2023年中考数学考前第12讲：动态变化型问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第12讲：动态变化型问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，

并对变化过程中伴随.着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进

行实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的

结果往往有多种情况.涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及

函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想.

解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中

求动，抓住运动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关

系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径.

由点运动产生的问题，解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定X

的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论.这类问题往往探究点在运动变化

过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论

和数形结合的思想.

由线运动产生的问题，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握

直线或曲线变化的全过程，本题中PQ〃OA,PM〃OB,涉及相似三角形的判定与性质，抓

住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.

由图形运动产生的问题，由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、

旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为

常见的一种题型.本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形.

解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法"，也就是通过对两个或几个相类似数学研

究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另

一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论.类比发现法大致可遵循如下步

骤：

（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；（2）结合某一相应

图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论；（3）

类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.

【例题1】点动型

菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B（2,0）,NDoB=60。，点P是

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对角线OC上一个动点，E(0.-1),当EP+BP最短时，点P的坐标为.

【例题2】线动型

如图3,在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4,3).平行于对角线

AC的直线m从原点0出发，沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与

矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).

(1)点A的坐标是1点C的坐标是；

(2)当t=秒或秒时，MN=-AC;

2

(3)设aOMN的面积为S,求S与t的函数关系式；

(4)在(3)中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.

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【例题3】面动型

例3已知：把RtZ∖ABC和RtZXABC按如图1摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同

一直线上，∕ACB=∕EDF=90°,∕DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如图2,Z∖DEF从图

1的位置出发，以icm∕s的速度沿CB向AABC匀速移动，在ADEF移动的同时，点P从AABC

的顶点B出发，以2cm∕s的速度沿BA向点A匀速移动，当^DEF的顶点D移动到AC边上

时，^DEF停止移动，点P也随之停止运动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为

t(s)(0<t<4.5),解答下列问题：

①当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

②连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻

t,使得面积y最小？若存在，求出y的最小值，若不存在，请说明理由.

③是否存在某一时刻t,使得P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若

不存在，说明理由.

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一、选择题：

1.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的

长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()

A.4.8B.5C.6D.7.2

2.如图1O-S-1,NA=/B=90。，AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得

△PAD与aPBC相似，则这样的点P共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，MN是OO的直径，MN=4,∕AMN=40。，点B为弧AN的中点，点P是直径MN

上的一个动点，则PA+PB的最小值为().

ʌ-瓜B-c∙3√3D.J百

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的

直线1从O出发，沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线1与正方形没

有交点为止.设直线1扫过正方形OBCD的面积为S,直线I运动的时间为t(s),下列能反

映S与t之间函数关系的图象是(D)

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5.(如图，在。ABCD中，AB=6,BC=10,AB_LAC,点P从点B出发沿着B∙÷A÷C的路径运

动，同时点Q从点A出发沿着AfC玲D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点

Q随之停止运动，设点P运动的路程为X,y=PQ2,下列图象中大致反映y与X之间的函数关

二、填空题：

6.如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A∙÷B∙÷C∙÷D玲A方向运

动到点A处停止.设点P运动的路程为X,ZXPAB面积为y,如果y与X的函数图象如图②

所示，则矩形ABCD的面积为一.

7.如图12所示，已知点C(1,0),直线y=-χ+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E

分别是AB,OA上的动点，则ACDE周长的最小值是.

8.如图，钝角三角形ABC的面积为15,最长边AB=I0,BD平分/ABC,点M,N分别是

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BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为.

A

9.如图，ZAOB=90o,在/AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE_LOC,

分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知NDFE=/GFH=120。，

FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与X之间的函数关系式是

10.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连结CF交BD于点G,

连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是

三、解答题：

11.正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点，连结AE并延

长，交边BC于F,过M作MNJ_AF,垂足为H,交边AB于点N.

(1)如图1,若点M与点D重合，求证：AF=MN;

⑵如图2,若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出

发，以啦cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF=ycm,求y关于t的函数解析式；

②当BN=2AN时，连结FN,求FN的长.

图1图2

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12.如图，OF是NMoN的平分线，点Z在射线OM上，P,。是直线ON上的两动点，点

。在点P的右侧，且尸。=。4,作线段。。的垂直平分线，分别交直线。F,ON干点、B,C,

连接/8,PB.

(1)如图①，当尸，。两点都在射线ON上时，请直接写出线段/8与P8的数量关系.

(2)如图②，当P,。两点都在射线ON的反向延长线上时•，线段/8,PB是否还存在(1)中的

数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由.

AP

(3)如图③，NMON=60。,连接/P,设卷=%，当尸和0两点都在射线CW上移动时，k

是否存在最小值？若存在，请直接写出左的最小值；若不存在，请说明理由.

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13.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC

于Q∙

(1)求证：OP=OQ;

(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重

合).设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱

形.

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14.如图，抛物线y=aχ2+bχ-5(a≠0)与X轴交于点A(—5,0)和点B(3,0),与y轴交于点

C.

(1)求该抛物线的解析.式；

(2)若点E为X轴下方抛物线上的一点，坐标为(-2,-5),抛物线上是否存在点P,使NBAP

=NCAE?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

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15.已知：如图①，在。ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,AC_LAB.将aACD沿AC方向

匀速平移得到aPNM,速度为ICm/s;同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速

度为ICm/S；当APNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为ts(0<t<4),

(2)设AQMC的面积为ycι∏2,求y与t之间的函数表达式.

(3)是否存在某一时刻3使SAQMC：STOwABQP=I：4?若存在，求出t的值；若不存在，请

说明理由.

(4)是否存在某一时刻t,使PQLMQ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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2023年中考数学考前冲刺第12讲：动态变化型问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化,

并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行

实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的

结果往往有多种情况.涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及

函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想.

解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中

求动，抓住运动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关

系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径.

由点运动产生的问题，解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定X

的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论.这类问题往往探究点在运动变化

过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论

和数形结合的思想.

由线运动产生的问题，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握

直线或曲线变化的全过程，本题中PQ〃OA,PM〃OB,涉及相似三角形的判定与性质，抓

住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.

由图形运动产生的问题，由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平

移、旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变

化为常见的一种题型.本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形.

解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似数学研

究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另

一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论.类比发现法大致可遵循如下步

骤：

（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；（2）结合某一相应

图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论；（3）

类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.

【例题1】点动型

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菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B（2,O）,ZDOB=60o,点P是

对角线OC上一个动点，E（0,-1）,当EP+BP最短时，点P的坐标为.

【解析】点B的对称点是点D,如图2,连接ED交OC于点P,易知ED的长度即为EP+BP

的最短值.

【解答】：如图2,连接ED,因为点B的对称点是D,所以DP=BP,所以ED的值即为EP

+BP的最短值.

因为四边形ABCD是菱形，顶点B（2,0）,ZDOB=60o,所以点D的坐标为（1,行），

所以点C的坐标为（3,√ξ）,所以可得直线OC的解析式为1一'Lr.

3

因为点E的坐标为（0,-1）,所以可得直线ED的解析式为J=Il+、；卜-1.

S

因为点P事直线OC和直线ED的交点，所以点P的坐标为方程组3、的解，

y■（I÷vl（3）r-1

解方程组可得∙L2、33,所以点P的坐标为（2/332-4），故填（2∖Q-32√5）.

>--2-√3

【归纳】：本题中的变量是EP+BP的值，不变量是点B与点D的位置关系，借助菱形的对

称性将EP+BP的值转化为ED的值，由"两点间线段最短"即可知道此时EP+BP的值最短，

将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.

【例题2】线动型

如图3,在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4,3）.平行于对角线

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AC的直线m从原点。出发，沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与

矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t（秒）.

（1）点A的坐标是,点C的坐标是；

（2）当t=秒或秒时，MN=-AC；

2

（3）设AOMN的面积为S,求S与t的函数关系式；

（4）在（3）中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.

图3

【解析】:（1）根据B点的坐标即可求出A、C点的坐标；

（2）当MN='AC时，有两种情况：①Mn是aOAC的中位线，此时OM='0A=2,因此

22

t=2;②当MN是AABC的中位线时，OM=EOA=6,因此t=6:

2

（3）本题要分类讨论：①大直线m在AC下方或与AC重合时，即当0<tS4时，可根据

∆OMN-∆OAC,用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t之间的函数关系式；②

当直线m在AC上方时，即当4<t<8时，可用矩形OABC的面积-ZkBMN的面积-Z∖0CN的

面积-Z∖OAM的面积求得；

（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t

的值.

【解答】：（I）A（4,O）,C（0,3）;

（2）当MN='AC时:有两种情况：①Mn是AOAC的中位线，此时OM='0A=2,因此

22

3

t=2;②当MN是^ABC的中位线时，AM=IAB=H,OA=4,AD=-=2,

22IanZEDO3

4

所以OD=OA+AD=4+2=6,

故t=6;

（3）当OVt≤4时，OM=t,因为^OMNS∕∖OAC,所以"£=曳，所以ON=Ut,S=

OA（K'4

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3

一/2∙

当4<t<8时，如图4,因为OD=t,所以AD=t-4,由^DAMSJɅA0C,可得AM=ɜ(/-4)-

34

所以BM=6--;由ABMNsAiBAC,可得BN=-BM=8-t,所以CN=t-4,所以S=矩形

43

OABC的面积-RtZ∖BMN的面积-RtCN的面积-RtZ^OAM的面积=12-'(t-4)-1(8-t)

ɔ7

(4)有最大值，当0Vt≤4时，因为抛物线S=I/,的开口向上，在对称轴t=0的右边，S

8

随t的增大而增大，所以当t=4时，S可取到最大值二'χ42=6;当4<tV8时，因为抛物线

8

S=<∕+3t的开口向下，顶点是(4,6),所以S≤6.综上所述，当t=4时，S有最大值

【归纳】：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿，解答这类问题时要用

运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量

关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.

【例题3】面动型

例3已知：把RtZiABC和RtZiABC按如图1摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同

一直线上，NACB=NEDF=90°,NDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如图2,ZXDEF从图

1的位置出发，以icm∕s的速度沿CB向AABC匀速移动，在ADEF移动的同时，点P从4ABC

的顶点B出发，以2cm∕s的速度沿BA向点A匀速移动，当aDEF的顶点D移动到AC边上

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时，ADEF停止移动，点P也随之停止运动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为

t(s)(0<t<4.5),解答下列问题：

①当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

②连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻

t,使得面积y最小？若存在，求出y的最小值，若不存在，请说明理由.

③是否存在某一时刻t,使得P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若

不存在，说明理由.

【解答】：①因为点A在线段PQ的垂直平分线上，所以AP=AQ.因为NDEF=45。,NACB=90。，

ZDEF+ZACB+ZEQC=180o,所以NEQC=45。,所以NDEF=NEQC,所以CE=CQ.又由题意得

CE=t,BP=2t,所以CQ=t,所以AQ=8-t,解得t=2；

ACPM

②过点P作PM_LBE,交BE与点M,所以NBMP=90°,在RtAABC和RtABPM中，sinB=-=——,

ABBP

Oɪ

代入，解得PM=-七因为BC=6cm,CE=t所以BE=6t所以ySABcSkBPE=-(BC∙AC-BE∙PM)化简

52

得y=；(t-3)⅛j,所以当t=3时，5=g；

③假设存在某一时刻t,使得点P、Q、F三点在同一条直线上，过P点作PNLAC,交AC于

点N,所以NANP=∕ACB=NPNQ=90∖因为NPAN=NBACW^APAN^ABAC,所以

PNIO-2t

6~10

里，所以PN=6-§t,AN=8--t.因为NQ=AQ-AN,所以NQ=8-t-(8-§t)=-t.因为

85555

NACB=90°,B、C(E)>F在同一条直线上，所以ZQCF=90。NQCF=/PNQ.因为NFQC=NPQN,

所以4QCFsAlQNP,

所以史=NQ,所以殳丝！=3,因为ovt<4.5,所以t=l.

FCCQ9-t5

【归纳】：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究题都源

于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一

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特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运

动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这

种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确.

一、选择题：

1.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的

长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）

-4ɪ___

A.4.8B.5C.6D.7.2

【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,可求得

0A=0D=5,

LOA∙PE+OD∙PF求得答案.

ΔAOD的面积，然后由SAOD=SAOP÷SDOP=

ΔΔΔ2

【解答】解：连接OP,

・・・矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,

；・S矩形ABCD=AB∙BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD=IO,

SAAOD=HSAACD=12，

2

*∙'SAOD=SAOP+SDOP=~^OA∙PE+∙^0D∙PF=∙ɪ-×5×PE+ɪ5

ΔΔΔ■x5XPF==(PE+PF)=12,

2222?2

解得：PE+PF=4.8.故选：A.

/PD

K

ΛC

2.如图10-S-l,NA=NB=90。，AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得

APAD与APBC相似，则这样的点P共有()

A.1个B.2个C3个D.4个

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【解析】设AP=x,则PB=AB-AP=7-χ,

DAAP∣2X

当aPDAs∕∖CPB时,一=一,即hγ----=-,

PBBC7-x3

解得x=l或x=6：

ADAP∏2X

当4PDAs^pcB时,---=一，即H一=----,

2BCPB37-x

解得X=].则这样的点P共有3个.故选C.

3.如图，MN是。。的直径，MN=4,ZAMN=40o,点B为弧AN的中点，点P是直径MN

上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）.

【分析】过A作关于直线MN的对称点A,,连接AB,由轴对称的性质可知A,B即为PA+PB

的最小值，由对称的性质可知俞kj，再由圆周角定理可求出NAUN的度数，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A，，连接AB,由轴对称的性质可知AB即为

PA+PB的最小值，

连接OB,0A,,AA,,

:AA，关于直线MN对称，

VZAMN=40o,

，ZA,ON=80o,ZBON=40o,

ZA,OB=120o,

过O作OQ-LAB于Q,

在Rt^A'OQ中,0A,=2,

第17页共29页

ΛA,B=2A,Q=2√3-

即PA+PB的最小值2百.

故答案为：2«.故选B

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的

直线I从0出发，沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线1与正方形没

有交点为止.设直线1扫过正方形OBCD的面积为S,直线I运动的时间为t(s),下列能反

映S与t之间函数关系的图象是(D)

解：根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象.

①当0SW4时，S=1t∙t=t2,即S=1t2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分.故B,C

22

错误；

②当4<tW8时，S=16-∣(8-t)-(8-t),即S=-∣(t-8)2+16.该函数图象是开口向下的抛物

线的一部分.故A错误.故选D.

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5.(如图，在。ABCD中，AB=6,BC=10,AB_LAC,点P从点B出发沿着B玲A∙÷C的路径运

动，同时点Q从点A出发沿着A3C玲D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点

Q随之停止运动，设点P运动的路程为X,y=PQ2,下列图象中大致反映y与X之间的函数关

当0≤x≤6时，AP=6-X,AQ=x,Λy=PQ2=AP2+AQ2=2x2-12×+36:

当6≤x≤8时，AP=X-6,AQ=x,Λy=PQ2=(AQ-AP)2=36;

当8≤x≤14时，CP=14-X,CQ=X-8,Λy=PQ2=CP2+CQ2=2×2-44×+260.

故选B.

二、填空题：

6.如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A玲B玲C玲D玲A方向运

动到点A处停止.设点P运动的路程为X,4PAB面积为y,如果y与X的函数图象如图②

所示，则矩形ABCD的面积为24.

【解答】解：从图象②和已知可知：AB=4,BC=IO-4=6,所以矩形ABCD的面积是4×6=24.故

答案为：24.

7.如图12所示，已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E

分别是AB,OA上的动点，则aCDE周长的最小值是.

［解析］作点C关于y轴的对称点CI(-1,0),点C关于X轴的对称点C2,连接JC2交OA于

点E,交AB于点D,则此时aCDE的周长最小，且最小值等于JC2的长.

V0A=0B=7,ΛCB=6,ZABC=45o.

VAB垂直平分CC2,

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ΛZCBC2=90°,C2的坐标为(7,6).

在中22:

RtΔC1BC2，CiC2=^clιr+C2B=⅛+6=10.

即ACDE周长的最小值是10.

答案图

故答案为：10.

8.如图，钝角三角形ABC的面积为15,最长边AB=I0,BD平分NABC,点M,N分别

是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为3・

解：过点C作CE_LAB于点E,交BD于点M,过点M作MN_LBC于点N.

YBD平分NABC,ME_LAB于点E,MN_LBC于点N,

.∙.MN=ME,

.∙.CE=CM+ME=CM+MN的最小值

：三角形ABe的面积为15,AB=IO,

.∙.%0∙CE=15,

2

ΛCE=3,即CM+MN的最小值为3.

9.如图，ZAOB=90°,在NAOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE_LOC,

分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知NDFE=/GFH=120。，

FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则V与X之间的函数关系式是y=Sx?.

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【解析】：ON为NAOB平分线，.∙.ND0C=NE0C=45。，ΛCD=CE=0C=x,ΛDF=

EF,DE=CD+CE=2x,VZDFE=ZGFH=120o,ΛZCEF=30o,ΛCF=-x,ΛEF=

3

2CF=R⅛.∙∙∙SugEF=LDECF=也χ2.∙.∙四边形FGMH为菱形，,FG=MG=FE=鸥,

3233

2阴膨

YNG=180。一NGFH=60。，,AFMG为正三角形，ΛSΔFGH=⅛,'SFGMH=^χ2.S

四边形

=SFGMH+S∕iDEF=Sχ2.

10.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连结CF交BD于点G,

连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是近二1.

解：如解图，在正方形ABCD中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,NADG=NCDG.

AB=CD,

在4ABE和aDCF中，,I.NBAD=NCDA,

AE=DF,

Λ∆ABE^∆DCF(SAS).ΛZ1=Z2.

在aADG和ACDG中，

件D=CD,

・・•NADG=ZCDG,ʌAADGACDG(SAS).

IDG=DG,

ΛZ2=Z3.ΛZ1=Z3.

・・・ZBAH+Z3=ZBAD=90o,ΛZ1+NBAH=90。.

'ZAHB=180o-90o=90o.

取AB的中点0,连结OH,OD,则OH=AO=IAB=L

2

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在RtaAOD中，OD=MAo2+AD2=4N22=3,根据三角形的三边关系，OH+DH>0D,

当O,D,H三点共线时，DH的长度最小,

最小值=OD—C)H=贴一L

三、解答题：

11.正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点，连结AE并延

长，交边BC于F,过M作MNJ_AF,垂足为H,交边AB于点N.

(1)如图1,若点M与点D重合，求证：AF=MN;

⑵如图2,若点M从点D出发，以IemzS的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出

发，以/cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF=ycm,求y关于t的函数解析式；

②当BN=2AN时，连结FN,求FN的长.

图1图2

解：(1)在正方形ABCD中，AD=AB,ZDAN=ZFBA=90o,VMN±AF,ΛZNAH+

ZANH=90o,VZNDA+ZANH=90o,.,.ZNAH=ZNDA,Λ∆ABF^∆DAN,ΛAF

=MN

(2)①TAB=AD=6,BD=6/，由题意得，DM=t,BE=√2t,ΛAM=6-t,DE=6√2-

√2t,VAD/7BC,Λ∆ADE^∆FBE,Λ-=—,即自=他叁.∙.y=①；②YBN

BFBEySt6-t

=2AN,ΛAN=2,BN=4,由(1)证得NBAF=NAMN,VZABF=ZMAN=90o,

即BF6t.6^

Λ∆ABF^∆MAN,0=2,.∙.=U,由①求得BF=，••

ABBF6BF6-t6-t6一t

—,.∙.t=2,.∙.BF=3,ΛFN=√BF2+BN2=5cm

12.如图，OF是NMoN的平分线，点Z在射线OM上，P,。是直线ON上的两动点，点

。在点尸的右侧，且PQ=O/,作线段。。的垂直平分线，分别交直线。凡ON于点、B,C,

连接48,PB.

(1)如图①，当尸，。两点都在射线ON上时，请直接写出线段48与尸8的数量关系.

(2)如图②，当P,0两点都在射线ON的反向延长线上时，线段/2,P8是否还存在(1)中的

数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由.

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(3)如图③，NMON=60。,连接/P,设声=%，当尸和。两点都在射线ON上移动时，k

是否存在最小值？若存在，请直接写出A的最小值；若不存在，请说明理由.

解：(I)AB=PB.

理由：如图①，连接BQ.

「BC垂直平分0Q,BO=BQ,ΛZBOQ=ZBQO.

VOF平分NMON,

NAOB=/BOQ

ΛZAOB=ZBQO.

又TOA=PQ,Λ∆A0B^∆PQB,ΛAB=PB.

(2)存在.

「OF平分∕M0N,NBOQ=NFON,/AOF=/FON=/BQC,

ΛZBQP=ZAOB.

又「OA=PQ,Λ∆AOB^∆PQB,ΛAB=PB.

(3)如图③，连接BQ.

易证AABO之△PBQ,

ΛZOAB=ZBPQ,AB=PB.

VZOPB+ZBPQ=180°,

ΛZOPB+ZOAB=180o,ZAOP+ZABP=180°.

VZMON=60o,ΛZABP=120°.

VAB=PB,."BAP=NBPA=30°.

VBO=BQ,ΛZBOQ=ZBQO=30o,

ʌpAR

Λ∆ABP^∆OBQ,

OQOB

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•.,NAOB=30。，.,.当BA_LoM时，旭的值最小，最小值为0.5,；.k存在最小值，最小值

OB

为0.5.

13.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，0为BD的中点，Po的延长线交BC

于Q∙

(1)求证：OP=OQ;

(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重

合).设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱

【分析】(1)本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD〃BC,ZPDO=ZQBO,再根

据O为BD的中点得出4P0DZZ∖Q0B,即可证出OP=OQ.

(2)本题需先根据已知条件得出NA的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD

和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱

形.

【解答】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，

ΛADBC,

ΛZPDO=ZQBO,

又为BD的中点，

ΛOB=OD,

在APOD与AQOB中，

rZPDO=ZQBO

OB=OD

ZPOD=ZQOB

Λ∆POD^∆QOB(ASA),

ΛOP=OQ;

(2)解：PD=8-t,

四边形PBQD是菱形，

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ΛPD=BP=8-t,

；四边形ABCD是矩形,

二ZA=90o,

在RtAABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2,

即62+t2=(8-t)2,

解得：t=2,

4

即运动时间为N秒时，四边形PBQD是菱形.

4

14.如图，抛物线y=aχ2+bχ-5(a≠0)与X轴交于点A(—5,0)和点B(3,0),与y轴交于点

C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点E为X轴下方抛物线上的一点，坐标为(-2,-5),抛物线上是否存在点P,使/BAP

=ZCAE?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

1

a=-,

[25a-5b~5=0,A,3

解：(1)把A、B两点坐标代入解析式可得解得2，抛物线解析式为

9a+3b-5=0,b=-,

3

(2)假设存在满足条件的P点，其坐标为(m,ɪm2+∣m-5),如图，连结AP,CE,AE,过

1ɔ

E作ED_LAC于点D,过P作PQ_LX轴于点Q,则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=∣⅛+jm

一5|,在RtaAOC中，OA=OC=5,贝∣JAC=5/，NACO=NDCE=45。，由题可得EC

=2,在RtAEDC中，可得DE=DC=/，ΛAD=AC-DC=5λ^-√2=4√2,当/BAP=

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