03 模块三　立体几何 【正文】作业手册

模块三立体几何限时集训(八)微专题8空间几何体[时间:45min]基础过关1.[2023·漳州二模]已知某圆锥的底面半径为1,高为3,则它的侧面积与底面积之比为 ()A.12 B.C.2 D.42.[2023·东营二模]已知m,n表示空间内两条不同的直线,则“m∥n”的必要不充分条件是()A.存在平面α,使得m∥α,n∥αB.存在平面α,使得m⊥α,n⊥αC.存在直线l,使得m⊥l,n∥lD.存在直线l,使得m∥l,n∥l3.[2023·湖南长郡中学一模]最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》,该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量(盆中水的体积与盆口面积之比).已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸(注:1尺=10寸)时,平地的降雨量是 ()A.9寸 B.6寸C.4寸 D.3寸4.[2023·江苏苏锡常镇四市调研]埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,其侧面与底面所成锐二面角的余弦值为5-12,则侧面三角形的顶角的正切值为 (A.2 B.3 C.5-12 5.如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 () A B C D6.[2023·济南二模]17世纪30年代,意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图,AEB是一个半圆,圆心为O,四边形ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周,记△OCD,阴影部分,AEB所形成的几何体的体积分别为V1,V2,V3,则下列说法正确的是 ()A.V1+V2<V3 B.V1+V2>V3C.V1>V2 D.V1=V27.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145,则该五面体的所有棱长之和为 (A.102m B.112mC.117m D.125m8.(多选题)已知圆锥TO(O是圆锥底面圆的圆心,T是圆锥的顶点)的母线长为3,底面半径为5.若P,Q为底面圆周上的任意两点,则下列说法中正确的是 ()A.圆锥TO的侧面积为35πB.△TPQ面积的最大值为25C.三棱锥O-TPQ体积的最大值为5D.圆锥TO的内切球的体积为4π9.(多选题)[2023·南京二模]已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,AA1=AB,∠A1AB=∠A1AD=60°,则 ()A.点A1在平面ABCD内的射影在AC上B.AC1⊥平面A1BDC.AC1与平面A1BD的交点是△A1BD的重心D.二面角B1-BD-C的大小为45°10.已知一个半球内含有一个圆台,半球的底面圆即为圆台的下底面,圆台的上底面圆周在半球球面上,且上底面半径为3,若半球的体积为144π,则圆台的体积为.

11.在三棱锥A-BCD中,AB=1,CD=2,AB与CD所在的直线间的距离为3,且AB与CD所成的角为60°,则三棱锥A-BCD的体积为.

12.[2023·安徽马鞍山二模]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E,F在棱AB上,点H,G在棱CD上,点E1,H1在棱A1D1上,点F1,G1在棱B1C1上,AE=BF=DH=CG=A1E1=B1F1=D1H1=C1G1=12,则六面体EFGH-E1F1G1H1的体积为能力提升13.[2023·山东威海二模]已知等边三角形SAB为圆锥的轴截面,AB为圆锥的底面直径,O,C分别是AB,SB的中点,过OC且与平面SAB垂直的平面记为α,若点S到平面α的距离为6,则该圆锥的侧面积为 ()A.8π B.16π C.24π D.32π14.(多选题)[2023·温州二模]蜜蜂是自然界的建筑大师,在18世纪初,法国数学家马拉尔迪指出,蜂巢由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房(如图)构成,其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成的,每个菱形钝角的余弦值是-13,则 (A.AB∥平面EDD1E1B.AB⊥EFC.蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直D.该几何体的体积与以六边形A1B1C1D1E1F1为底面,以BB1为高的正六棱柱的体积相等(第14题图)15.(多选题)[2023·江苏八市二调]如图,正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2,BC=2.若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转,使得点A,P分别旋转至点A',P'处,且A',B,C,D四点共面,点A',D分别位于BC两侧,则 ()(第15题图)A.A'D⊥CPB.PP'∥平面A'BDCC.多面体PP'A'BDC的外接球的表面积为6πD.点A,P旋转运动的轨迹长相等16.[2023·武汉武昌区5月质检]祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,即:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.有一个球形瓷碗,它可以看成半球的一部分,若瓷碗的碗口直径为8,高为2,利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为.

限时集训(九)微专题9球的截面性质与切接问题[时间:45min]基础过关1.如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥组成的组合体,设它的体积为V1,它的内切球的体积为V2,则V1∶V2= ()A.2∶3 B.22∶3C.2∶2 D.2∶12.已知某圆台上、下底面圆的半径分别为3和4,该圆台的高h>5,球O是该圆台的外接球,若球O的表面积为100π,则该圆台的体积为 ()A.175π3 B.C.238π3 D.3.三星堆古遗址3号坑发现的神树纹玉琮,为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮(如图所示)是古人用于祭祀的一种礼器,有学者认为其外方内圆的构造,契合了古代“天圆地方”的观念,是天地合一的体现.假定某玉琮形状对称,由一个空心圆柱及正方体构成,且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面,圆柱的高为12,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上,则球O的表面积为 ()A.72π B.162πC.216π D.288π4.如图,某几何体为一个圆柱和一个圆锥的组合体,其中圆锥的底面和圆柱的一个底面重合,设圆锥的顶点为A,圆柱上、下底面圆的圆心分别为B,C.若该几何体存在外接球(即圆锥的顶点与底面圆周在该球面上,且圆柱的底面圆周也在该球面上),且BC=2AB=4,则该几何体的体积等于 ()A.56π B.703C.48π D.64π5.已知球O与棱长为4的正四面体的各条棱都相切,则球O的表面积为 ()A.8π B.82C.32π D.24π6.[2023·河北唐山三模]把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D'-AC-B(点D到达点D'的位置),则三棱锥D'-ABC的外接球的球心到平面BCD'的距离为 ()A.33 B.2C.63 D.7.[2023·浙江Z20名校联考]已知半径为4的球O被两个平面截得圆O1和圆O2,记两圆的公共弦为AB,且O1O2=2,若二面角O1-AB-O2的大小为2π3,则四面体ABO1O2体积的最大值为(A.83 B.42C.829 D8.(多选题)水平面上紧挨着放置n个半径r=1的小球(不叠起),用一个半径最小的大半球把这n个小球罩住,记大半球的半径为R,则 ()A.当n=1时,R=2B.当n=2时,R=2+1C.当n=3时,R=213+D.当n=4时,R=39.(多选题)[2023·嘉兴二模]已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,将△ABD沿对角线BD翻折,得到三棱锥P-BCD(点A到达点P的位置),则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.存在某个位置,使得PC⊥BCB.直线BC与平面PBD所成角的最大值为60°C.当二面角P-BD-C为120°时,三棱锥P-BCD外接球的表面积为28πD.当PC=2时,分别以P,B,C,D为球心,2为半径作球,这四个球的公共部分称为勒洛四面体,则该勒洛四面体内切球的半径为2-610.[2023·山东淄博三模]已知某圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为.

11.[2023·广东潮州三模]已知圆柱的侧面积为2π,其外接球的表面积为S,则S的最小值为.

12.[2023·湖南雅礼中学二模]如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=3,AD=2,∠BAD=π3,现将△ABD沿直线BD翻折,使点A到达点A'的位置,得到三棱锥A'-BCD,若A'C=7,则三棱锥A'-BCD内切球的表面积为能力提升13.已知正三棱台ABC-A1B1C1上、下底面的边长分别为1和3,侧棱长为2,则以下底面的顶点A为球心,7为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ()A.π3 B.πC.2π3 D.14.(多选题)如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的球心为O,E,F分别是棱AB,CC1的中点,G在棱BC上运动,则 ()A.对于任意点G,OA∥平面EFG恒成立B.存在点G,使得OD⊥平面EFGC.直线EF的被球O截得的弦长为3D.过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为π15.(多选题)[2023·莆田二模]已知正四面体P-ABC的棱长为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.若a>2,集合T={Q∈S|PQ≤a},则T表示的区域的形状可以是 () A B C D16.[2023·湖南雅礼中学一模]已知三棱锥P-ABC满足PA=1,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,若VP-ABC=23,则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为

限时集训(十)微专题10空间角与空间距离[时间:45min]基础过关1.[2023·杭州二模]如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC为等腰直角三角形,∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.(1)求证:AC⊥SB;(2)若AB=2,SC=22,求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.2.[2023·唐山二模]如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,BC=1,∠BAD=120°,PA⊥CD,PD⊥AC,点E是棱PD上靠近点P的三等分点.(1)证明:PA⊥平面ABCD;(2)若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为31010,求四棱锥P-ABCD3.[2023·青岛二模]如图①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,现将△ADE,△BCE分别沿AE,BE向上翻折,使点D,C分别到达点M,N的位置,且平面AME,平面BNE均与平面ABE垂直,如图②.(1)证明:M,N,A,B四点共面;(2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. ① ②4.[2023·广东茂名二模]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,O为AD的中点.(1)求证:PO⊥BC;(2)若AB∥CD,AB=8,AD=DC=CB=4,PO=27,点E在棱PB上,直线AE与平面ABCD所成的角为π6,求点E到平面PCD的距离能力提升5.[2023·湖北黄石模拟]如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=AE=2DE=2,∠AED=60°,二面角E-AD-C的大小是60°,平面EAB与平面ECD的交线l上存在一点F满足二面角F-BC-D的大小也是60°.(1)求三棱锥F-BCD的体积;(2)若M为直线AB上的动点,求直线MF与平面EBC所成角的正弦值的最大值.6.如图是由正四棱锥P-ABCD和正三棱锥P-CDE组成的.(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l,求证:l⊥PE;(2)若PE∥BC,PE的中点为F,求平面BCF与平面CDE夹角的余弦值.

限时集训(十一)微专题11立体几何中的动点、截面与折叠展开问题[时间:45min]基础过关1.用一个平面去截一正方体,则截面的形状不可能是 ()A.四边形 B.五边形C.六边形 D.七边形2.[2023·山东济南三模]如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中点,将△ADE,△BEF,△CDF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A',则三棱锥A'-DEF的外接球体积为 ()A.86π B.66πC.46π D.26π3.[2023·长春四模]已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点M,N分别为线段AB',AC上的动点,点T在平面BCC'B'内,则MT+NT的最小值是 ()A.2 B.2C.62 D.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1(不含端点)上的动点,N为BC的中点,则 ()A.BD⊥AMB.平面A1BD⊥平面AD1MC.MN∥平面A1BDD.CM∥平面A1BD5.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为B1C1的中点,过点D作平面α使α⊥BM,则平面α截正方体所得截面的面积为 ()A.42 B.45C.85 D.1626.如图,矩形ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,且BC=2AB=2,现将△ABE沿AE向上翻折,使点B到点P的位置,则在翻折过程中,下列结论错误的是 ()A.存在点P,使得PE∥CFB.存在点P,使得PE⊥EDC.三棱锥P-AED体积的最大值为2D.当三棱锥P-AED的体积达到最大值时,三棱锥P-AED外接球的表面积为4π7.(多选题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点P,Q分别在A1C1,B1C上,点A,P,Q所确定的平面将三棱柱截成两部分的体积分别为V1和V2(V1<V2),则下列说法正确的有 ()A.若PQ为A1C1与B1C的公垂线段,则PQ⊥AB1B.不存在P,Q,使得PQ∥平面ABB1A1C.点A,P,Q所确定的平面截三棱柱,截面可能为梯形D.若A1P=C1P,CQ=4B1Q,则V1∶V2=5∶138.(多选题)[2023·武汉武昌区质检]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是 ()A.三棱锥B1-C1D1P的体积为定值B.存在点P,使得D1P⊥AC1C.若D1P⊥B1D,则点P在底面ABCD内的轨迹长为2D.若点P是AD的中点,点Q是BB1的中点,过P,Q作平面α⊥平面ACC1A1,则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1得到的截面面积为339.已知正四面体ABCD的棱长为1,过点B作截面α分别交棱AC,AD于点E,F,且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的13,则线段EF的长度的最小值为10.[2023·张家口三模]已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=42,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为;若点Q是线段AC上的动点,则PQ+QB的最小值为.

11.[2023·湖北天门模拟]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为棱B1C1的中点,N为底面ABCD内一动点