强基计划专题练09 计数原理与概率统计（解析版）

专题训练09计数原理与概率统计一、单选题1．小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【答案】A【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案.【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有种可能；若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有种可能；小计：1+12+12=25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有种可能；若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有种可能；若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+种可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：；（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有种可能；若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能.小计；诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有种可能，故此小类有3种可能；若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；小计；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为=种.故选：A【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标准，要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不重不漏.2．已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（

）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值【答案】B【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得，，所以C正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，当时，故，是，，，…，的中间项，故最大，所以A，D正确；令可知：；当时，，，，，所以，所以B不正确；令可知，，即；又因为.故，C正确.故选：B.3．要在每个班级抽取一名学生参加晚读小测．具体的抽取方法是：计算两名数学课代表的座位号之和与两名英语课代表座位号之和的差的绝对值，则最后的结果就是被抽中学生的座号．（每个班的数学课代表和英语课代表至少各一名，至多各两名，若只有一名或某名同学同时担任数学课代表和英语课代表，则在上述计算中重复代入这名同学的座号；若计算结果不是任何一名学生的座号，则在这个班不抽取，假设每个班的数学课代表和英语课代表的座号是等可能分布的）．已知某班级共有50名学生，则某名学生被抽中的概率的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】略二、多选题4．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为【答案】ACD【分析】根据题意找出点Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项正误.【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】有一些复杂的概率模型可通过找寻与之间的递推关系，从而求出.三、填空题5．若，则下列结论中正确的有_____．①若为整数，则；②是正整数；③是的小数部分；④设，若、为整数，则.【答案】①③④【分析】求出可判断①的正误；取可判断②的正误；利用二项式定理可判断③的正误；分为偶数和为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断④的正误.【详解】①因为，所以，则，①正确；②，因为不是正整数，故②错误；③，两部分都是整数，所以，且，所以是的小数部分，③正确；④，当为奇数时，，，所以，所以，故，当为偶数时，，，同理，所以，所以，故④正确；故答案为:①③④．【点睛】关键点点睛：③中将转化为二项展开式的形式展开求解，④的讨论关键在于当为奇数时，，，为偶数时，，.6．已知a，b，c，d，e为5个实数，若a，b，c，d、a，b，c，e、a，b，d，e的方差均为1，则b，c，d，e方差的最大值是________.【答案】【分析】先证明一个引理：当“是常数”时，，从而问题可转化为已知的方差均为，求的方差的最大值，分类讨论后可求方差的最大值.【详解】解：先证明一个引理：当“是常数”时，.证明：因为.设，由引理可得原题即：已知的方差均为，求的方差的最大值.由题设可得：，方程组里的前两个等式相减可得，故，同理.若互异，则，相减得，前后矛盾！里至少有两个相等.（1）若，则问题转化为由求的最大值.而即，故，故.（2）若，则，即.将代入三个方差等式化简均得：将代入的表达式得：当时，.设.将之代入得：，可得，故.（3）若“”（由对称性知，“”与“”相同），则当时，.故设.将之代入得：,可得，故.综上，所求方差最大值是.故答案为：.【点睛】思路点睛：对于多变量的方差问题的讨论，应根据方差的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，注意判别式法在范围计算中的应用.四、解答题7．2021年9月15日至17日，世界新能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：购买的新能源汽车价格（万元）补贴（万元）571015(1)本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人，统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格（这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间）利用样本估计总体，试估计本月A市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系，请建立与的回归方程（系数精确到）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位小数）售价x（万元）6670738190单次最大续航里程200230260325405(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有2个红球，1个黄球，1个蓝球，客户从箱子里随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.【答案】(1)本月A市的补贴预算亿元(2)周小姐至少要准备万元.(3)周小姐取球次数的数学期望为6【分析】（1）根据题意整理数据，结合平均数运算求解；（2）根据题意先求线性回归方程，再根据回归方程运算求解；（3）根据题意分析可得，，利用构造法结合等边数列求得，再结合导数和极限求期望.【详解】（1）由题意可得：购买的新能源汽车价格（万元）频率补贴（万元）571015本月A市的补贴预算万元，故本月A市的补贴预算亿元.（2）由题意可得：，，则，，故与的回归方程，令，即，解得，故周小姐至少要准备万元.（3）设数列的前项和为，周小姐取球次数为，由题意可得：每次抽到红球的概率为，抽到非红球的概率为，可得，对到第次还未结束游戏的概率为，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，则，若第次还未结束游戏，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，即第次还未结束游戏的概率为，则有：当第次为非红球时，则第次为非红球或红球均可，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，当第次为红球时（游戏未结束），则第次为非红球，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，综上所述：，可得：，且，故数列是以首项，公比为的等比数列，则，可得，且，故数列是以首项，公比为的等比数列，则，即，则，检验当时均符合上式，故，则，设，则，令，可得，令，可得，∵，且当时，则，∴，故周小姐取球次数的数学期望为6.【点睛】关键点点睛：（1）对于的求和，可以借助于导数运算处理；（2）常见极限：当时，则.8．现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．【答案】(1)(2)使用B型号炮弹，理由见解析【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于的不等式，解之即可；（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.【详解】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），则，即，则，即，则，又，故，所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），，记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，则，，因为，所以，则，令，则，令，即，则，得，又，所以恒成立，所以在上单调递增，又，则，故，即，所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.9．袋中有个白球和个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为.(1)求的数学期望；(2)设，求，.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，袋中白球的个数可能为或，得概率为或，求期望即可；（2）当时，求出，再分别计算第次操作后袋中有个白球和第次操作后袋中有个白球，求解计算即可.【详解】（1）当时，袋中白球的个数可能为（即取出的是白球），概率为；也可能为（即取出的是黑球），概率为.故（2）当时，当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种：①第次操作后袋中有个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，即个（此时黑球有个），第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为；②第次操作后袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于球的总数保持不变，为个，故此时黑球的个数为，这种情况发生的概率为，故，综上所述，10．设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．(1)当n＝4时，求、的值；(2)当n＝10时，求的值；(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．【答案】(1)，；(2)4620(3)与n无关，为定值，证明过程见解析.【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出、的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出，再求出与的和，进而求出及比值.【详解】（1）当时，，则3元子集分别为，则，.（2）当n＝10时，4元子集一共有个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有次，故（3）与n无关，为定值，证明过程如下：对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，集合的所有含K个元素的子集个数为，这个子集中，最大元素为n的有个，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，则①，其中，所以，这个子集中，最小元素为1的有个，最小元素为2的有个，最小元素为3的有个，……，最小元素为（m+1）的有个，……，最小元素为的有个，则②，则①+②得：，所以，故，证毕.【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.11．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由已知得，，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.（2）个芯片中恰有个不合格的概率.因此，令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100根据列联表得.因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.12．一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为.（1）求，；（2）设经过步到达点的概率为，求的值；（3）求.【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时，【分析】（1）即经过一步从点到达点的概率，即经过两步从点到在点的概率，即可求出，的值；（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，可得，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，可得；（3）当为偶数时，得到，进而得到，再构造等比数列即可求解【详解】解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以，因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，所以，（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为，所以，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以，综上，当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为，，从点出发经过步到点分为两步，①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，综上，当为奇数时，，当为偶数时，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查数列递推式的应用，解题的关键是当为偶数时，分两种情况求出概率，即从点或点出发经过两步到点有概率，从而可得到递推式，结合可得，构造等比数列可得通项公式，考查计算能力，属于难题13．现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.【详解】（1）平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，所以，所以该组试验只需第一轮注射的概率为．（2）由（1）得，，所以，设，则，又，所以，因为，所以，又，因为，所以，所以．【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得.14．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).（2）根据大量的测试数据，可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).参考数据：若随机变量服从正态分布，则【答案】（1）(千米)；（2）；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望万元.【解析】（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．（2）服从正态分布，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为，②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，从而，进而能证明当时，数列是公比为的等比数列，由此能求出结果．【详解】（1）（千米）（2）因为服从正态分布所以（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为即移动到第二格有两类情况.车模移到第()格的情况是下列两种，而且也只有两种.①车模先到第格，又掷出反面，其概率为②车模先到第格，又掷出正面，其概率为所以，，当时，数列是公比为的等比数列.，经验证也满足.是公比为的等比数列.以上各式相加，得即()，经检验时也符合.，获得优惠券的概率获得车模的概率设参与游戏的6人获得优惠券的有人，由题可知的期望设优惠卷总金额为万元，优惠券总金额的期望万元【点睛】关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1.15．已知集合，集合，…（，）都是集合A的子集．如图，作m行列数表，其中第k行第l列的数为．12………记，；，；对于m，n和，若存在集合，…满足下列条件：①；②；③对任意的，的元素个数均为t．则称有序数组是相容的．（1）求出所有相容的有序数组；（2）若是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表．（3）求出所有相容的有序数组【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在有序数组.【分析】(1)由题知每个集合中的元素个数为n,时，集合与集合的交集为空集，故可得解.(2)由题知数表是4行6列的表，每个集合的元素个数为3，即每行有三个数为1，故数表中所有数的和为12，故每列的和为2，即可得解.(3)由题知数表是m行2n列的表，每个集合的元素个数为n，即每行有n个数为1，故数表中所有数的和为mn，故每列的和为，假设数表的第一行的前n列都为数字1，因为第一个集合与每一个集合交集的个数为2，故从n个元素中选出两个元素有多少种选择，下面就有多少行;表左半部分按行算出数的和等于按列算出的和，由此得解.【详解】（1），则，中每个集合中都有个元素.，当时，，不妨设，，则，且，因为A有两个子集，所以，.（2）当t=1时的数表123456A1111000A2010110A3001011A4100101（3）由题意不妨设,当时，中有两个元素，故①，又，所以=，故②由①②得，无整数解，故不存在有序数组.【点睛】本题是定义题，关键是根据题中条件找到每行每列的信息，并找到m和n的关系.16．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；（2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.【答案】(1)见解析；(2)分得奖金的；分得奖金的；分得奖金的【解析】(1)由Shapley值的评判标准即可解释Shapley值的合理性；(2)根据员工边界贡献的值计算出员工的Shapley，即可合理地给出奖金分配方案.【详解】解：(1)由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.(2)由题意知：加入的顺序有种，①按的顺序：，，；②按的顺序：，，；③按的顺序：，，；④按的顺序：，，；⑤按的顺序：，，；⑥按的顺序：，，；的Shapley值为：，的Shapley值为：,的Shapley值为：；故分得奖金的；故分得奖金的；故分得奖金的.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，理清思路，对于题目较长的题要学会提炼关键信息.17．新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的个黑球和个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第个红球则停止抽球，且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为，求的数学期望.(精确到小数点后位)参考数据：，，，.【答案】（1）；（2）8.6.【解析】（1）根据题意可得若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球则对应地有：，当取时，相加即可得解；（2）根据题意的可能取值依次是，，…，，，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球则对应地有：则第次取球时个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：利用等比数列求和公式即可得：(2)由题意可知，的可能取值依次是，，…，，特别地，当时，对应的由参考数据可得：对应的数学期望为：由参考数据可得：【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为进行求概率.18．集合且，若，且，，令.（1）若，满足，请写出一个符合题意的，并求出；（2）若集合，任取中2个不同的元素，求集合中元素个数的最大值；（3）若存在，使，集合中任两个元素不同，求出此时.【答案】（1），(任三个1换成，都正确)，；（2）；（3）当时，；当时，.【解析】（1）由，可得，即，故和有3对符号不同，5对符号相同，即可得解；（2）由题意可得：当和符号相同时，有，当和符号相异时，有，若要任取中2个不同的元素，所以，和8组数据中，至少有6组符号相同，经讨论即可得解；（3）根据题意，若存在，使，则元素和，和，和符号不相同的组数相同，经讨论即可得解.【详解】（1）由，可得，即，当和符号相同时，有，当和符号相异时，有，故和有3对符号不同，5对符号相同，故可取为，；（2）由题意可得：当和符号相同时，有，当和符号相异时，有，若要任取中2个不同的元素所以，和8组数字中，至少有6组符号相同，且不能有8组数字符号全相同，若8组数字符号全相同此时为同一元素，不符题意，对于元素，和有7组数字符号相同有一组数字符号相异的有8种情况，如若为，有：8个并且这8个元素互相之间有6组数字符号相同，两组数字符号相异，符合条件，故此时共有9个元素，故集合中元素个数的最大值为9；（3）根据题意，若存在，使，则各元素中数字和，和，和符号不相同的组数相同，当两两数字符号不相同组数为0时，为同一元素，不符题意，当两两数字符号不相同组数为1，3，5，6，7，8，集合有2个元素，故不存，当两两数字符号不相同组数为4，即时，集合有4个元素，故存在，此时，当两两数字符号不相同组数为2时，即集合有8个元素，故存在，此时.综上可得：当时，；当时，.【点睛】本题考查了集合相关的新定义，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，同时考查了较高的理解能力以及较高的计算能力和数字组合能力，过程较复杂，属于难题.19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.【详解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，所以，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然成立；②假设对任意的时，，下面证明时，；由题意，得，∴，∴，，∴，所以.∴或（负值舍去）.∴成立.∴由①②可知，对任意的正整数n，，所以，所以为等比数列.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.设（），，∴当时，，则在上单调递减；又，，所以，，，所以，，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.20．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，（ⅰ）证明是等差数列；（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？【答案】（1），（或），的概率分别是，，；（2），，；（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；；；越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.【分析】（1）根据上代父本、母本的遗传性状都是可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率.（2）根据独立事件的概率计算方法可求，，.（3）根据，，的定义可得三者与的关系，结合给定的，可得，两边取倒数后利用等差数列的定义可判断是等差数列由此求出的通项，从而可求，，的通项公式.【详解】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.（2）由题可得，，，；（3）由（2）知，，，，∴，则，∴是公差为1的等差数列：，其中，∴，，于是，，，，对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.【点睛】本题考查古典概型、独立性事件在遗传学中的应用，其中在概率计算的过程中还涉及到递推数列通项的求法、等差数列的证明等，本题的关键是根据所给材料弄清各概率之间的数列关系.21．某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（1）求随机变量的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（ⅰ）求随机变量的分布列；（ⅱ）证明.【答案】（1）分布列见解析；（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题知，两道题都答对的概率为，至少有一道不能答对的概率为，故有，，即可求出概率分布列；（2）（i）根据题意先考虑时，第k人必答对第二题，故有故，再考虑当时，故，于是得到其概率分布列；（ii）由（i）求得期望，在考虑的单调性，即可证明成立，再用错位相减法和不等式放缩得即可证明.【详解】（1），，因此的分布列为1234P（2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故.当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故.的分布列为：123…P…（ⅱ）.法1：，故，求得，故，∴，①，②②①，.故.法2：令，则，因此：.又，故.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，考查数学运算能力与分析解决问题能力，是难题.22．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.（i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，，，，，，，，【答案】（1）（且）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.【分析】（1）根据检