山东省青岛市胶州第八中学2022年高二数学理期末试卷含解析

山东省青岛市胶州第八中学2022年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某单位1-4月份用水量（单位：百吨）的一组数据如下表所示：

月份x1234用水量y4.5432.5

根据收集到的数据，由最小二乘法可求得线性回归方程，则（

）A．－0.7

B．0.7

C．－0.75

D．0.75参考答案：A2.为了考察两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和，已知两人在试验中发现对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，那么下列说法正确的是（

）A．和有交点

B．与相交，但交点不一定是C．与必定平行

D．与必定重合参考答案：A3.在△ABC中，已知a=，b=，∠B=60°，那么∠A等于（）A．30° B．45° C．90° D．135°参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．【解答】解：由正弦定理知：∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选：B．4.设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=﹣x2+2}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2） D．[1，2]参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，即A=（1，+∞），由B中y=﹣x2+2≤2，得到B=（﹣∞，2]，则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.设，则二项式的展开式的常数项是（

）A.-160 B.-80 C.80 D.160参考答案：B【分析】求出定积分的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，然后化简，让的指数为零，最后求出常数项.【详解】，，所以，令，所以常数项为，故本题选B.6..已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C．D．参考答案：B略7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥A﹣BCDE，如图所示，在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，∴AE=，在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，∴AE2+DE2=AD2，∴三角形AED是直角三角形，则该几何体的侧面积为S=2×（）+2×（）=+，故选C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查学生对三视图复原几何体的能力与计算能力．8.在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（）A． B． C．D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h，∵，，∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，∴=．∴=．故选：D．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．9.用反证法证明命题“若则、全为0”（、），其反设正确的是（

）A．、至少有一个为0

B．、至少有一个不为0

C．、全不为0

D．、中只有一个为0

参考答案：B略10.给出下面四个类比结论（）①实数若则或；类比向量若，则或②实数有类比向量有③向量，有；类比复数，有④实数有，则；类比复数，有，则其中类比结论正确的命题个数为（）A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列式子：，，，，，归纳得出第n个式子为_____________．参考答案：略12.式子（+）n的展开式中第4项为常数项，且常数项为T，则：sinxdx=_________．参考答案：1略13.已知，则________.（用含m的式子表示）参考答案：【分析】通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可。【详解】因为，即，所以，所以，所以，又.【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力。14.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是____．参考答案：(-4,0)15.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于

（提供数据：，结果保留两个有效数字）参考答案：1.416.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

参考答案：略17.lg+2lg2﹣（）﹣1=

．参考答案：﹣1【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题10分）用反证法证明：关于的方程

、、,当或时,至少有一个方程有实数根．参考答案：设三个方程都没有实根，则有判别式都小于零得：，

与或矛盾，故原命题成立；略19.已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）若a=﹣，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，关于x的方程f（x）=x﹣b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出导数，依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立，对a讨论，则有a＜0，判别式不小于0，即可；（3）由题意设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，求得导数，列表表示g（x）和g′（x）的关系，得到极小值和极大值，又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根．则令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它们即可，．【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），∵a=﹣时，由f′（x）=＞0，得3x2﹣8x+4＜0，∴＜x＜2，故f（x）在（，2）内递增，在（0，）和（2，+∞）内递减．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0时恒成立，则a≤=﹣1在x＞0时恒成立，即a≤﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（3）由题意﹣x2+2x﹣lnx=x﹣b，即x2﹣x+lnx﹣b=0，设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，则g′（x）=，列表：x（0，1）1（1，2）2（2，4）g′（x）+0﹣0+g（x）↑极大值↓极小值↑∴g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，又g（4）=2ln2﹣b﹣2又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣（注意﹣＜﹣1＜2ln2﹣2），∴b的取值范围为（ln2﹣2，﹣]．

20.已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；（2）求h（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算h′（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可．【解答】解：∵h（x）=f（x）+g（x）=mx2﹣（2m+1）x+2lnx，∴h′（x）=mx﹣（2m+1）+，（x＞0），（1）h′（1）=m﹣（2m+1）+2=1﹣m，∴h′（3）=3m﹣（2m+1）+=m﹣，由h′（1）=h′（3）得：m=；（2）∵h′（x）=，（x＞0），?当m≤0时，x＞0，mx﹣1＜0，在区间（0，2）上，f′（x）＞0，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，?当0＜m＜时，＞2，在区间（0，2）和（，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（2，）上，f′（x）＜0，当m=时，f′（x）=，?在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，④当m＞时，0＜＜2，在区间（0，）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（，2）上，f′（x）＜0，综上：?当m≤0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，当0＜m＜时，?f（x）在（0，2）和（，+∞）递增，在（2，）递减，m=时，f（x）在（0，+∞）递增?；④当m＞时，f（x）在（0，）和（2，+∞）递增，在（，2）递减．21.已知函数.（1）求不等式的解集；（3）若函数的最小值不小于f(x)的最小值，求a的取值范围.参考答案：（1）由，得，∴或或解得，故不等式的解集为.（2）∵，∴的最小值为.∵，∴，则或，解得.22.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，.（1）求证：EF∥平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.参考答案：(1)见解析(2)（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：方法一：取中点，连接，分别是中点,，为中点，为正方形，，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二：取中点，连接，.是中点，是中点，，又是中点，是中点，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则设平面法向量为，则,即,取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平