江苏省洪泽中学等七校2023-2024学年高二下学期第一次联考数学试卷

2023—2024学年第二学期高二年级第一次联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有（）A.12种 B.64种 C.81种 D.7种2.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（）A. B. C. D.3.一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）A.120种 B.60种 C.40种 D.20种4.平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，则（）A. B.6 C.3 D.5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量（）A. B. C. D.6.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面ABC，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.2023年3月，某校A，B，C，D，E，F六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A站在两端，B、C相邻，B、D不相邻的排法种数为（）A.36 B.48 C.56 D.728.以等腰直角三角形斜边BC上高AD为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则B.若非零向量，，满足，，则有C.若直线l的方向向量为，平面的法向量，则D.若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法11.在正方体中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是（）A.当平面时，与所成夹角可能为B.当时，的最小值为C.若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D.当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点，在直线l上，写出直线l的一个方向向量______.13.如图，提供4种不同的颜色给图中A、B、C、D四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有______种.14.正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）计算：； （2）解不等式：.16.（15分）已知空间三点、、.（1）若向量与平行，且，求的坐标.（2）若向量分别与、垂直，且，求的坐标.（3）求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积.17.（16分）有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）.（1）可以排成多少个三位数？（2）求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）.（i）左起第二、四位数是偶数的奇数.（ii）比20134大的偶数.18.（17分）如图1，已知ABFE是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为BC的中点.图1图2（1）证明：；（2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为.19.（17分）n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；（3）已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

2023—2024学年第二学期高二年级第一次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.D8.C二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分（说明：若有两个选项符合题意，只选一个且正确的得3分；若有三个选项符合题意，只选一个且正确的得2分，只选两个且正确的得4分.）9.AD10.ABC11.ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.（答案不唯一，与共线都是正确答案）13.4814.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.解：①.（6分）②因为，所以，（8分）所以，（10分）所以，又，，所以，（12分）所以不等式的解集为.（13分）16.解：（1）由已知可得，（1分）因为向量与平行，设，其中，则，解得.（3分）所以，或.（5分）（2）设平面ABC的一个法向量为，，，则，解得，取，可得，（7分）因为向量分别与、垂直，则，设，其中，则，解得，所以，或.（10分）（3），因为，则，（12分）所以，以CB、CA为邻边的平行四边形的面积.（15分）17.解：（1）100个（4分）（2）（i）20个（5分）；（ii）41个（6分）18.解：（1）∵由图1得：，，且，∴在平面BCF.（2分）是二面角的平面角，则，∴是正三角形，且N是BC的中点，，又平面BCF，平面BCF，可得，而，BC，平面ABCD.∴平面ABCD.（5分）而平面ABCD，∴.（7分）（2）因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP、NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设（9分）∴，，，.∵，∴.∴，∴，（11分）设平面ADE的法向量为，则，取，（13分）设直线BM与平面ADE所成角为，∴，（15分）∴，∴或.（17分）19.解：两两垂直的4维信号向量可以为：，，，.（写1个1分，写4个5分）（5分）（2）假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，，因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设，，因为，所以有5个分量为－1，设的前5个分量中有r个－1，则后5个