直线、平面平行和垂直的判定及其性质

直线、平面平行和垂直的判定及其性质本章内容2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章小结第二章点、直线、平面之间的位置关系立体几何2.3直线、平面垂直的判定及其性质

直线与平面垂直的判定(第一课时)复习与提高

直线与平面垂直的判定(第二课时)

平面与平面垂直的判定(第一课时)

平面与平面垂直的判定(第二课时)2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面垂直的判定返回目录学习要点1.直线和平面垂直是怎样定义的?2.用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?

问题1.在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?

如果直线l

与平面a

内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l

与平面a

互相垂直,记作l⊥a,直线l

叫做平面a

的垂线,平面a

叫做直线l

的垂面.

线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.

直线与平面垂直的定义:1.直线与平面垂直的定义

画直线和水平平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.

画直线和竖直平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.all⊥abmm⊥b

问题2:已知平面a

和空间任意一点P,过点P能作a

的几条垂线?为什么?a·P

结论:过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.如果有两条,PA⊥a,PB⊥a,只有一条.垂足分别为A,B.则PA,PB确定的平面与a

相交于一直线AB.AB于是PA⊥AB,PB⊥AB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.

问题3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?

用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.ABCD当A、B、C不共线时,折痕DC垂直桌面;当A、B、C共线时,折痕DC不一定垂直桌面.2.直线与平面垂直的判定

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,a

a,b

a,a∩b,⇒

l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.

问题4.一旗杆高8m,在它的顶端系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三边满足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a例1.如图,已知a∥b,a⊥a.求证:b⊥a.am证明:在a

内任作两相交直线m、n,∵a⊥a,m

a,⇒a⊥m,a⊥n,∵b∥a,⇒

b⊥m,b⊥n,又m与n

相交,⇒

b⊥a.

结论:两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.bnn

a,

练习(补充).已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.

练习(补充).已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.

练习(补充).已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQAQ

为垂线段PQ

的垂足.A

为斜线段PA

的斜足.QA

为斜线PA

在平面a

上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)

探究题.如图,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD

满足什么条件时,A

C⊥B

D

?ABCDA

B

C

D

分析:由题中定义知,侧棱A

A⊥平面A

B

C

D

,从而A

A⊥B

D

.又要使A

C⊥B

D

,则需B

D

⊥平面A

AC.所以需在平面A

AC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使AC⊥B

D

,四边形ABCD需满足:BA=BC,且DA=DC.与B

D

垂直且与A

A相交.(改为如下的证明题,请同学们给出证明)

如图,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知A

B

=B

C

,A

D

=D

C

,求证:B

D

⊥A

C.ABCDA

B

C

D

证明:连结A

C

,∵A

B

=B

C

,

B

D

⊥A

C

,AA

⊥平面A

B

C

D

AA

⊥B

D

,

B

D

⊥平面AA

C

C,

B

D

⊥A

C.(定义)(判定)(定义)A

D

=D

C

,AA

∩A

C

=A

,A

C

平面AA

C

C,练习:(课本67页)第1、2题.练习:(课本69页)1.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.ABCV练习:(课本67页)证明:·D取AC边的中点D,连接VD,BD.∵VA=VC,

VD⊥AC,VB=BC,

BD⊥AC,

AC⊥平面VDB,而VB

平面VDB,∴AC⊥VB.2.过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,则∠POA=∠POB=∠POC=90

,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点2.过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心.2.过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(3)中点外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,

PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂ABCP练习:(课本69页)

如图,正方形SG1G2G3中,E,F

分别是G1G2,G2G3

的中点,D

是EF的中点,现在沿SE,SF

及EF

把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3

三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG

中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面

(B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面

(D)GD⊥△SEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【课时小结】1.线面垂直的定义

若直线l

垂直平面a

内的任意一直线,则叫l⊥a.应用:若l⊥a,

则

l

垂直平面a

内的任意一直线.l⊥a,m

a,

l⊥m.【课时小结】2.线面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,

l⊥a.a

a,b

a,【课时小结】3.相关结论

◆过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.

◆两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

◆如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;

◆如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.习题2.3B组第2、4题习题2.3B组2.如图,棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O

CD,VA=VB,AD=BD,你们能判定CD⊥AB以及AC=BC

吗?VABCDO答:能判定.由VA=VB,AD=BD得,VD⊥AB.又由VO⊥平面ABC得,VO⊥AB.于是得AB⊥平面VOD,∵O

CD,

AB⊥OD.∴AB⊥CD,而

AD=BD,从而得AC=BC.4.如图,AB

是⊙O的直径,点C

是⊙O

上的动点,过动点C

的直线VC垂直于⊙O

所在平面,D,E

分别是VA,VC

的中点.试判断直线DE

与平面VBC

的位置关系,并说明理由.·VABCDEO解:DE⊥平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得AC⊥BC.又由

VC垂直于⊙O

所在平面得AC⊥VC.而

D,E

分别是VA,VC

的中点得DE//AC,∴DE⊥平面VBC.∴AC⊥平面VBC.第二课时直线与平面垂直的判定返回目录学习要点1.什么是斜线在平面上的射影?2.直线和平面所成的角是由哪些元素构成?其范围是多少?3.求直线和平面所成角的大小时,应掌握哪些要点?

问题5.如图,直线l

与平面a

斜交于一点A,过点A

在平面a

内作直线l1,l2,l3,…,这些直线与直线l

的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2P过l

上任一点P

作平面a

的O垂线PO,垂足为O,连结AO,则∠PAO

就是那个最小的角.【直线和平面所成的角】

问题5.如图,直线l

与平面a

斜交于一点A,过点A

在平面a

内作直线l1,l2,l3,…,这些直线与直线l

的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2PO

一条直线PA

和一个平面a

相交,但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,其交点A

叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O

和斜足A

的直线AO

叫斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.【直线和平面所成的角】aOPQPO∩a=O,PQ⊥a,Q

为垂足,则OQ

是PO

在平面a∠POQ是斜线PQ

与平面

a

所成的角.上的射影.

特例1:如果直线垂直平面,直线和平面所成的角为直角;

特例2:如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0º的角.

问题6.已知直线l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判断l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

与平面a

所成的角是否相等?如图,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO

与CO

不平行.aABCDO1O2如图,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,则AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.结论:

和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.两条平行线和同一个平面所成的角一定相等.

例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直线A1B的射影.即需找过A1B上的点垂直平面A1B1CD的直线.O而BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线BC1有可能.因为BC1⊥B1C,还容易看出BC1⊥A1B1,于是可连结BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.∠BA1O就是所要求的线面角,则可在Rt△BA1O中求.

例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D解:连结BC1,交B1C于O,则在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O则BC1⊥平面A1B1CD,O为垂足.得A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.∠BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△BA1O中,A1B=BC1=2BO,得∠BA1O=30.∴直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角是30.

例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点:(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.练习(补充)ABCA1B1C1D1D如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)求AA1与平面A1BD所成角的正切值.解:(1)∵A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则∠A1CB1为所求的线面角.在Rt△A1B1C中,即

A1C与平面B1BCC1所成角的正切值为练习(补充)ABCA1B1C1D1DO如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)求A1A

与平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中点O,连结AO,A1O,过点A

作AE⊥A1O,垂足为E.∵AB=AD,A1B=A1D,E∴BD⊥AO,BD⊥A1O,则BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,ABCA1B1C1D1DOE练习(补充)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)求A1A

与平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中点O,连结AO,A1O,过点A

作AE⊥A1O,垂足为E.∵AB=AD,A1B=A1D,∴BD⊥AO,BD⊥A1O,则BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,则∠AA1E

为所求的线面角.在Rt△A1AO

中,即

A1A与平面A1BD所成角的正切值为【课时小结】1.直线和平面所成的角(1)平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角(锐角).(2)平面的垂线与平面所成的角为90.(3)平面的平行线或在平面内的直线与平面所成的角为0.

斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等.【课时小结】2.求线面角的要点(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含角的三角形,用三角函数求解.练习(补充)2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为60º,求三棱锥的体积.1.若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为

.CDABC1D1A1B11.若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.aABCDP解:如图,直线AB是直线PC在平面a内的射影,直线PC与平面a

内的直线所成的角中,∠PCA最小,直角最大.则PC与平面内任一直线所成的角的范围是2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为60º,求三棱锥的体积.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足为O,如图,∴

O为底面正三角形的中心,则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60º,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,底面△ABC的高AE=E则BC=2BE=2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为60º,求三棱锥的体积.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足为O,如图,∴

O为底面正三角形的中心,则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60º,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,底面△ABC的高AE=E则BC=2BE=∴棱锥的体积为3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为

.CDABC1D1A1B1解:平面BC1D1就是平面ABC1D1,如图,E连结A1D,交AD1于E,则A1E⊥AD1,A1E⊥AB,

A1E⊥平面ABC1D1,连结BE,则∠A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角,设正方体的棱长为a,在Rt△A1ED中,∠A1BE=30º.30º平面与平面垂直的判定第一课时返回目录学习要点1.什么叫二面角?2.二面角的大小是由什么确定的?求二面角的大小的关键是什么?

问题1.当我们要求别人将一扇门(如教室门)开大点,或开小点时,用什么来度量,使开门的人能准确地按要求开门?

如图,两个平面相交,常要研究交成的角的大小,这就需要引入二面角.【1】二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如图,ablABPQ记作二面角a-l-b,或二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.【2】二面角的平面角ablABO·abl

要研究和度量二面角的大小,我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角.

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图,以棱l上任一点O为端点,在半平面a

内作OA⊥l,在半平面b

内作OB⊥l,则∠AOB就是二面角a-l-b的平面角.∠AOB的大小就是二面角a-l-b的大小.二面角的大小就由它的平面角确定.ABO·卫星轨道平面68.5º我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5º.赤道平面即卫星轨道平面与赤道平面所成的二面角是68.5.

问题2.如图,△ABC和△DBC是空间的两个等边三角形,∠ABD和∠ACD是二面角A-BC-D的平面角吗?如果不是,你能找出它的一个平面角吗?

答:∠ABD和∠ACD都不是二面角A-BC-D的平面角,因为它们的边与二面角的棱BC不垂直.取BC的中点E,连结AE、DE,∴∠AED就是二面角A-BC-D的平面角.则AE⊥BC,DE⊥BC,ABCDEABCDA1B1C1D1

问题3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1

的棱长为a,怎样计算二面角A1-BD-C1

的大小.解:取BD

的中点O,连结A1O,C1O.∵A1B=A1D,C1B=C1D,O∴A1O⊥BD,C1O⊥BD,则∠A1OC1

就是二面角A1-BD-C1

的平面角.连结A1C1.可算出△A1C1O

的边A1C1,A1O,C1O.以后学了余弦定理即可解得∠A1OC1.E也可作A1C1的高OE,在直角三角形中求角.

例(补充).如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值.分析:目标:在平面

PAD内找AD的垂线,在平面

ABCD内找AD的垂线.凭直观,考查图中已有的角,找二面角P-AD-C

的平面角.线,点等.PD,CD⊥AD

否?不垂直.PA,BA⊥AD

否?BA与AD不垂直.则考虑连结AC,得∠ACD=45

,如果AC⊥AD,需∠CDA=45

.在底面梯形中可求得∠CDA=45

.ABCDP

例(补充).如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值.解:∵PC=CB=BA=2,DC=4,ABCDP∴ABCE

是正方形.E取DC的中点E,连结AE,AC.得AE⊥DC,

AE=DE,∴AD⊥AC.∵PC⊥平面ABCD,则∠ADE=45

.∴PC⊥AD.AB⊥BC,又∠ACD=45

,则AD⊥平面PAC,∴得AD⊥PA.则∠PAC为二面角P-AD-C

的平面角.在底面求得AC=∴tan∠PAC=练习(补充)1.在正方体ABCD-A

B

C

D

中,

求二面角A-B

C-B的正切值.ABCDA

B

C

D

2.30º的二面角的一个半平面内有一点P,这点到棱的距离为h,求点P

到另一个半平面的距离.1.在正方体ABCD-A

B

C

D

中,

求二面角A-B

C-B的正切值.ABCDA

B

C

D

G解:连接BC

交B

C

于G,连结AG,∵AB⊥B

C,则BG⊥B

C.得

B

C⊥AG.∴B

C⊥平面ABG.∴∠AGB为二面角A-BC-B

的平面角.在Rt△ABG中,则BG=设AB=1,2.30º的二面角的一个半平面内有一点P,这点到棱的距离为h,求点P

到另一个半平面的距离.解:PQ⊥l于Q,作PO⊥b,O

b,连结OQ.则∠PQO=30º.∴∠PQO是二面角的平面角.在Rt△POQ中,PO=则

PQ⊥l.blQaP·O如图,二面角a-l-b是30.P

a,PQ=h.∴l⊥平面POQ,即点P到b

的距离是则l⊥OQ.【课时小结】1.二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作二面角a-l-b,二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.【课时小结】2.二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.ablABO·ablABO∠AOB是二面角a-l-b的平面角.【课时小结】3.求二面角的大小(1)找到二面角的两个半平面与棱.(2)找二面角的平面角.

在两个半平面内找垂直于棱的直线,垂足为棱上同一点.常用到线线垂直与线面垂直转换.(3)通常在直角三角形中求平面角的大小.习题2.3A组第4、7题.4.如图,三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=

VC=1,试画出二面角V-AB-C

的平面角,并求它的度数.VBCA解:取AB的中点D,连接VD,CD,·D而

VA=VB=AC=BC=2,∴VD⊥AB,CD⊥AB,则∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.而则由勾股定理求得VD=CD=1,又VC=1,∴△VCD是等边三角形,∠VDC=60,即二面角V-AB-C

的大小为60.7.如图,正方体ABCD-A

B

C

D

中平面ABC

D

与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?ABCDA

C

D

B

解:与上底面所成二面角的平面角是∠B

C

B=45

.与下底面所成二面角的平面角是∠C

BC=45

.与前面所成二面角的平面角是∠B

BC

=45

.与后面所成二面角的平面角是∠BC

C=45

.平面AC

过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90

的二面角.平面与平面垂直的判定第二课时返回目录学习要点1.平面与平面垂直是怎样定义的?2.两平面垂直的判定定理的内容是什么?证明两平面垂直需要哪些条件?平面角是直角的二面角叫做直二面角.

问题3.观察教室中的物体,哪些二面角是直二面角?【3】两个平面垂直的定义

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面a

与平面b

垂直,记作:a⊥b.

画两个平面垂直,一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.abab

问题3.请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,再用书面或硬纸板紧靠铅笔,请问:书面与桌面构成直二面角吗?书面与桌面是否垂直?两个平面垂直的判定定理:

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号表示:abll⊥a,l

b,⇒b⊥a.【4】两个平面垂直的判定

例3.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C

是圆周上不同于A,B

的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.·OABCP解:∵AB是⊙O的直径,又C是⊙O上的点,∴AC⊥BC,又∵PA⊥圆面,BC

圆面,∴PA⊥BC,得BC⊥平面PAC,而

BC

平面PBC,⇒平面PBC⊥平面PAC.

探究题.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?DBCA过AB的平面与底面垂直:平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.又BC⊥CD,而由AB⊥平面BCD得

CD⊥AB,

CD⊥平面ABC,过CD的平面垂直平面ABC:平面ACD⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC(上面已有).练习:(补充)1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱垂直底面)中,∠ACB=90

,求证:平面A1BC⊥平面A1ACC1.A1B1C1ABC2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1A的中点.求证:平面BCE⊥平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱垂直底面)中,∠ACB=90

,求证:平面A1BC⊥平面A1ACC1.A1B1C1ABC证明:∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1.又∠ACB=90

BC⊥AC,

BC⊥平面A1ACC1.

平面A1BC⊥平面A1ACC1.BC

平面A1BC,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1A的中点.求证:平面BCF⊥平面B1C1E.证明:E,F分别是AB,A1A的中点.∴在正方形ABB1A1中,∵B1C1⊥平面BAA1B1,

B1C1⊥BF.由①②得BF⊥平面B1C1E,

平面BCF⊥平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF

平面BAA1B1,∵BF

平面BCF,B1E⊥BF.①②【课时小结】1.两平面垂直的定义2.两平面垂直的判定定理

两个平面相交成直二面角时,称这两个平面互相垂直.

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.abll⊥a,l

b,⇒b⊥a.习题2.3A组第1、3、6题.B组第1题.习题2.3A组1.判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明:(1)平面a⊥平面b,平面b⊥平面g

平面a⊥平面g;(2)平面a//平面a1,平面b//平面b1,平面a⊥平面b

平面a1⊥平面b1.解:(1)错,如图.bga(2)对.a⊥b,a//a1,

a1⊥b;b//b1,

a1⊥b1.3.如图,在三棱锥V-ABC

中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90,试判断平面VBA

与平面VBC

的位置关系,并说明理由.VBCA解:平面VBA⊥平面VBC.其理由:由∠VAB=∠VAC=90

得VA⊥平面ABC,则VA⊥BC,又∠ABC=90,即AB⊥BC,∴BC⊥平面VBA,而BC

平面VBC,∴平面VBC⊥平面VBA.6.求证:如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.已知:PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.

求证:平面PAB⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PAC,平面PBC⊥平面PAC.PABC证明:∵

PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC.而

PA

平面PAB,PA

平面PAC,∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.B组1.如图,在正方体ABCD-A

B

C

D

中,证明:平面ACC

A

⊥平面A

BD.ABCDA

C

D

B

证明:在正方体中,底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又因为侧棱垂直底面,所以A

A⊥BD.于是得BD⊥平面A

ACC

.而BD

平面A

BD,∴平面A

BD⊥平面A

ACC

.直线与平面垂直的性质平面与平面直线与平面垂直的性质平面与平面返回目录学习要点1.直线与平面垂直的性质定理是什么?在什么条件下得到什么结论?2.两平面垂直的性质定理是什么?在什么条件下得到什么结论?

问题1.长方体的侧棱是否都与底面垂直?这些侧棱是怎样的位置关系?请同时竖两支垂直于桌面的铅笔,这两支铅笔又有怎样的位置关系?a如图,l1⊥a，l2⊥a，垂足分别为A、B.如果l1∦

l2,那么过垂足A可另作一直线m∥l2,于是m⊥a.过l1与m

作平面b∩a=c,则l1⊥c,m⊥c.那么在平面b

内过一点A就有两直线与c

垂直,显然不可能,即l1∦

l2不能成立,只有l1//l2.bl1l2ABmc

直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行.由线面垂直得线线平行.线面垂直的性质定理:al1l2AB符号表示:l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.

例(补充).已知一条直线l和一个平面a

平行,求证:直线l上各点到平面a

的距离(到a

的垂线段长)相等.alA

B

b证明:过l上任意两点A、B作AA

⊥a,BB⊥a,垂足为A

、B

,则AA

∥BB

,由AA

、BB

确定平面,设为b,得b∩a=A

B

,∵l∥a,l

b,⇒l∥A

B

,∴AA

=BB

(两平行线间的平行线段相等),即l

上任意两点到平面a

的距离相等.AB

问题2.设直线a,b

分别在正方体ABCD-A

B

C

D

中两个不同的平面内,欲使a//b,a,b

应满足什么条件?分别满足下面的条件都可以:(1)a,b

同垂直于一个面.(2)a,b

同平行一条棱.(3)用一个平面截相对的两个面所得的交线即为a,b.bbABCDA

C

D

B

aaba如图,练习:(课本71页)第1、2题.练习:(课本71页)1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内划“√”,错误的划“×”.(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.()(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.()2.已知直线a,b

和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b

与a

的位置关系是

.平行或在a内bDD

CBC

B

AA

baa分析:借助长方体模型.//a

a

问题1.请同学们在一块硬纸板(或书面)上画一条垂直于某边的直线l,再将硬纸板(或书面)与桌面垂直,并使这边在桌面内.请问,你画的直线l

与桌面是什么位置关系?为什么?labABDC如图,在a

内过点D作CD⊥AB,则∠lDC是二面角a-AB-b的平面角.∵b⊥a,∴平面角应是直角,则得l⊥CD.

l⊥a.

平面与平面垂直的性质又l⊥AB,两平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,⇒l⊥b.abml

问题2.如图,a⊥b,点P∈a,PQ⊥b.请问,PQ是否一定在a

内?你能说出理由吗?RPQablPQ一定在a

内.其理由:设a∩b

=l,过点P

作PR⊥l,R∈l,∵a⊥b,⇒PR⊥b,∵过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,∴PQ与PR重合为同一条直线,即PQ必在a

内.

例4.已知平面a,

b,a⊥b,直线a

满足a⊥b,a

a,试判断直线a

与平面a

的位置关系.mabab解:∵a⊥b,设a∩b

=m,在a

内作b⊥m,

b⊥b.∵a⊥b,⇒

a∥b,b

a,a

a,⇒a∥a.即直线a

与平面a

互相平行.问题:(课本76页探究)

已知平面a,b,直线a,且a⊥b,a∩b=AB,a//a,a⊥AB,能判断直线a

与平面b

的位置关系吗?AabBa解:b∵a//a,g过a

作平面g∩a=b,则a//b.而a⊥AB,则b⊥AB,而a⊥b,交线是AB,∴b⊥b,则a⊥b.

两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.练习:(课本73页)第1、2题.1.下列命题中错误的是()(A)如果平面a⊥平面b,那么平面a

内所有直线都垂直于平面b(B)如果平面a⊥平面b,那么平面a

内一定存在直线平行于平面b(C)如果平面a不垂直于平面b,那么平面a

内一定不存在直线垂直于平面b(D)如果平面a⊥平面g,平面b⊥平面g,a∩b=

l,

那么l⊥g练习:(课本77页)(D)选项的证明看“习题2.3”第5题.A2.已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.B【课时小结】1.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.由线面垂直得线线平行.能推得线线平行的有:①公理4.②线面平行的性质定理.③面面平行的性质定理.④线面垂直的性质定理.【课时小结】2.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,⇒l⊥b.abml

两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.习题2.3A组第2、5、8、9题.B组第3题.a习题2.3A组2.已知平面a,b,g,且a⊥g,b//g,求证a⊥b.证明:在g

内作直线a⊥m,∴a⊥a.∵

a⊥g,过a

作平面d∩b=

b,∵b∥g,∴a//b,b

b,⇒

b⊥a.bbgad如图,设a

与g

的交线为m,m而a⊥a.

b⊥a.5.已知平面a,b,g满足a⊥g,b⊥g,a∩b=l.求证l⊥g.agbl证明:如图,设a∩g

=m,b∩g

=n.取P∈g,P

m,P

n,mnP·AB作PA⊥m,PB⊥n.∵

a⊥g,b⊥g,∴PA⊥a,PB⊥b.又∵

a∩b

=l,∴PA⊥l,PB⊥l.PA

g,PB

g,PA∩PB=P,⇒l⊥g.a8.如图,m,n

是两条相交直线,l1,l2是与m,n都垂直的两条直线,且直线l与l1,l2都相交,求证:∠1=∠2.mnO12ll2l1证明:∵l1⊥m,l1⊥n,∵m∩n=O,∴

m、n

确定的平面,设为a,∴l1⊥a,同理,l2⊥a,∴l1∥l2,又∵直线l与l1、l2都相交,∴∠1=∠2.9.求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等.

如果两平行线中的一条垂直平面,则另一条也垂直这个平面,它们与平面所成的角都等于90º.证明:

如果两平行线中的一条与平面所成的角是0º,则另一条平行平面或在平面内,

即另一条与平面所成的角也是0º.当两平行线是平面的斜线时,如图,aABCDE已知:AB∩a=B,CD∩a=D,AB∥CD.分别过AB、CD上的点E、F作EM⊥a,垂足为M,FN⊥a,垂足为N.NMF且得EM∥FN,又AB∥CD,⇒∠BEM=∠DFN,于是在两直角三角形中可得∠EBM=∠FDN,则MB、ND分别是EB、FD在即两平行线与平面

a

所成的角相等.9.求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等.证明:求证:AB,CD

与a

所成的角想等.平面a

内的射影.B组3.求证:三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.

已知,如图,a⊥b,a⊥g,b⊥g,a∩b

=AO,a∩g

=

BO,b∩g

=CO.求证:AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO.证明:取点P∈g,P

BO,P

CO,OABCabgEF作PE⊥BO,PF⊥CO,∵g⊥a,g∩a

=

BO,g⊥b,g∩b

=

CO,∴PE⊥a,PF⊥b.而AO

a,AO

b,∴PE⊥AO,PF⊥AO,则AO⊥g,又BO

g,CO

g,·P∴AO⊥BO,AO⊥CO.又b⊥a,b∩a=AO,CO

b,⇒CO⊥a,BO

a,⇒CO⊥BO.复习提高与返回目录1.线面垂直的定义定义可用于推证线线垂直.l⊥a,m

a,

l⊥m.知识要点

如果直线l

与平面a

内的任意一条直线都垂直,就说直线l

与平面a

互相垂直.知识要点2.线面垂直的判定l⊥a,a

a,l⊥b,b

a,a∩b=P,

l⊥a.

⊕两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直这个平面.

⊕如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

⊕过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.知识要点3.三垂线定理

如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;

如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.知识要点4.直线和平面所成的角平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.要点:(1)由线面垂直找射影;(2)在三角形中计算.特例:(1)线面垂直,线面角为90.(2)线面平行或在其内,线面角为0.知识要点5.直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行.l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.由线面垂直得线线平行.知识要点6.二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作