2023年江西上饶高三二模理科数学试卷【含答案】

2023年江西上饶高三二模理科数学试卷一、单选题1、已知集合，，则（

）A. B. C. D.2、复数在复平面内对应的点所在象限为（

）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、已知等差数列的前n项和为，，则（

）A.92 B.94 C.96 D.984、《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为1丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（

）A.立方尺B.立方尺C.立方尺D.立方尺5、中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（

）①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆．A.1 B.2 C.3 D.46、已知平面向量，满足，，，记向量，的夹角为，则（

）．A. B. C. D.7、，角平分线交于点，，，，（

）A. B. C. D.8、已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A. B. C. D.9、已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（

）A.11 B.12 C.13 D.1410、已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（

）A.B.C.D.11、平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（

）A.的取值范围是B.的取值范围是C.P点横坐标的取值范围是D.面积的最大值为12、若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（

）A.B.C.D.二、填空题13、已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为

．14、过三点的圆交x轴于两点，则

．15、已知上任取点作圆的两条切线，切点分别为、，过、的直线与轴、轴分别交于、两点，则面积的最小值为

．16、在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，满足MA等于M到边CD的距离.当三棱锥P－ABM的体积最小时，三棱锥P－ABM的外接球的表面积为

．三、解答题17、已知数列为非零数列，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．18、阳春三月，春暖花开，婺源县䇸岭景区迎来了旅游高峰，某特产超市为了解游客购买特产的情况，对2023年3月期间的100位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关，为吸引游客，该超市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元．方案二：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．若某游客计划购买600元的特产，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由.附：参考公式和数据：，．附表：如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为DC中点，以AE为折痕把折起，使得点D到达点P的位置，且二面角P－AE－C的余弦值为．证明：；求直线PE与平面PBC所成的角．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．求椭圆C的方程；过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．已知函数，．若是R上的减函数，求实数a的取值范围；若有两个极值点，其中，求证：．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），将曲线C向上平移1个单位长度得到曲线．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设．求曲线的普通方程和点P的直角坐标；已知直线l经过点P与曲线交于A，B两点（点A在点P右上方），且，求直线l的普通方程．已知函数，不等式的解集为．求的值；若三个实数，，，满足．证明：1、【答案】B;【解析】【分析】化简集合B，后由交集定义可得答案.【详解】集合，因在上单调递减，则，得故选：B．2、【答案】D;【解析】∵，∴在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限．故选：．3、【答案】A;【解析】等差数列中，，则，所以.因此正确答案为：A．4、【答案】D;【解析】【分析】利用圆台体积公式求体积即可.【详解】由已知，下底半径为5尺，上底半径为尺，若分别为上下底面面积，所以圆台的体积为：立方尺.故选：D5、【答案】B;【解析】由，，因为回归直线过样本中心，，，②有误；可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③无误；由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④有误．因此正确答案为：B．6、【答案】C;【解析】因为，∴，又，，∴，∴．故选．7、【答案】A;【解析】【分析】先在中，由余弦定理求得，即可知为等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.【详解】如图所示，在中，由余弦定理得，∴，∴为等腰三角形，，，又∵为角平分线，∴，∴在中，，由正弦定理得得，.故选：A．8、【答案】C;【解析】【分析】先利用中间值法比较的大小，然后根据程序框图的功能即可得到结果.【详解】根据程序框图可知，执行程序输出的结果是，，三个数中的最小值，设函数，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，又，所以，所以输出的值为.故选：C.9、【答案】D;【解析】【分析】利用三次函数的性质及等比中项，结合函数值的定义即可求解.【详解】设，则常数项为：，因为成等比数列，所以，所以，即，解得，把代入，所以，解得．故选：D.10、【答案】C;【解析】【分析】辅助角化简，由已知上恰有4个极值点和3个零点，数形结合列不等式求参数的范围.【详解】由且，因为，所以，又在内恰有4个极值点和3个零点，由正弦函数的图象知：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：C11、【答案】B;【解析】【分析】结合题意，可得到点P极坐标方程为，直角坐标系方程为..A选项，注意到当时，，即可判断选项正误；B选项，由极坐标方程可得范围；C选项，由可得，可得P点横坐标的范围；D选项，注意到，即可判断选项正误.【详解】由题可得，化简得：，∴点轨迹的直角坐标方程为：，代入，得极坐标方程为：.A选项：当时，，此时，即点P坐标可以为，此时，故A错误；B选项，注意到，故B正确；C选项，，故C错误；D选项，：，又注意到与有交点，即存在点P使，则面积的最大值为，故D错误．故选：B．12、【答案】D;【解析】【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，对于曲线，其导数为，对于曲线，其导数为，所以切线方程分别为：，，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：，解得（），令（），，得：，当时，，是减函数，当时，，是增函数，∴且当x趋于时，，趋于；当趋于时，趋于；∴，∴；故选：D．13、【答案】1;【解析】展开式的通项为，令解得，∴．∴．因此正确答案为：114、【答案】;【解析】【分析】作AB和AC的垂直平分线的交点求出圆心和半径，写出圆的标准方程，再令求解.【详解】依题意作上图，显然轴，点的中点坐标为，AB的垂直平分线方程为，点的中点为，直线AC的斜率为，直线的斜率为1，直线的垂直平分线方程为，联立两垂直平分线方程，解得圆心坐标为，半径，所以圆的标准方程为，令，解得与轴交于，，所以；故答案为：.15、【答案】;【解析】【分析】设点，求出直线的方程，可求得点、两点的坐标，再利用基本不等式可求得面积的最小值.【详解】设点、，圆的圆心为原点，若点不在坐标轴上，则，由切线的几何性质可知，，则，所以，直线的方程为，即，当点在轴上时，则，，切线方程为，满足；当点在轴上时，则，，切线方程为，满足.综上所述，圆在点处的切线方程为，同理可知，圆在点处的切线方程为.设点，将点的坐标代入直线、的方程可得，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，因为直线与轴、轴分别交于、两点，则，在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点，因为点在曲线上，则，由基本不等式可得（当且仅当，即，时等号成立），所以，，则，当且仅当，时等号成立，故面积的最小值为.故答案为：.16、【答案】;【解析】由抛物线定义可知：点位于底面矩形内以点A为焦点，为准线的抛物线上，记点的轨迹为曲线，在矩形内以点为坐标原点，为轴，过点作垂线为轴建立如图示平面直角坐标系，由AD=p=4知抛物线的标准方程为：，又AB=，所以，所以，当点位于时，面积最小，又平面ABCD，此时三棱锥的体积最小，三棱锥的外接球与以PA，AB，BF为长宽高的长方体的外接球相同，由长方体外接球模型可知，三棱锥外接球球心为的中点，此外接球的半径为：，所以．因此正确答案为：17、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）根据递推公式，分当时和时，进行求解即可.(2)由（1）得到通项公式，再根据分组求和，即可求解.【详解】（1）当时，，解得，当时，由，得，两式相除得：，即，当时，也满足，所以．（2）由（1）可知，，所以，所以令，∴，∴．18、【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关(2)选择方案一，理由见解析;【解析】【分析】（1）根据统计数据完成2×2列联表，计算对照临界值进行比较作出判断.（2）计算方案二优惠金额的分布列和期望，与方案一的优惠金额进行比较.【详解】（1）列联表如下：因此有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．（2）按方案一：某游客可优惠120元．按方案二：设优惠金额为元，可能取值为0，100，150，200．，，，，所以的分布列为所以选择方案一19、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】【分析】（1）连接，，交于点可得四边形为菱形，折叠后为二面角的平面角，由余弦定理求出，可得三棱锥为正四面体，所以点在底面的投影为的中心，再由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；（2）以为坐标原点，过与平行线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）（1）在图中，连接，，其中交于点,因为，，故四边形、为平行四边形，所以，，因为，所以，因为，所以，故四边形为菱形，所以，，故折叠后，，，所以为二面角的平面角，由余弦定理可知：，所以，三棱锥为正四面体，所以点在底面的投影为的中心，，平面，所以，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）在下图中，以为坐标原点，过与平行线为轴，为轴，为轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则即，所以．设直线与平面所成角为，则．∴直线与平面所成的角为．20、【答案】(1)(2)5;【解析】【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．设直线：，若，则则不满足，所以．设，，，由得：，，．因为，即，则，，所以，解得，则，即，直线：，联立，解得，∴，当且仅当或时等号成立∴的最小值为5．21、【答案】(1)(2)证明见解析;【解析】【分析】（1）将函数单调递减转化为恒成立问题，然后参变分离转化为函数最值问题，利用导数可解；（2）构造割线，利用割线与交点横坐标差小于与交点横坐标差，化曲为直可证；或根据极值点偏移问题，构造可证.【详解】（1）由题意知在上恒成立∴恒成立，令，，则令，得，当，；，所以即，（2）方法一：（割线夹证零点差）由有两个极值点，所以有两个不等的实数根，由（1）可知，当x趋近于时，趋近于0，且所以且又过点和的直线方程为构造函数，，所以．设方程的根为