ+ι时，原式=旺+ι+ι=]+¢.

λ∕2+l-l

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

χ2_qX2-4-3χ4

32.(2021∙鄂州)先化简，再求值：——÷-----+-,其中X=2∙

x-1x-1X

【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将X值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式="若母X3品+9=室，

XJLʌIXIɔ)XX

当x=2时，原式=/

【点评】本题考查分式的化简求值，关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题

型.

Xx+2X—1—

33.(2021•荆门)先化简，再求值：----(ʒ--ʒ-----------),其中x=3-√Σ.

x-4xz-2xxz-4x+4

【分析】先将括号内通分化简，然后约分代入X的值求解.

【解-答】解7±(志一六五)

XX+2X-I1

-----7r-

x-4χ(χ-2)(X-2)2

_X(x+2)(x-2)_X(X-I)

=×z4χ(χ-2)2-X(X-2)2

X.x-4

一XZ4'X(X-2)2

1

(x-2)2

把x=3-√Σ代入原式得：

(3-√2-2)2-(l-√2)2-3-2√2

【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则及因式分解.

34.(2021•随州)先化简，再求值：(1+ɪ)÷⅛⅛,其中x=l.

XIɪ-XI乙

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解一(l÷⅛÷g⅛

x+1+12(x+l)

x÷l(x+2)(x-2)

x+22(x+l)

x+1(x+2)(x-2)

2

Xςς2,

ɔ

当X-I时，原式=η~~ɔ——2,

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

a+2a-1

35.(2021•十堰)化简：(----------------------)°a—4

a2-2a----a2-4a+4a

【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题.

【解答】解：⅛⅛-v⅛)÷9

a÷2a-1a

=------------------------1--------

a(a-2)(a-2)2a-4

_(a+2)(a-2)一a(a-1)a

a(a-2)2a—4

_a2-4-a2+a]

一(a-2)2a-4

_a-4]

一(a-2)2a^4

1

=(a-2)22*

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.

o2IOoɪ1ɔ

36∙(2021∙荆州)先化简，再求值：一;——÷(l+=r),其中a=2√^.

a2-aa-ι

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

2

【解答】解：］a+2一a+l÷(1+7ɪ)

a2-aa-l

_(a+l)2,a-1+2

-a(a-1)∙a—1

(a+l)za-1

-a(a-1)a+1

_a+1

-，

a

当a=2√5时，原式=用/="亘.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

211

37∙(2021∙宜昌)先化简，再求值：ʒ一÷——--,从1,2,3这三个数中选择一个

x2-lx+1X-I

你认为适合的X代入求值.

【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从1,2,3这三个数中选

择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题.

=>.√>----ττ∙(x+l)------T

(x+1l)(x-l)x-1

2_____1

=xzl^x→

1

=x≡I,

V(x+1)(x-1)≠0,

Λx≠l,-1,

，x=2或3,

当x=2时，原式=UT=L

Z-I

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

38.(2021•恩施州)先化简，再求值：1-舒+a2；；；：i6,其中a=四一2∙

【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：1一∣⅛÷u⅛⅛7

a+4az÷8a+16

_a-2(a+4)z2

a+4(a+2)(a-2)

=ι-2±i

ia÷2

_a÷2-a—4

a+2

2

a+2,

当a=√Σ-2时，原式=-金=­V2.

【点评】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确分式

化简求值的方法.

X2÷2X+1X

39.(2020•黄石)先化简，再求值：一;——--,其中x=5.

x2-lx-1

【分析】原式第一项约分后，两项利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把X

的值代入计算即可求出值.

(x+l)2X

【解答】解：原式=

(x÷l)(x-l)x-1

x÷lX

x—1x—1

1

x-1

当x=5时，原式=ɪ.

【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

40.(2020•十堰)先化简，再求值：l-τ⅛÷°M-b?其中a=√5-3,b=3.

a+2ba2+4ab+4bz

【分析】利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成一盘，再将a、

a+b

b的值代入化简后的分式中即可得出结论.

【解答】解：原式=l-⅞⅜÷S+b)(a,b)

a+2b(a+2b)2

=_a-b-(a+2b)2

a+2b(a÷b)(a-b)

1a+2b

=1------T-

a+b—a—2b

a+b

b

a+b,

当a=遍—3,b=3时，原式=—---=—√3.

√3-3+3

【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

m2-9

41.(2020∙恩施州)先化简，再求值：(其中m=√∑

m2-6m÷9m-3m-3

【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再

化简成最简分式，代入m值求解即可.

【解答】解：M⅛羽一岛

(m+3)(m-3)3m—3

=rF与LE1r

_,m+33、m—3

一3m-3)m2

mm—3

一m-3m2

1

二H

当m=V∑时，

原式=⅛"T∙

【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运

算法则是解答的关键.

χ2+4χ+4X—ɪ

42.(2020•宜昌)先化简，再求值：---------------(x-1)°,其中x=2020.

x-1x+2

【分析】先对分式的分子进行因式分解，然后通过约分进行化简，再代入求值即可.

【解答】解：原式=竽1*=-1

XTx+2

=x+2-1

=x+l.

当x=2020时，原式=2020+1=2021.

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，零指数幕，分式中的一些特殊求值题并非是

一味的化简，代入，求值.许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、

整体思想等