2023-2024学年天津市宁河区高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市宁河区高二上册期末数学模拟试题

一、选择题（每小题5分，共45分）

X2V2

1.椭圆一+乙=1上一点P到一个焦点的距离为7,则P点到另一个焦点的距离为（）

259

A.5B.3C.4D.7

2.已知等差数列｛α,,｝满足%+&=18,则其前10项之和为（）

A.90B.180C.99D.81

3.双曲线或—F=1的渐近线方程是（）

4

A.X±y∕2y=0B.y∕2x±ʃ=0C.X+2y-0D.2x+y—0

4.如图,在三棱锥P-ZBC中，点N为棱ZP的中点,点M在棱BC上,且满足CA/=25〃，

设方=1,而=3,定=乙，则砺=（）

D.Q----bH-C

233

5.设αeR,则“°=一2”是“直线/∕αx+2y-I=O与直线，2：x+（a+l）y-。2=0”

平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也

不必要条件

6.记等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S4=3,S8=9,则S∣2=（）

A.12B.18C.21D.27

7.已知抛物线的准线是圆/+/-4=0与圆/+丁2+χ-3=0的公共弦所在的直线，则

抛物线的标准方程为（）

A.y2=4xB.y2=-4xC.X2=4yD.x2=-4y

8.在公差不为零的等差数列｛%｝中，%,4，生依次成等比数列，前7项和为49,则数列｛%｝

的通项。〃等于（）

A.nB./7+1C.2拉—1D.2〃+1

χ2y2

9.设片,κ为椭圆G：=+J=I（Q>6>0）与双曲线G的公共的左右焦点，它们在第一

ab

象限内交于点M,aMF内是以线段孙为底边的等腰三角形，且IMal=2.若椭圆G的

^34^

离心率e∈，则双曲线C,离心率取值范围是（）

L79」2

A.号印B.[3,+∞）C.（2,4]D.[3,4]

_43_

二、填空题（每小题5分，共计30分）

10.已知抛物线C:/=2勿（尸〉0）上一点（见8）到其焦点的距离为10.抛物线C的方程

为；准线方程为.

II.已知数列｛%｝满足q=2,。“+]=1---,则4023=-

Qn

12.设椭圆的两个焦点分别是片,工，过鸟作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P.若AF∣PFz

为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是.

13.数列｛%｝的前"项和为S,若a“=--—,则S2023=__________.

J1n（n+1）

14.在长方体Z6CD—Z4CQ∣中，Z8=4,NO=3,44∣=5,点E为NB的中点，则点

B到平面AEC的距离为.

15.若直线^=2丫+6与曲线歹=3—√4X-X2有公共点，则6的取值范围是.

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上.）

16.已知圆C的圆心在直线2x—y—2=0上，且与直线/:3x+4y—28=0相切于点

尸(4,4).

(1)求圆C的方程；

(2)求过点0(6,-15)与圆C相切的直线方程.

17.已知｛%｝为等差数列，前〃项和为S,("∈N*),｛4｝是首项为2的等比数列，且公比

,

大于O,b2+b3=l2,b3=a4-2a1,5l1=11⅛4.

(1)求｛%,｝和也｝的通项公式：

(2)求数歹∣J｛α,也｝的前n项和(n∈N∙).

18.如图，在四棱锥P-NBCO中，底面488是边长为4的正方形，APAD是等边三

角形，Cz)，平面尸4。，E,F,G,。分别是尸C,PZ),8C,/。的中点.

(I)求证：尸。J.平面488；

(2)求平面EFG与平面/8CZ)的夹角的大小；

(3)线段尸Z上是否存在点"，使得直线GM与平面ERG所成角为一，若存在，求线段

3

RW的长；若不存在，说明理由.

X2/

19.已知点F为椭圆7+Fl(α>b>0)的右焦点，/为椭圆的左顶点，椭圆的离心率

为Y3,连接椭圆的四个项点得到的菱形的面积为4.

2

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点/作斜率为4的直线交椭圆于另一点8,

①求弦•丽的取值范围；

4√3

②若∣Z8∣==-,求人的值.

20.已知数列｛q,｝和数列｛〃,｝,满足〃”+1-(〃+l)“="(〃+D(〃eN*),且4=1,

（1）证明数列［%］为等差数列，并求｛"｝的通项公式;

In.

、…口111111/

(2)证明：一∑-HrHr+…H彳<------------£N

2v

a1a；a；*39n+3

答案和解析

1-5BADBC；6-9CACD

,c2CC/T202330√469

10.1Ox—8y,y——211.212.∙y2—1ɪ3.tz∩-,=------14.----------

2702732024469

15.—2*∖∕5-1≤Z?≤3

16.【解】

4

(1)过点尸(4,4)与直线/:3x+4y-28=0垂直的直线机的斜率为左=§,

4

所以直线机的方程为y—4=§(x—4),即4x—3y—4=0.

4x-3y-4=0

解得C(1,0).

2x—y—2=O

所以尸二7(4-I)2+(4-O)2=5.

故圆C的方程为：(x-l)2+y2=25∙

(2)①若过点。(6,-15)的直线斜率不存在，即直线是x=6,与圆相切，符合题意;

②若过点。(6,-15)的直线斜率存在，设直线方程为y+15=左(x-6),

即依一、一6左一15二0,

若直线与圆C相切，则有、，6左一151=5,

√F+1

4

解得左=一一.

3

4

此时直线的方程为—y-7=0,即4x+3y+21=0.

综上，切线的方程为x=6或4x+3y+21=0.

17.【解】

(1)设等差数列｛2,｝的公差为"，等比数列｛2｝的公比为q∙

由已知a+a=12,得α(α+∕)=12,而乙=2,所以d+q-6=0.

又因为q〉0,解得q=2.

所以，bn=2".

由4=%-2。］，可得3d-q=8①,

由Su=Il4,可得％+5d=16②，

联立①②，解得q=l,d=3,

由此可得%=3〃一2.

所以，｛%｝的通项公式为%=3〃-2,｛"｝的通项公式为"=2".

(2)设数列｛外,也｝的前八项和为Tn,

由cιιι=3/7—2»有=1X2+4X2~+7X23+L+(3〃-2)X2",

2^=1×22+4×23+7×24+L+(3M-5)×2Λ+(3Π-2)×2"+',

上述两式相减，得一［=1X2+3X22+3X23+L+3X2”-(3〃-2)χ2"∣

12x(1-2"T),,

=2+——^^一(3〃-2)×2,,+l=-(3«-5)2n+2-10.

得看=(3〃—5)2*+10.

所以，数列｛々/“｝的前〃项和为(3〃-5)2"+2+10.

18.【解】

(1)证明：因为△尸Zz)是正三角形，。是力。的中点，所以PO_L/r).

又因为CoL平面尸/。,PoU平面尸，所以尸LCO.

ΛD∩CD^D,AD,CZ)U平面ABCD,所以「。，面ABCD.

(2)以。点为原点分别以CM、OG、OP所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标

系.

则

(9(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2√3),F(-l,2,√3)

F(-l,0,√3),^F=(0,-2,0),FG=(l,2,-√3)

∖EF-m=0-2y=0

设平面EFG的法向量为而=(XJ,z),所以《—，即4

∖EGm=Qx+2y-GZ=0

令z=l,则比=(√i,0,l)

又平面Z8C3的法向量方=(0,0,1),

∖m∙n∖1

所以IeoS〈沌万〉I=ɪ

222

I所阿λ∕(√3)+1X1

TT

所以平面EFG与平面ABCD所成角为一.

3

Tl

(3)假设线段上存在点M,使得直线GM与平面EbG所成角为一，则直线GAl与平

3

Tr

面E/G法向量成所成的夹角为一，

6

设同7=2万,4e[0,1],m=Λ(2,0,-2√3),WΛ0,2√3-2√3Λ),

所以的=(2λ,-4,2√3(1-λ)),

TT-----ʌ/ɜ

所以cos—=|CoS〈GM,玩〉∣=—l=，

62√4Λ2-6Λ÷7

整理得4/P—64+7=l,A>0,可知存在.

19.【解】

(1)由e=*=3∙,得3α2=4d,

a2

3

再由—力2=/=—/,解得Q=26,

4

由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4可得,x2αX26=4,即=2,

2

a=2b

解方程组1，解得α=2,b=l,

ab=2

所以椭圆的方程为土+V=I；

4-

(2)①由(1)可得c=6,所以根据题意可得力(一2,0),F(Ji,0),设点8(再,必)，

则成=(-2-百,0),丽=6,K)

无初=(―2—我(x∣-6)=—(2+底J+(26+3)

由题意得一2<玉<2,所以一1≤-(2+√3)x1+(2√3+3)<7+4√3,

-l≤∕L4∙Fβ≤7+4√3,即万•丽的取值范围为[-l,7+4√i):

②由①可知Z(-2,0),8(XQJ,

由题意可知直线的斜率存在，设直线/的斜率为A,则直线/的方程为y=左(x+2),

y=k(x+2)

于是4、8两点的坐标满足方程组《γ2消去y并整理得

-+y2-I

14•

(1+4/)/+16左2χ+06左2_4)=0,Δ=(16⅛2)2-4(l+4⅛2)(16Ar2-4)>0,

16⅛2-42-8F，2-8左24k

所以一2X1得X]从而y=k+2=

左公i左

1+421+4J+4%2Z1+42

ɔ、22

2-8∕C24√1+k4√3

所以I/81=2

1+4∕C2[l+4k)1+4Λ2~9~

f-J

两边平方可得”1+K,=—整理得16r—19左2-26=O,即(左2—2)(1642+13)=0,