05 模块五　解析几何 【答案】作业手册

模块五解析几何限时集训(十六)1.A[解析]根据题意,若a=3,则直线l1:3x-5y-1=0,l2:3x-5y+4=0,两直线平行;反之,若l1∥l2,则-a(a+2)+15=0,4a+3≠0,解得a=3或a=-5.故“a=3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.2.C[解析]由题意可得x02+y02=2,∴圆心C(0,0)到直线l:x0x-y0y=2的距离d=2x02+y02=22=2=r(r为圆C3.D[解析]由题意得m=1+3=4.易知l的斜率存在,设切线l的方程为y-3=k(x-1),则|k-3|1+k2=2,解得k=-33,设l的倾斜角为θ,则0°≤θ<180°,tanθ=-33,得θ=4.C[解析]连接PC,由题知☉C的半径r=5,圆心为C(2,4),又A,B是☉C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点,|AB|=6,所以|PC|=25-9=4,所以点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=16.故选5.B[解析]由题知,圆的圆心坐标为(2,2),半径为2,因为l将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,所以两段弧所对的圆心角分别为4π3和2π3,由几何性质可知,圆心到l的距离为1.设l的方程为y=kx,则|2k-2|k26.A[解析]对于x+y+2=0,令y=0,得x=-2,所以A(-2,0),令x=0,得y=-2,所以B(0,-2),故|AB|=(-2)2+方法一:因为圆(x-2)2+y2=2的圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+2|2=22,且圆(x-2)2+y2=2的半径r=2,所以点P到直线x+y+2=0的距离d的取值范围为[22-2,22+2],即[2,32],所以S△ABP=12×|AB|×d=12×22d=2d方法二:设P(x,y),则点P到直线AB的距离d=|x+y+2|2,令t=x+y+2,则y=-(x-t+2),代入圆的方程整理得2x2-2tx+t2-4t+6=0(*),因为点P在圆上,所以关于x的方程(*)有解,则Δ≥0⇒2≤t≤6,所以d∈[2,32].因为|AB|=22,S△ABP=12|AB|·d,方法三:设P(2+2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π),则点P到直线AB的距离d=|2+2cosθ+2sinθ+2|2=4+2sinθ+π42,又|AB|=22,7.B[解析]由题知圆C:(x-2)2+(y-2)2=1的半径为1,圆心为C(2,2).当直线PM,PN为圆的两条不同切线时,连接MC,PC,则∠PMC=90°,在Rt△CPM中,sin∠CPM=|MC||PC|,|MC|=1,则当|PC|变小时,sin∠CPM变大,∵∠CPM∈(0°,90°),∴sin∠CPM变大时∠CPM变大.易知当PC与直线3x-4y+12=0垂直且直线PM,PN为圆的两条不同切线时,∠CPM最大,此时∠MPN=2∠CPM,|PC|=|6-8+12|32+42=2,则sin∠CPM=12,即∠8.ABC[解析]当直线l与x轴垂直时,|AB|取得最小值,令x=4,则(4-6)2+y2=9,解得y=±5,所以|AB|的最小值为25,所以A正确;当直线l与PQ垂直时,P到l的距离取得最大值,且最大值为|PQ|=25,所以B正确;设R(6+3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π),则PQ·PR=(2,-4)·(4+3cosθ,3sinθ-4)=6cosθ-12sinθ+24=65cos(θ+φ)+24,其中tanφ=2,当cos(θ+φ)=-1时,PQ·PR取得最小值24-65,所以C正确;因为圆心为C(6,0),半径r=3,所以当圆心C在线段PR上时,|PR|取得最大值,且最大值为(2-6)2+42+3=42+9.ACD[解析]由kx-y+5k+1=0,得y-1=k(x+5),∴直线l过定点(-5,1),故A正确;将圆C的方程化成标准方程为(x+3)2+y2=9,∴圆心为C(-3,0),∵直线l平分圆C,∴直线l过圆心C,∴-3k+5k+1=0,解得k=-12,故B错误;设D(-5,1),连接CD,当CD⊥l时,圆心C到直线l的距离最大,最大值为|CD|=(-5+3)2+(1-0)2=5,当直线l过圆心C时,圆心C到直线l的距离最小,最小值为0,∴圆心C到直线l的距离的取值范围为[0,5],故C正确;圆C的半径r=3,设圆心C到直线l的距离为d,则△ABC的面积为12×d×2r2-d2=d9-10.22[解析]由题知,圆C的圆心为C(-1,0),半径为2,则圆心C到直线x+y-5=0的距离为62=32,故点P到直线x+y-5=0的距离的最小值为32-2=2211.26[解析]由题意知A(0,0),B(-22,2),且l1⊥l2,连接AB,则|AC|2+|BC|2=|AB|2=12.方法一:由基本不等式,得|AC|+|BC|≤2|AC|2+|BC|22=26,当且仅当|AC|=|BC|=6时方法二:由|AC|2+|BC|2=12,令|AC|=23cosθ,|BC|=23sinθ,其中θ∈0,π2,则|AC|+|BC|=23(sinθ+cosθ)=26sinθ+π4≤26,12.-2,5-12,-5-12,-43[解析]设直线l1,l2的倾斜角分别为α,θ,则tanα=2,tanθ=k.当围成的等腰三角形底边在x轴上时,θ=π-α,k=tan(π-α)=-tanα=-2;当围成的等腰三角形底边在直线l2上时,α=2θθ∈0,π2或α=2θ-πθ∈π2,π,则tanα=tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2k1-k2=2,整理得k2+k-1=0,解得k=5-12或k=-5-113.B[解析]由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4,∴圆的圆心坐标为(2,0),半径为2.由题意知直线l1,l2平行,且与圆的四个交点能作为一个正方形的顶点,则圆心到两条直线的距离相等且为2,即圆心(2,0)到l1:y=2x+m的距离d=|4+m|1+4=2,∴m=±10-4,同理可得n=±10-4,又m≠n,∴|m-n|=21014.BC[解析]由xcosθ+ysinθ=1+2sinθ得xcosθ+(y-2)sinθ=1,则点(0,2)到M中每条直线的距离d=1cos2θ+sin2θ=1,即M为圆C:x2+(y-2)2=1的全体切线组成的集合,从而M中存在平行的直线,故A错误;因为点(0,2)不在M中的任一条直线上,所以存在定点P(0,2)满足题意,故B正确;对任意整数n(n≥3),存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确;如图,△ABC和△AB'C'都是M中的直线围成的正三角形,显然它们的面积不相等,则M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等,15.BCD[解析]圆C:(x-2)2+(y-3)2=4的圆心为C(2,3),半径为2.连接AC,因为A(1,3)且(1-2)2+(3-3)2=1<4,所以A(1,3)在圆C内,所以当AC⊥PQ时,|PQ|取得最小值,如图①所示,此时|AC|=1,|PQ|=2×22-12=23,所以A选项错误;易知B是PQ的中点,如图②,则PC·PQ=PC·2PB=2|PC|·|PB|·cos∠BPC=2|PB|2=|PQ|22,又易知23≤|PQ|≤4,所以12≤|PQ|2≤16,所以PC·PQ=|PQ|22∈[6,8],所以B选项正确;CP·CQ=|CP|·|CQ|·cos∠PCQ=|CP|·|CQ|·|CP|2+|CQ|2-|PQ|22|CP|·|CQ|=8-|PQ|22,因为12≤|PQ|2≤16,所以-8≤8-|PQ|2≤-4,所以CP·CQ=8-|PQ|22∈[-4,-2],所以CP·CQ的最大值为-2,所以C选项正确;设B(x,y),当B与A重合时,B(1,3),当B与A不重合时,x=1与y=3不同时成立,由|AB|2+|BC|2=|AC|2得(x-1)2+(y-3)2+(x-2)2+(y-3)2=(1-2) 16.3316[解析]设B'为B关于原点O的对称点,射线OT:y=kx(x≥0),则M(m,km),m>0,A(9,9k),设B(x,kx),x>m>0,则B'(-x,-kx).因为对于圆O上任意一点P都满足|PM||PA|=|BM||BA|,且点B'在圆O上,所以|BA||BM|=|B'A||B'M|,则9-xx-m=9+xm+x,可得-x2+(9-m)x+9m=x2+(9-m)x-9m,可得x2=9m,即x=3m,所以点B的坐标为(3m,3km),代入圆的方程x2+y2=9,可得m(k2+1)=1,所以mn=km2=k×1(k2+1)2=k(k2+1)2,要求mn的最大值,则k>0.设f(k)=k(k2+1)2,k>0,可得f'(k)=(k2+1)2

限时集训(十七)1.C[解析]因为双曲线y22a2-x2a2=1(a≠0)的焦点在y轴上,所以渐近线斜率k=±2|a|2.D[解析]∵抛物线方程为y2=4x,∴准线方程为x=-1,又点P在该抛物线上,且P的横坐标为4,∴|PF|=4-(-1)=5.故选D.3.B[解析]若方程x2m-1+y23-m=1表示椭圆,则满足m-1>0,3-m>0,m-1≠3-m,即m>1,m<3,m≠2,所以1<m<3且m≠2,此时1<m<3成立,即必要性成立;当m=2时,满足1<m<3,但此时方程x2m4.D[解析]根据椭圆E:x24+y23=1可得a2=4,b2=3,则c2=a2-b2=1,所以椭圆E的焦距是2c=2,故A中说法正确;椭圆E的离心率为ca=12,故B中说法正确;因为椭圆E:x24+y23=1的焦点坐标为(±1,0),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:x24+y23=1的一个焦点重合,所以p2=1,即p=2,所以抛物线C的准线方程是x==-1,故5.D[解析]将x=c代入双曲线C的方程可得c2a2-y2b2=1,可得y=±b2a,不妨取点Ac,b2a,Bc,-b2a,如图,设点P(x,y),其中x≤-a,且y2=b2x2a2-b2,则AP=x-c,y-b2a,BP=x-c,y+b2a.因为PA⊥PB,所以AP·BP=(x-c)2+y2-b4a2=x2-2cx+c2+b2a2x2-b2-b4a2=c2a2x2-2cx+a2-b4a2=cax-a6.B[解析]依题意知点F(0,1),设Mx1,x124,Nx2,x224,则MF=-x1,1-x124,FN=x2,x224-1,由MF=2FN得-x1=2x2,1-7.A[解析]根据a⊥b,可得(x+1)(x-1)+(5+y)(5-y)=0,化简得y24-x24=1,则动点M(x,y)的轨迹E的方程为y24-x24=1.易知直线l的斜率存在,设经过点N(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y24-x24=1,得(k2-1)x2-4k2x+4(k2-1)=0①,因为直线l与E有且只有一个公共点A,所以k2=1或Δ=16k4-16(k2-1)2=0(k2≠1),得k=±1或k=±22.因为圆x2+(y-22)2=1的圆心为(0,22),半径为1,所以当点A在x轴上方时|AP|较小,以下只讨论点A在x轴上方的情况.当k=±1时,代入①式,得x=0,代入双曲线方程可得A(0,±2),当点A的坐标为(0,2)时,点A在圆x2+(y-22)2=1内,可得|AP|的最小值为1-(22-2)=3-22;当k=±22时,代入①式,得x=-2,代入双曲线方程可得A(-2,±22),当点A的坐标为(-2,22)时,点A在圆x2+(y-22)2=1外,可得|AP|的最小值为8.AB[解析]方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥2,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足x22-y2=1,此时yx=12,故C错误;对于选项D,取x=32,y=-24,满足x22-y2=1,此时|x-2y|=方法二:由题知点(x,y)为双曲线x22-y2=1上的点,根据双曲线上点的横坐标的取值范围可知A正确;由题意知圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线x22-y2=1有交点,当圆x2+y2=r2(r>0)过双曲线的左、右顶点时,r最小,此时r=2,所以x2+y2≥2,故B正确;双曲线的渐近线斜率为±22,则双曲线上的点与原点的连线所在直线的斜率k满足-22<k<22,即yx<22,故C错误;对于D,取x=32,y=-24,满足x22-y2=9.BD[解析]由y2+2y=x3-4x2+5x-3,得(y+1)2=x3-4x2+5x-2=(x-1)2(x-2).对于A,因为(x-2-1)2(x-2-2)≠(-x-1)2(-x-2),所以椭圆曲线W不关于直线x=-1对称,故A不正确.对于B,设点(x0,y0)在椭圆曲线W上,则y02+2y0=x03-4x02+5x0-3,因为(-2-y0)2+2(-2-y0)-(x03-4x02+5x0-3)=4+y02+4y0-4-2y0-y02-2y0=0,所以(-2-y0)2+2(-2-y0)=x03-4x02+5x0-3,则点(x0,-2-y0)在椭圆曲线W上,所以椭圆曲线W关于直线y=-1对称,故B正确.对于C,D,由(y+1)2≥0,得(x-1)2(x-2)10.-1,178[解析]4(x-a)2+y2=4⇒(x-a)2+y24=1⇒x∈[a-1,a+1].由4(x-a)2+y2=4,y2=2x,消去y得2x2+(1-4a)x+2a2-2=0,则由题意可知Δ=-8a+17≥0,解得a≤178.椭圆(x-a)2+y24=1可由椭圆x2+y2411.433[解析]由抛物线方程知F(1,0),则直线l:y=3(x-1),即3x-y-3=0.由y=3(x-1),y2=4x得3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103,∴|AB|=x1+x2+2=163,又坐标原点O到直线l的距离d=33+1=32,12.3[解析]如图,连接BD,PB,BH,因为四边形ABCD为菱形,所以AC为线段BD的垂直平分线,则PB=PD,所以PH+PB=PH+PD=DH=4>2=BH,故点P的轨迹是以B,H为焦点的椭圆,可得长轴长为2a=4,焦距为2c=2,即a=2,c=1,所以PB的最大值为a+c=3.13.B[解析]4x2-y23=1即为x214-y23=1,则a=12,b=3,∴c=a2+b2=132.∵|F1M|-|F2M|=2a=1,且|F1M|2+|F2M|2=|F1F2|2=13,∴|F1M|=3,|F2M|=2.将△MF1F2沿MN折成直二面角F1-MN-F2后,过F1作F1H⊥MN,垂足为H,连接HF2,F1F2,易知F1H⊥HF2,设∠HMF1=α,0<α<π2,在Rt△MHF1中,|HF1|=3sinα,|MH|=3cosα.在△MHF2中,∠HMF2=π2-α,|HF2|2=|MF2|2+|MH|2-2|MF2|·|MH|cos∠HMF2,∴|HF2|2=4+9cos2α-12cosαcosπ2-α=4+9cos2α-6sin2α,∴|F1F2|2=|HF2|2+|HF1|2=4+9cos2α-6sin2α+9sin2α=13-6sin2α≥7,当且仅当sin2α=1,即α=π4时等号成立,14.ABD[解析]由题知F(1,0),设BC的中点为M(xM,yM),连接AM,则AM=(xM-x0,yM-y0),AF=(1-x0,-y0),因为F为△ABC的重心,所以AF=23AM,故1-x0=23(xM-x0),-y0=23(yM-y0),即xM=32-x02,yM=-y02,又因为A在抛物线上,所以y02=4x0,所以xM=32-y028=12-y028,即M12-y028,-y02,故A正确;设B(x1,y1),C(x2,y2),因为F为△ABC的重心,所以x0+x1+x2=3,y0+y1+y2=0,当直线BC的斜率存在时,kBC=y1-y2x1-x2=4(y1-y2)4(x1-x2)=4(y1-y2)y12-y22=4y1+y2=-4y0,则直线BC:y+y02=-4y0x-12-y028(y0≠0)⇒y0y+y022=-4x+12-y0215.ACD[解析]对于A,当直线MA,MB中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,M(±2,±1).当直线MA,MB的斜率均存在时,设M(x0,y0),过点M的椭圆C的切线方程为y=k(x-x0)+y0,由y=k(x-x0)+y0,x22+y2=1得(1+2k2)x2-4k(kx0-y0)x+2(kx0-y0)2-2=0,由Δ=0整理可得(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0,∴kMA·kMB=y02-1x02-2,又MA⊥MB,∴kMA·kMB=-1,即y02-1x02-2=-1,∴x02+y02=3,∴点M的轨迹方程为x2+y2=3(x≠±2),又(±2,±1)满足x2+y2=3,∴椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=3,A正确.对于B,连接AF1,∵A为椭圆C上的点,∴|AF1|+|AF2|=2a=22,∴d-|AF2|=d-(22-|AF1|)=d+|AF1|-22,∵d+|AF1|的最小值为点F1到直线l的距离,F1(-1,0),∴(d+|AF1|)min=41+2=433,∴(d-|AF2|)min=433-22,B错误.对于C,∵矩形四条边均与C相切,∴该矩形为蒙日圆的内接矩形,设矩形的长为m,宽为n,∵蒙日圆的半径r=3,∴m2+n2=(23)2,∴mn≤m2+n22=6(当且仅当m=n=6时取等号),∴此矩形面积的最大值为6,C正确.对于D,当A(x1,y1)位于x轴上方时,y1>0,由x22+y2=1(y>0)得y=1-x22,∴y'=-x21-x22,∴椭圆C在点A处的切线斜率k=-x121-x122=-x12y1,∴椭圆C在点A处的切线方程为y-y1=-x12y1(x-x1),即x1x+2y1y=x12+2y12,即x1x+2y1y=2,∴椭圆C在点A处的切线方程为x1x2+y1y=1.同理可得,当A(x1,y1)位于x轴下方时,y1<0,椭圆C在点A处的切线方程为x1x2+y1y=1.当点A(x1,y1)在x轴上时,A(±2,0),此时椭圆C在点A处的切线方程为x=±2,满足x1x2+y1y=1.故椭圆C在点A(x1,y1)处的切线方程为x1x2+y1y=1,同理可知,椭圆C在点B(x2,y2)处的切线方程为x2x2+y2y=1.由对A的分析知M(x0,y0),则x1x02+y1y0=1,x2x02+y2y0=1,可知点A,B的坐标满足方程x0x2+y0y=1,即直线AB的方程为x0x2+y0y=1.当y0=0时,M(±3,0),26-x02-2(6-x02)2=2-2(6-x02)2+16-x02,令16-x02=t,∵y0≠0,∴x02∈[0,3),∴6-x02∈(3,6],则t∈16,13,∵曲线y=-2t2+t是开口向下,对称轴方程为t=14的抛物线,∴当t∈16,13时,ymax=-2×142+14=18,16.14[解析]因为点B关于l的对称点为M,所以|AM|=|AB|.因为|AF1|+|AB|+|BF1|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,且|AB|=a,所以|AF1|+|BF1|=3a,所以|BF1||MF1|=|BF1||AB|+|AF1|=|BF1|a+3a-|BF1|=5

限时集训(十八)1.解:(1)由椭圆的离心率为22,可设a=2t,c=t(t>0),则b=t.以椭圆的四个顶点为顶点的四边形为菱形,其面积S=12·2a·2b=12·22t·2t=22t2=22,所以t=1,即a=2,b=c=1,所以椭圆的标准方程为x22(2)证明:由y=kx+m,x22+y2=1,消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2.因为点O到直线y=kx+m的距离d=|m|1+k2,|AB|=1+k2|x1-x2|,所以S△AOB=12|AB|·d=12|m||x1-x2|=12|m|(x1+x2)2-4x1x2=12|m|·-4km2.解:(1)由题可知Fp2,0,∴当l⊥x轴时,xA=xB=p2,根据抛物线的定义可得|AB|=xA+p2+xB+p2=2p=4,解得p=2,∴抛物线E(2)设A(t12,2t1),B(t22,2t2),M(t32,2t3),N(t42,2t4),∴直线AB的方程为x-t12=t12-t222t1-2t2(y-2t1),即2x-(t1+t2)y+2t1t2=0,∵直线AB过点F(1,0),∴t1t2=-1.直线AM的方程为x-t12=t12-t322t1-2t3(y-2t1),即2x-(t1+t3)y+2t1t3=0,∵直线AM过点C(2,0),∴t1t3=-2.同理可得t2t4=-2,∴t1t2t3t4=4,∴t3t4=-4.∵直线MN的方程为2x-(t33.解:(1)由题意可得9a2-7b2=1,a2+b2=4,所以a4-20a2+36=0,解得a2=2或a2=18.当a2=2时,b2=2;当a2=18时,b2=-14,舍去.所以双曲线C的方程为x2(2)设l:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程与双曲线C的方程联立,消去x得(t2-1)y2+4ty+2=0,则t2-1≠0且Δ>0,所以y1+y2=-4tt2-1,y1·y2=2t2-1①.由直线l与双曲线右支交于两点,且直线l的斜率大于0,可得t>0,y1y2<0,解得0<t<1.因为PF平分∠APB,所以由角平分线定理,得|PA||PB|=|AF||BF|,即(x1-3)2+(y14.解:(1)依题意,∠BAD=90°,c=2,由|AF|=|BF|,得a+c=b2a,又b2=c2-a2,所以a2+2a=22-a2,解得a=1或a=-2(舍去),所以b2=c2-a2=4-1=3,故双曲线C的方程为x2-y2(2)显然直线MN不可能与x轴平行,故可设直线MN的方程为x=my+n(n>0),由x=my+n,3x2-y2=3,消去x整理得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0,则3m2-1≠0,Δ>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-6mn3m2-1,y1y2=3(n2-1)3m2-1,由k1k2=-2,得y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,所以3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,整理得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得d=6m2+1.又M,N都在双曲线的右支上,所以y1y2<0,5.解:(1)设P(x,y),则以PF为直径的圆的圆心坐标为x+12,y2,根据圆与y轴相切,可得x+12=12|PF|=12(x-1)2+(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1.设直线l的倾斜角为θ,则|AM|=|AF||tanθ|,|BN|=|BF||tanθ|,所以|AM|+|BN|=|AF||tanθ|+|BF||tanθ|=|AB||tanθ|=|AB||k|.易知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=2(k2+2)k2+2=4k2+4k2.由题意可知四边形MANB为梯形,其面积S=S△AMB+S△BAN=12|AB|(|AM|+|BN|)=|AB|2|k|2=8(k2+1)2|k|3=8(k4+2k2+1)|k|3,设t=|k|>0,S(t)=8(t4+2t2+1)t3=8t+2t+1t3,则S'(t)=81-6.解:(1)若选①2|OH|2+4=|HF1|2+|HF2|2,过点H作HR⊥x轴于点R,则|HF1|2=|RF1|2+|HR|2,|HF2|2=|RF2|2+|HR|2,|OH|2=|OR|2+|HR|2,所以|HF1|2+|HF2|2=|RF1|2+|RF2|2+2|HR|2,又2|OH|2+4=|HF1|2+|HF2|2,所以|RF1|2+|RF2|2+2|HR|2=2|OH|2+4=2|OR|2+2|HR|2+4,所以|RF1|2+|RF2|2=2|OR|2+4.设双曲线的半焦距为c,则|RF1|=|OR|+c,|RF2|=c-|OR|,故|RF1|2+|RF2|2=2|OR|2+2c2=2|OR|2+4,所以2c2=4,可得c=2.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=2,右焦点F2(c,0)到渐近线y=故|HF2|=b,又|OF2|=c,所以由勾股定理得|OH|=|OF2|所以S=2S△OHF2=|OH|·|HF2|=ab≤a2+b22=1,当且仅当a=b=1时取等号,此时S取得最大值,故当S最大时若选②以O为圆心,F1F2为直径的圆截直线x+y+2=0所得的弦长为2,圆心O到直线x+y+2=0的距离d=22=1.设双曲线的半焦距为c,由|F1F2|22=12+d2=2,得|F1F2|=2c=22,故c=2.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=2,右焦点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离为bca1+b2a2=b,故|HF2|=b,又|OF2|=c,所以由勾股定理得|OH|=|OF2|2-|HF2|2=c2-b2(2)易知A(-1,0),B(1,0),设C(x1,y1),D(x2,y2),则kAC=y1x1+1,kBC=y1x1-1又x12-y12=1,所以kAC·kBC=1.因为kAC=4kBD,所以4kBD·kBC=1,所以kBD·k设直线CD的方程为x=my+t,由x=my+t,x2-y2=1,消去x整理得(m2-1)y2+2mty+t2-1=0,则m2≠1,Δ>0,y1+y2=-2mtm2-1,y1y2所以(m2-4)y1y2+m(t-1)(y1+y2)+(t-1)2=0,所以(m2-4)(t2-1)m2-1因为t≠1,所以(m2-4)(t+1)-2m2t+(m2-1)(t-1)=0,即m2t+m2-4t-4-2m2t+m2t-m2-t+1=0,所以5t=-3,解得t=-35,所以直线CD的方程为x=my-3故S1=S△ADC=12|CD|·-1+35m2+1=15|CD|m2+1,S2=S

限时集训(十九)1.解:(1)由|B1B2|=2,得2b=2,即b=1,由四边形A1B1A2B2的周长为46,得4a2+12=46,即所以椭圆E的方程为x25+y2=(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则P-mk,0,M'(-x1,由方程组x25+y2=1,y=kx+m,消去y得(5k2+1)x2+10kmx+5m2-5=0,则Δ=(10km)2-4(5k2+1)(5m2-5)>0,得5k2>m2-1,x直线M'N的方程为y-y2=y2-y1令x=0,得y=y2-y1x1+x2又因为x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=-10k5k2+1,所以Q0,1m,△OPQ的面积为12×-mk1m2.解:(1)因为抛物线C1,C2都过点A(4,8),所以8p=64,16=16q,解得p=8,q=1,即C1:y2=16x,C2:x2=2y.设直线l与抛物线C2相切于点Qx0,x022,令f(x)=x22,可得f'(x)=x,则直线l的斜率k=f'(x0)=x0,所以直线l的方程为y=x0(x-x0)+由y=x0x-x022,y2=16x,整理得x0y2-16y-8x02=0,因为l为抛物线C1,C2的公切线,所以Δ=256+32x03=0,(2)设M(t12,4t1),N(2t2,2t22),又A(4,8),所以MA+NA=(8-t12-2t2,16-4t1-2t所以8-t12-2t2=9,16-4t1-2t22=18,可得t12+2t2+1=0,t22+2t当t1=t2时,由t12+2t2+1=0得t1=t2=-1,此时M(1,-4),N(-2,2),MA=(3,12),NA则|MA|=153,|NA|=62,且MA·NA=90,可得cos<MA,NA>=MA·NA|MA||NA|=90153×62=15306S△AMN=12|MA|·|NA|sin<MA,NA>=12×153×62×9306当t1≠t2时,t1+t2=2,此时方程t12-2t1+5=0无解(舍去).综上可得,△AMN的面积为3.解:(1)由题意得2a=22,即a=2.∵以F1F2为直径的圆和C恰好有两个交点,∴b=c,又∵b2+c2=a2=2,∴b=c=1,∴椭圆C的方程为x22+y2=(2)由题意得,l1,l2的斜率存在且不为零,设椭圆C的过点P(x0,y0)且斜率存在的切线l的方程为y-y0=k(x-x0)(k≠0),由y-y0=k(x-x0),x22+y2=1,消去y并整理得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,∵l与C相切,∴Δ=16k2(y0-kx0)2-8(1+2k2)[(y0-kx0)2-1]=0,化简并整理得(y0-kx0)2=2k2+1,整理成关于k的一元二次方程得(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0,由题易知x0≠±2.设l1,l2的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2∴k1k2=y02-1x02-2=m,即y02=mx02+1-2m,则x02+y02=(1+m)x02+1-2m,∴|PO|=x02+y02=(1+m)x02+1-2m,易知当x0=0时4.解:(1)由题意可得2c=4故椭圆C的标准方程为x28+y2(2)由(1)可知F2(2,0).当直线l不与x轴重合时,设l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则l':y=-mx,由x=my+2,x28+y24=1,消去x得则Δ=(4m)2+16(m2+2)=32(m2+1)>0,y1+y2=-4mm2+2,y1y故|AB|=1+m2-由y=-mx,x28+设P(x0,y0),则x02=82m2+1,故|PQ|=2|OP|=2x0可得|AB||PQ|令t=1m2+2∈0,12,则故|AB||PQ|∵y=3x2-5x+2的图象的对称轴为直线x=56,∴y=3x2-5x+2在0,又t∈0,12,∴3t2-5t+2∈14,2,故|AB||PQ|=3t2-5t+2∈12,2.当直线综上所述,|AB||(3)当直线l不与x轴重合时,设l:x=my+2(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则M(x1,-y1),由(2)可得y1+y2=-4mm2+2≠0,y1y直线BM的斜率kBM=y1+y2x2-x1,则直线BM的方程为y+y1=y1又x1y2+x2y1y1+y2=(my1+2)y2+(m当直线l与x轴重合时,直线BM即为x轴,也过定点(4,0).综上所述,直线BM过定点(4,0).5.解:(1)由已知可得Q(-3,-1),F(c,0).则FP=(3-c,1)