高二上学期期末复习【第二章 直线和圆的方程】十大题型归纳（基础篇）（解析版）

高二上学期期末复习第二章十大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1直线的倾斜角与斜率的求解1．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）直线l:x=0的倾斜角为（

）A．0 B．π2 C．π D【解题思路】利用倾斜角的定义分析运算即可得解.【解答过程】解：直线l:x=0即为y轴，y轴和x轴垂直，又知倾斜角的范围是0,π∴由定义可知直线l:x=0倾斜角为π2故选：B.2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线l经过A-1,4，B1,2两点，则直线l的斜率为（A．3 B．-3 C．1 D．-1【解题思路】直接代入直线斜率公式即可.【解答过程】因为直线l经过A-1,4，B所以直线l的斜率为kAB故选：D．3．（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）已知直线l过点A2m,3，B(1)若直线l的倾斜角为45∘，求实数m(2)若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得.（2）倾斜角为钝角时，斜率小于0，再利用斜率公式可得.【解答过程】（1）由题意得2m-23--1=（2）由题意得2m-23--1<0故实数m的取值范围为-∞4．（2023·全国·高二课堂例题）已知平面直角坐标系中的四条直线l1,l2,

【解题思路】根据直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性，即可求解.【解答过程】由题意，结合直线l1,l因为ki又因为正切函数在0,π2递增且函数值大于0，在π2所以k3题型2题型2直线方程的求解1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）经过点A1,2，倾斜角为π4的直线的点斜式方程为（A．y-2=x-1 B．y=x+1.C．x-y+1=0 D．x-y=-1【解题思路】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为倾斜角为π4，则斜率k=tanπ则y-2=1x-1，即y-2=x-1故选：A.2．（2023下·湖北恩施·高二校考期末）过点A2,3且平行于直线2x+y-5=0的直线方程为（

A．x-2y+4=0 B．2x+y-7=0 C．x-2y+3=0 D．x-2y+5=0【解题思路】由平行关系设出直线方程，再根据过点A2,3【解答过程】∵所求直线与直线2x+y-5=0平行，∴可设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠-5)，又过点A2,3，则4+3+c=0，解得c=-7∴所求直线方程为2x+y-7=0故选：B．3．（2023上·广西防城港·高二统考期末）已知直线l1:2x+y-2=0,l1与x轴，y轴的交点分别为A,B.直线l2(1)求直线l2(2)求线段AB的中垂线方程.【解题思路】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可.【解答过程】（1）设直线l2的斜率为k2过令y=0，得x=-1由直线的点斜式方程y-y0=k化简得x-y-1=0，所以所求的直线方程为x-y-1=0.（2）设线段AB的中垂线斜率为k，线段AB的中点为C，设直线l1的斜率为k由直线l1:2x+y-2=0可得y=-2x+2，则由垂直关系可知，kk1=-1令x=0，得y=2，所以B0,2由中点坐标公式可知，c1+02,由直线的点斜式方程y-y0=k化简得2x-4y-3=0，即线段AB的中垂线方程是2x-4y+3=0.4．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）已知直线l过点M2,1，O(1)若l与OM垂直，求直线l的方程：(2)若直线与2x-y+1=0平行，求直线l的方程．【解题思路】（1）根据垂直关系可得直线l斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程；（2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果.【解答过程】（1）∵kOM=1-02-0=1又直线l过点M2,1，∴直线l方程为：y-1=-2x-2，即（2）由题意可设直线l方程为：2x-y+c=0，又直线l过点M2,1，∴4-1+c=0，解得：c=-3∴直线l方程为：2x-y-3=0.题型3题型3直线的交点问题1．（2023上·广东东莞·高二校考期中）若直线l1:ax+y-4=0与直线l2:x-y-2=0的交点位于第一象限，则实数A．-1,2 B．-1,+∞ C．-∞,2【解题思路】分a=-1和a≠-1讨论，当a≠-1时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得.【解答过程】当a=-1时，l1:x-y+4=0，此时当a≠-1时，解方程组ax+y-4=0x-y-2=0得x=由题知6a+1>04-2a即实数a的取值范围为-1,2.故选：A.2．（2023上·安徽宿州·高二校考阶段练习）若y=-ax的图象与直线y=-a+x(a<0)有两个不同的交点，则a的取值范围是（

A．-1<a<0 B．a<-1C．a<0 D．a=-1【解题思路】根据题意，分x≥0与x<0讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果.【解答过程】当x≥0时，由-ax=-a+x可得，-ax=-a+x，当a≠-1时，解得当x<0时，由-ax=-a+x可得，ax=-a+x，由a<0可知，方程的解是又y=-ax的图象与直线y=-a+x(a<0)所以aa+1≥0-aa-1综上所述，a<-1.故选：B.3．（2023上·全国·高二专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.(1)l1:3x-y+4=0，(2)l1:3x-5y+10=0，【解题思路】（1）联立方程求出交点坐标；（2）l2:9x-15y+30=0化简得到3x-5y+10=0【解答过程】（1）解方程组3x-y+4=0x+3y+2=0，得x=-所以这两条直线相交，交点坐标是-7（2）由l2:9x-15y+30=0化为方程所以3x-5y+10=09x-15y+30=0故l1:3x-5y+10=0与l4．（2022·高二课时练习）三条直线l1:x+y+1=0､l2:2x-y+8=0､l【解题思路】首先确定l1,l2有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需l【解答过程】由x+y+1=02x-y+8=0得：x=-3y=2，即l1∴l3//即1×3-a=0或2×3+a=0，解得：a=3或a=-6.题型4题型4距离公式的应用1．（2023上·广西河池·高二统考期末）已知直线l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，则l1A．510 B．55 C．25【解题思路】根据两直线平行得到关于a的方程，求出a的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【解答过程】因为直线l1:x+ay+2=0，所以2a-4=0，解得a=2，所以l1:x+2y+2=0，即所以l1、l2之间的距离故选：A.2．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）点D-2,-2到直线l:2x-y+mx-m=0m∈RA．5 B．5 C．22 D．【解题思路】首先确定直线l所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值.【解答过程】直线l：2x-y+mx-1

令x-1=02x-y=0，x=1y=2，得直线l过定点A所以直线l表示过定点1,2的直线，如图，当DA⊥l时，DA表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，DB表示点到直线的距离，显然DB<所以点D到直线l距离的最大值为DA=所以点D到直线l距离的最大值为DA=5故选：A.3．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知直线x-2y+3=0与直线3x+y+2=0交于点P．(1)求过点P且平行于直线3x+4y-5=0的直线l1(2)求过点P且垂直于直线4x+3y+2=0的直线l2【解题思路】（1）联立方程得到P-1,1，根据平行得到斜率的关系，代入点坐标得到直线方程，再计算距离即可（2）根据垂直关系得到斜率的关系，代入点坐标得到答案.【解答过程】（1）x-2y+3=03x+y+2=0，解得x=-1y=1，故设直线l1的方程为y=k1x+b1,则k1=-34，直线过点P-1,1故直线方程为y=-34x+两平行线之间的距离为d=-1+5（2）设直线l2的方程为y=k2x+b2，直线故k2=34，直线过点P-1,1，故1=-即3x-4y+7=0.4．（2023下·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A(1)求直线AB方程；(2)求△ABC的面积.【解题思路】（1）根据坐标求出直线斜率，结合点斜式方程求法求解即可；（2）先求出A,B两点间距离，再求出C到直线AB的距离，根据三角形面积公式求解答案即可.【解答过程】（1）由已知得，直线AB斜率存在，为3--3所以直线AB方程为y-3=-2(x+1) 整理得直线AB方程为y=-2x+1（2）因为A-1,3所以AB=直线AB方程为2x+y-1=0，C到直线AB的距离d=2×所以△ABC的面积为12题型5题型5圆的方程的求解1．（2023下·陕西榆林·高二校联考期末）若圆C经过点A2,5，B4,3，且圆心在直线l：3x-y-3=0上，则圆C的方程为（A．x-22+y-3C．x-32+y-6【解题思路】求解AB的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【解答过程】圆C经过点A2,5，B可得线段AB的中点为3,4，又kAB所以线段AB的中垂线的方程为y-4=x-3，即x-y+1=0，由x-y+1=03x-y-3=0，解得x=2即C2,3，圆C的半径r=所以圆C的方程为x-22故选：A.2．（2023上·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P-2,1关于直线x-y+1=0对称，则圆C的标准方程为（

A．(x+1)2+(y-1)C．x2+(y+1)【解题思路】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.【解答过程】设圆心坐标Ca,b，由圆心C与点P关于直线y=x+1得到直线CP与y=x+1垂直，结合y=x+1的斜率为1，得直线CP的斜率为-1，所以1-b-2-a=-1，化简得再由CP的中点在直线y=x+1上，1+b2=a-2联立①②，可得a=0,b=-1，所以圆心C的坐标为0,-1，所以半径为3的圆C的标准方程为x2故选：C.3．（2023下·新疆阿克苏·高二校考期末）求下列各圆的方程.(1)圆心为点C8,-3，且过点A(2)过A-1,5，B5,5，【解题思路】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【解答过程】（1）由题意知半径r=(8-5)所以圆的方程为：(x-8)2（2）设圆的一般方程为：x2将A-1,5，B5,5，1+所以圆的方程为：x24．（2023下·云南曲靖·高一校考期末）已知圆C经过点A1,4,B-1,-2且圆心C在直线(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点F3,0，求线段EF的中点M的轨迹方程【解题思路】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；（2）根据题意利用相关点法运算求解.【解答过程】（1）设圆C的标准方程为x-a2+y-b由题意可得2a-b+8=01-a2+所以圆C的标准方程为x+32（2）设Mx,y由F3,0及M为线段EF的中点得x=x1+32又因为点E在圆C：x+32+y-2化简得：x2故所求的轨迹方程为x2题型6直线与圆的位置关系的判定题型6直线与圆的位置关系的判定1．（2023下·贵州·高二校联考期末）圆C：x2+y2+4x-2y+1=0与直线lA．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【解题思路】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切.【解答过程】由x2+y所以圆C的圆心坐标为-2,1，半径为2，由x4-y圆心到直线l的距离为：-2×3-4×13故圆C与直线l相切，故选：A.2．（2023下·黑龙江牡丹江·高二校考期末）“4-30<a<4+30”是“直线l:2x-y=1与圆C:x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和4-30<a<4+【解答过程】将C:x2+x2+y2所以a>2或a<-2，其圆心为C-a,1因为直线l:2x-y=1与圆C:x故圆心C到直线l的距离d=-2a-1-15>结合a>2或a<-2可得2<a<4+（15<4,∴16<32-4则4-30<a<4+30成立推不出直线l:2x-y=1反之成立，故“4-30<a<4+30”是“直线l:2x-y=1与圆C:故选：B.3．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）已知直线l:x+y-1=0和圆心为C的圆x2(1)判断直线与圆的位置关系；(2)如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【解题思路】（1）代数法：联立方程，根据得到方程解的个数判断位置关系.几何法：由已知得出圆心、半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系，即可判断；（2）代数法：根据（1）求出的方程，解出点的坐标，根据两点间的距离公式，即可求出弦长.几何法：根据垂径定理，即可求出答案.【解答过程】（1）解法1:代数方法联立直线l与圆C的方程x+y-1=0x消去y，得x2=1，所以所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.解法2:几何法将圆C方程化成标准方程(x-1)2+(y-2)2=4，因此圆心C的坐标为1,2，半径为2所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.（2）解法1:代数方法设Ax1,由（1）可知x=±1，不妨设x1=1，则y1=0，所以，A(-1,2)，B(1,0).因此AB=解法2:几何法由（1）可知直线l与圆C有两个交点，且圆的半径r=2，圆心C到直线的距离d=2由垂径定理，得AB=24．（2023上·湖北咸宁·高二统考期末）已知点A-1,2和直线l:6x-4y+1=0.点B是点A关于直线l的对称点(1)求点B的坐标；(2)O为坐标原点，且点P满足PO=3PB.若点P的轨迹与直线x+my-1=0有公共点，求【解题思路】（1）设点Bx,y（2）设点Px,y，根据PO=3PB求得P点轨迹方程，根据点P【解答过程】（1）设点Bx,y，由题意知线段AB的中点Mx-12故：6x-12又∵直线AB垂直于直线l，故y-2x+1=-联立①②式解得：x=2y=0，故点B的坐标为2,0（2）设点Px,y，由题PO=3故x2+y又∵直线x+my-1=0与圆(x-3)2故3-1m2+1题型7题型7直线与部分圆的相交问题1．（2023下·上海宝山·高二统考期末）若直线y=kx-1与曲线y=-x2+4x-3恰有两个公共点，则实数A．43,+∞ B．1,43 C【解题思路】根据题意得：y=kx-1为恒过定点A(0,-1)的直线，曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出k的取值范围．【解答过程】根据题意得y=kx-1为恒过定点A(0,-1)的直线，由曲线y=-x2所以曲线表示圆心为C(2,0)，半径为1的上半圆，如图所示，

当直线与圆C相切时，有2k-1k2+1=1，解得把B(1,0)代入y=kx-1得k-1=0，解得k=1，因为直线y=kx-1与曲线y=-由图可得1≤k<43，即k的取值范围是故选：B．2．（2023上·浙江台州·高二期末）已知曲线C:y=m2+1-x2-1(y≥0)，若存在斜率为-2的直线与曲线A．(-1,1) B．(-2,2) C．(-∞,-1)∪(1,+∞【解题思路】数形结合，分析CB斜率可得.【解答过程】由y=m2+1-x2记右侧交点为B(|m|,0)，则当kCB<12时，存在斜率为-2的直线与曲线C相切，且切点在第一象限，故此时存在斜率为-2故1|m|<1故选：D.3．（2023上·高二课时练习）已知直线y=x+m和曲线y=1-x2【解题思路】易得曲线y=1-x2表示圆x2+y【解答过程】曲线y=1-x2表示圆x2+当直线y=x+m与半圆相切时，m>0，此时m1+1=1，解得m=2当直线y=x+m过点-1,0时，m=1，由图可知，m∈1,4．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线C:y=1+4-x2(1)试探究曲线C的形状；(2)若直线l与曲线C有两个公共点，求k的取值范围．【解题思路】（1）先求出x,y的取值范围，再对y=1+4-（2）由题意可得直线l恒过定点A(2,4)，然后画出图形，结合图形求解即可.【解答过程】（1）由4-x2≥0，得-2≤x≤2由y=1+4-x2，得x2+所以曲线C是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，如图所示．

（2）直线l:y=k(x-2)+4恒过定点A(2,4)，当直线l与半圆相切，D为切点时，圆心到直线l的距离d=r，

所以3-2kk2+1当直线l过点B(-2,1)时，直线l的斜率k=4-1则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为512题型8题型8圆与圆的位置关系的判定及应用1．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知圆C1:(x-1)2+y2=1，圆A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【解题思路】确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可.【解答过程】圆C1的圆心C11,0与圆C2的圆心又圆C1的半径为1，圆C2的半径为2，且圆心距等于圆C1所以圆C1与圆C故选：C.2．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆C1：x-12+y+22=r2r>0A．0,1 B．1,5 C．1,9 D．5,9【解题思路】根据题意得到r-4≤C【解答过程】由题知：C11,-2，r1=r，C1因为C1和C2有公共点，所以解得1≤r≤9.故选：C.3．（2023上·江苏盐城·高二校考期末）已知圆C:x(1)若直线l:y=x-m与圆C相切，求实数m的值．(2)若圆C与圆M:x2+y【解题思路】（1）求出圆C的圆心和半径，再利用点到直线距离公式，列式求解作答.（2）求出圆M的圆心和半径，再结合两圆外切列出方程，求解作答.【解答过程】（1）圆C:(x+1)2+(y+2)2=5-m，则有因为直线l:x-y-m=0与圆C相切，则有|-1-(-2)-m|12+(-1)2所以实数m的值-3或3.（2）圆M:(x-2)2+(y-2)2=16因为圆C与圆M外切，则有|MC|=r+r'，由（1）得5-m+4=所以实数m的值为4.4．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知圆C1:(x-1)2+(1)求圆心C1到直线l(2)已知直线l与圆C1交于M，N两点，求弦MN(3)判断圆C1与圆C2【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式求得正确答案.（2）根据弦长公式求得正确答案.（3）根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【解答过程】（1）圆C1的圆心为C11,2圆C2的方程可化为x+2所以圆心为C2-2,-2，半径所以圆心C1到直线l的距离为d=（2）MN=2（3）C1C题型9题型9圆系方程及其应用1．（2022下·江西宜春·高一校考阶段练习）求过两圆x2+y2-2y-4=0和xA．x2+yC．x2+y【解题思路】先计算出两圆的交点A,B所在直线，进而求出线段AB的垂直平分线，与2x+4y-1=0联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.【解答过程】x2+y2-2y-4=0将y=x-1代入x2+y即2x设两圆x2+y2-2y-4=0则x=1±62，x1不妨设A1+所以线段AB的中点坐标为x1因为直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1，所以线段AB的垂直平分线为y=-x-1y=-x+1与2x+4y-1=0联立得：x=3故圆心坐标为32,-1所以圆的方程为x-3整理得：x故选：D.2．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知圆M的圆心为-1,-2，且经过圆Q：x2+y2+6x-4=0与圆O2：A．5π B．25π C．10π【解题思路】联立圆Q与圆O2的方程，解得两交点坐标，即可求得圆M的半径，从而可得答案【解答过程】解：联立x2+y2+6x-4=0所以圆M的半径为：-1+12所以M的面积为25π故选：B．3．（2023上·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知圆C1：x(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程．【解题思路】（1）将两个圆的方程相减即可得到公共弦直线方程；（2）先由圆的方程解出交点坐标，再列方程求解圆心即可得到答案.【解答过程】（1）因为圆C1：x所以将C1：x得两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0（2）由x2解得x=3y=-1或x=-1y=3，则交点为∵圆心在直线x+y-6=0上，所以设圆心为P6-n,n则AP=BP，即解得n=3，故圆心P3,3，半径r=∴所求圆的方程为(x-3)24．（2022上·全国·高二专题练习）已知圆C1：x(1)求证：圆C1与圆C(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程．【解题思路】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P6-n,n，根据AP=BP得到方程，即可求出【解答过程】（1）证明：圆C2：x2+∴C2∵圆C1:x2+∴C∵4-10<2（2）解：由圆C1:x将两圆方程相减，可得2x+2y-4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0；（3）解：由x2+y则交点为A3,-1，B∵圆心在直线x+y-6=0上，设圆心为P6-n,n则AP=BP，即6-n-32故圆心P3,3，半径r=∴所求圆的方程为(x-3)2题型10题型10两圆的公共弦问题1．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知圆C1:x2+y2-2x+2y-2=0与圆A．62 B．32 C．6 D【解题思路】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【解答过程】联立x2+y得(m-1)x+y-1=0，由题得两圆公共弦长l=2，圆C1:x2+y2圆心(1,-1)到直线(