06 微专题5　等差数列、等比数列 【正文】教师

微专题5等差数列、等比数列[备选理由]例1考查等差数列的通项与求和;例2考查等比数列的判定与求和;例3考查数列的递推关系和等比数列的证明与判定;例4考查数列模型与不等式的综合问题.1[配例1使用][2023·江苏南通模拟]已知各项均为正整数的递增数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3,Sm=2023,则当m取最大值时,am的值为 (D)A.10 B.61C.64 D.73[解析]因为{an}为递增数列且各项均为正整数,所以an-an-1≥1(n≥2),当an-an-1=1(n≥2)时,数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列,则an=3+n-1=n+2,Sn=3n+n(n-1)2×1=n(n+5)2,可得S60=1950<2023,S61=2013<2023,S62=2077>2023.若m的最大值为61,则可取a60=62,a61=2023-1950=73>62,符合题意;若m的最大值为62,又a61的最小值为63,则此时a62=2023-2013=10<63,不符合题意.综上所述,当2[配例2使用][2023·广东六校联考]记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn,2n的等差中项为an.(1)求证{an+2}为等比数列.(2)数列1an+3的前n项和为Tn,是否存在整数k满足Tn∈(k,k+1)?若存在,求出k的值;若不存在解:(1)证明:因为Sn,2n的等差中项为an,所以Sn+2n=2an,当n=1时,S1+2=2a1,又S1=a1,所以a1=2.由Sn+2n=2an,得Sn+1+2n+2=2an+1,所以an+1+2=2an+1-2an,即an+1=2an+2,即an+1+2=2(an+2),所以an+1所以{an+2}是等比数列,其首项为a1+2=4,公比为2.(2)由(1)知an+2=4×2n-1,可得an=2n+1-2,所以1an+3因为0<12n+1+1<12n+1,所以Tn=1a又Tn=1a1+3+1a2+3+…+1an+3<122+所以Tn∈(0,1),所以存在k=0满足题意.3[配例3使用][2023·山东日照三模]已知数列{an}满足a1=λ>0,an·an+1=27-2n.(1)当λ=132时,求数列{a2n}中的第10项(2)是否存在正数λ,使得数列{an}是等比数列?若存在,求出λ的值并证明;若不存在,请说明理由.解:(1)由an·an+1=27-2n,得an·an-1=29-2n(n≥2),所以an+1an-1所以数列{a2n-1}和数列{a2n}均为公比为14的等比数列,又a1=132,a2·a1=25,所以a2=210,所以a20=210×149=(2)假设存在正数λ,使得数列{an}是等比数列,由a2·a1=25,得a2=32λ,由a2·a3=8,得a3=λ因为{an}是等比数列,所以a1·a3=a22,可得λ2=64,即λ=下面证明当λ=8时,数列{an}是等比数列.当λ=8时,a1=8,a2=4.由(1)知数列{a2n-1}和{a2n}均为公比为14的等比数列所以a2n-1=8×14n-1,a2n=所以当n为奇数时,an=24-n,当n为偶数时,an=24-n,所以对一切正整数n,都有an=24-n,所以anan-1=12(n≥2),故数列{a所以存在正数λ=8,使得数列{an}是公比为12的等比数列4[配例4使用]在当前市场经济条件下,私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值之间存在着相当大的差距.对顾客而言,总是希望通过还价来减少商品所标价格a与其实际价值的差距.设顾客第n次的还价为bn,商家第n次的讨价为cn.有一种“对半讨价还价”法如下:顾客第1次的还价为标价a的一半,即第1次的还价b1=a2,商家第1次的讨价为b1与标价a的平均值,即c1=a+b12;…;顾客第n(n≥2)次的还价为上一次商家的讨价cn-1与顾客的还价bn-1的平均值,即bn=cn-1+bn-12,商家第n(n≥2)次的讨价为上一次商家的讨价cn-1与顾客这一次的还价bn的平均值,即cn=cn-1+bn2.现有一件衣服标价1200元,若经过n次的“对半讨价还价”A.4 B.5C.6 D.7[解析]依题意可知cn>bn,当n≥2时,cn-bn=cn-1+bn2-cn-1+bn-12=bn-