02 模块二　数列 【正文】听课手册

微专题5等差数列、等比数列微点1等差、等比数列基本量计算例1(1)已知公差不为零的等差数列{an}满足a2+a7=a8+1,且a2,a4,a8成等比数列,则a2023= ()A.2023 B.-2023C.0 D.1(2)[2023·福建泉州模拟]已知等差数列{an}满足(n+1)an=n2-8n+k,数列{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.①求an和bn;②令cn=anbn,求数列{cn自测题1.已知{an}为等差数列,a2=-2,a1+a10=a3+4,则a5= ()A.1 B.2 C.3 D.42.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a3=1,2S3=7a2,则S5=.

微点2等差、等比数列的性质例2(1)[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= ()A.120 B.85C.-85 D.-120(2)[2023·福建厦门模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6= ()A.9 B.21C.12 D.27[听课笔记]

自测题1.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a685=a684+2a683,若存在两项am,an,使得am·an=2a1,则1m+4A.9 B.7C.94 D.2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S16>0,a7+a9<0,则当Sn取最小值时,n的值为.

微点3等差、等比数列的证明例3[2023·广东潮州二模]已知数列{an}满足a1=3,an+1=an2-2an+(1)证明数列{ln(an-1)}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1an+1an-2,数列{bn}的前n项和为Sn,求证自测题已知数列{an}满足a1=2,且对任意的n∈N*,an+1=a(1)求a2,a3的值,并证明数列a2n(2)设bn=a2n-1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.微点4数列模型与应用例4(多选题)如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则 ()A.S5=35B.an+1-an=nC.an=nD.1a1+1a2+1a3[听课笔记]

自测题[2023·哈尔滨九中三模]我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺.莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为日.(结果保留一位小数,参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)

【规律提炼】等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是解决数列问题的基础.1.掌握并应用两种基本数列通项公式、求和公式的推演与方法;2.掌握利用基本量方法和方程思想解决基本量的计算与利用性质优化求解的方法;3.关注利用数列的变化规律,时刻牢记等差数列与二次函数、等比数列与指数函数的关联性与区别.1.[2023·天津卷]已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为 ()A.3 B.18C.54 D.1522.[2020·全国卷Ⅱ]数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k= ()A.2 B.3C.4 D.53.[2022·新高考全国Ⅱ卷]中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,AA',BB',CC',DD'是桁,DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的脊、步的比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.94.[2023·新课标Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则 (A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.[2023·北京卷]我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=;数列{an}所有项的和为.

6.[2023·全国乙卷]已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=.

微专题6递推数列与数列求和微点1利用构造或者猜想求项或通项例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,Sn=Sn+1-3an-2,则S20= ()A.3202 B.321C.3202-432 D.(2)[2023·深圳中学模拟]已知数列{an}满足a1=-3,anan+1=an-1,则a105=.

[听课笔记]

自测题1.已知数列{an},若a1+a2n-1=4n-6,则a7= ()A.9 B.11 C.13 D.152.[2023·北师大附中模拟]已知Sn是数列{an}的前n项和,且对任意的正整数n,都满足1an+1-1an=2n+2,若a1=12,则a3=,微点2根据通项特点求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12n2+12n+1,n∈N(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1a2+b2a3+…+bnan+1=12×3n+1-32,n∈N*自测题[2023·长郡中学二模]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an=Sn+Sn-1((1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列an+22nanan+1的前n项和为T微点3递推关系探究例3[2023·湖南雅礼中学一模]“0,1数列”是每一项均为0或1的数列,在通信技术中应用广泛.设A是一个“0,1数列”,定义数列f(A):数列A中每个0都变为“1,0,1”,A中每个1都变为“0,1,0”,得到的新数列为f(A).例如数列A:1,0,则数列f(A):0,1,0,1,0,1.已知数列A1:1,0,1,0,1,且数列Ak+1=f(Ak),k=1,2,3,…,记数列Ak的所有项之和为Sk,则Sk+Sk+1=.

自测题1.(多选题)佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列,随着项数越来越大,其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数,该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系.记佩尔数列为{an},且a1=0,a2=1,an+2=2an+1+an,则 ()A.a10=985 B.数列{an+1-an}是等比数列C.an=24[(2+1)n-1-(-2+1)n-1]D.白银比为2+12.[2023·浙江湖州、衢州、丽水三地联考]已知数列1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9,…,其中第一项是1,接下来的两项是1,3,再接下来的三项是1,3,5,以此类推.将该数列前n项的和记为Sn,则使得Sn>400成立的最小正整数n的值是.

【规律提炼】1.求通项公式一般根据递推关系结构(累加法、累乘法、构造法等),求和一般是根据通项公式的特点求和(公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等).2.给出递推关系求an的思路,一般是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为关于an的递推关系再求通项公式;另外一种是转化为Sn与n的递推关系再求an.1.[2021·新高考全国Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么∑k=1ndm2.

2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为(1)求{an}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+

微专题7数列中的双数列问题微点1奇偶交叉问题例1[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列,bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.记Sn,Tn分别为数列{an},{bn(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.【规律提炼】对于数列的交叉递推关系,一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.自测题[2023·山西怀仁一中二模]已知数列{an}满足a1=3,且an+1=2(1)设bn=a2n+a2n-1,证明:{bn-3}是等比数列;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.微点2插项、去项、公共项问题例2[2023·哈师大附中三模]已知数列{bn}的前n项和为Sn,满足2Sn=3(bn-1),在等差数列{cn}中,c1=5,c1+c2+c3=27.(1)求{bn}和{cn}的通项公式;(2)数列{bn}与{cn}的公共项由小到大排列组成新数列{an},求数列{an}的前20项积T20.自测题1.[2023·山东菏泽二模]设数列{an}是以12为首项,12为公比的等比数列.在a1和a2之间插入1个数x11,使a1,x11,a2成等差数列;在a2和a3之间插入2个数x21,x22,使a2,x21,x22,a3成等差数列;…;在an和an+1之间插入n个数xn1,xn2,…,xnn,使an,xn1,xn2,…,xnn,an+1成等差数列.则x22=;令Sn=x11+x21+x22+…+xn1+xn2+…+xnn,则43Sn2.[2023·湖南怀化二模]已知Sn为数列{an}的前n项和,a2=5,Sn+1=Sn+an+4.{bn}是等比数列,b2=9,b1+b3=30,公比q>1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)数列{an}和{bn}的所有项分别构成集合A,B,将A∪B中的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn},若T20=c1+c2+c3+…+c20,求T20的值.微点3关联数列问题例3已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn,且对任意n∈N*,an+1-an=32(bn+1-bn)恒成立(1)若An=3n2+3n2,b1=(2)若对任意n∈N*,都有an=Bn,且b2a1a2+b3a2a3+b4a3自测题[2023·广东佛山一中一模]已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等差数列,且满足a1=-1,a2+b3=0,Sn=2an+bn(n∈N*).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若c1=b1,c2n=c2n-1+b1,c2n+1=c2n+an,求数列{cn}的前2n项和T2n.1.[2021·新高考全国Ⅰ卷]已知数列{an}满足a1=1,an+1=a(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.2.[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.

(1)数列作为一类特殊的函数,考查数列背景下的函数问题;(2)数列呈现了数之间的关系,考查以数列为背景的综合性问题;(3)在取值范围、不等式证明问题中,结合不等式或函数性质等知识综合考查.交汇一数列与不等式的交汇问题例1(1)[2023·河北衡水中学模拟]已知等比数列{an}的各项均为正数,a5≥116,且存在m∈N*,使得am+2+2am=1,则a1(2)[2023·广东茂名一中三模]黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出.黎曼猜想研究的对象是类似于ξ(n)=∑n=1+∞n-s=11s+12s+13s+…的无穷级数,我们经常从无穷级数的部分和11s+12s+13s+…+1ns入手.已知[①112+②已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=12an+1a[听课笔记]

自测题[2023·吉林长春模拟]已知数列{an}是公差为正数的等差数列,且a1+a3=10,a2=4(1)求{an}的通项公式;(2)求证:∑i=1n交汇二数列与函数的交汇问题例2[2023·济宁三模]已知函数y=f(x)(x∈R)满足f12=33,fn+12=3·fn2(n∈N*).若an=log3f(n),函数g(x)=2x3-3x2+2,则ga12023+ga22023+ga3A.3036 B.3034C.3032 D.3030[听课笔记]

自测题(多选题)[2023·湖南常德一中模拟]已知函数fn(x)=sin2nx+cos2nx(n∈N*),记fn(x)的最小值为an,下