（聚焦典型）高三数学一轮复习《空间几何体的表面积与体积》理 新人教B版

[第38讲空间几何体的表面积与体积](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·杭州二模]一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．1443．[2013·沈阳三模]已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0，4eq\r(3)]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于()A.eq\f(π,2)B.π或eq\r(3)πC.eq\r(3)πD.π4．[2013·福州二模]如图K38－1为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为()图K38－1A．14eq\r(3)B．6＋eq\r(3)C．12＋2eq\r(3)D．16＋2eq\r(3)eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·合肥二模]正方体内切球和外接球半径的比为()A．1∶eq\r(2)B．1∶eq\r(3)C.eq\r(2)∶eq\r(3)D．1∶26．[2013·沈阳二模]一个四面体的所有棱长都为eq\r(2)，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A．3πB．4πC．3eq\r(3)πD．6π7．[2013·广东卷]某几何体的三视图如图K38－2所示，它的体积为()图K38－2A．12πB．45πC．57πD．81π8．[2013·石家庄二模]一个空间几何体的三视图如图K38－3所示，则该几何体的体积为()图K38－3A.eq\f(6,5)πcm3B．3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3D.eq\f(7,3)πcm39．已知某几何体的三视图如图K38－4，则该几何体的体积为()图K38－4A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)10．[2013·太原一模]如图K38－5所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是________．图K38－511．[2013·郑州一模]四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图K38－6，则四棱锥P－ABCD的体积为________．图K38－612．[2013·天津卷]一个几何体的三视图如图K38－7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________________________________________________________________________m3.图K38－7图K38－813．[2013·石家庄一模]如图K38－8所示，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________．14．(10分)一直三棱柱高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm15．(13分)一个几何体的三视图如图K38－9所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.图K38－9eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)如图K38－10，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．图K38－10

课时作业(三十八)【基础热身】1．C[解析]设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π.2．A[解析]其侧面面积为6×6×4＝144，底面积为2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，∴S全＝48(3＋eq\r(3))．3．D[解析]若圆锥的轴截面为钝角或直角三角形，则过顶点的截面的最大面积为eq\f(1,2)×4×4＝8∉(0，4eq\r(3)]，故圆锥的轴截面为锐角三角形，且其在过顶点的截面三角形中面积最大，则4eq\r(3)＝eq\f(1,2)eq\r(l2－r2)·2r(其中r为圆锥底面半径，l为母线长)，解得r＝2或2eq\r(3)(此时轴截面为钝角三角形，舍去),所以侧面展开图扇形圆心角θ＝eq\f(r,l)·2π＝eq\f(2,4)×2π＝π.4．C[解析]据三视图可知几何体为一正三棱柱，其中侧棱长为2，底面正三角形的高为eq\r(3)，即底面三角形边长为2，故其表面积S＝3×2×2＋eq\f(\r(3),4)×22×2＝12＋2eq\r(3).【能力提升】5．B[解析]作正方体与其内切球的截面如图甲，设正方体棱长为a，则有2r＝a(r为内切球半径)．①作正方体与其外接球的截面如图乙，则有2R＝eq\r(3)a(R为外接球半径)，②①÷②，得r∶R＝1∶eq\r(3).6．A[解析]由题意得AD＝eq\f(\r(6),2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(6),3)，SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\f(2,3)eq\r(3).∴R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\r(3)－R))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)，∴R＝eq\f(\r(3),2)，∴球的表面积为3π.7．C[解析]根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆锥的高h＝4，圆柱的高为5，所以V组合体＝V圆柱＋V圆锥＝π×32×5＋eq\f(1,3)×π×32×4＝57π，所以选择C.8．D[解析]由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm，高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球，所以其体积为V＝πr2h－eq\f(2,3)πr3＝3π－eq\f(2,3)π＝eq\f(7,3)πcm3.9．C[解析]由题意可知，该几何体的体积为V＝eq\f(1,3)·S正方形·1＝eq\f(1,3).10.eq\f(8\r(2),3)π[解析]依题意得，该几何体是一个正四棱锥，其中底面是边长为2的正方形、高是eq\r(2)，因此底面的中心到各顶点的距离都等于eq\r(2)，即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心，外接球半径为eq\r(2)，故该几何体的外接球的体积等于eq\f(4,3)π×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.11.eq\f(1,3)a3[解析]易知该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面是边长为a的正方形，故体积V＝eq\f(1,3)a2×a＝eq\f(1,3)a3.12．18＋9π[解析]由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V＝6×3×1＋2×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝18＋9π.13.eq\r(6)π[解析]如图，以DA，AB，BC为棱构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2).故球O的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.14．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5,∴△ABC为直角三角形，根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5,∴R＝1，∴V圆柱＝πR2·h＝6π.而三棱柱的体积为V三棱柱＝eq\f(1,2)×3×4×6＝36,∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)，即削去部分的体积的最小值为6(6－π)cm3.15．解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).【难点突破】16．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB