高等数学课件D812矢量及其线性运算

高等数学课件D812：矢量及其线性运算目录contents矢量基本概念与性质坐标系中矢量表示矢量线性运算规则矢量数量积与点积矢量外积与叉积矢量混合积与几何意义01矢量基本概念与性质矢量是既有大小又有方向的量，用于表示物理量中的方向和数值。矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量大小，箭头方向代表矢量方向。在坐标系中，矢量可用起点和终点坐标或有序数对表示。矢量定义及表示方法表示方法矢量定义矢量大小即矢量的模，表示矢量所代表的物理量的大小，用绝对值符号表示。矢量大小矢量方向表示矢量所代表的物理量的指向，与正方向相同或相反。在平面直角坐标系中，可用角度表示矢量方向。矢量方向矢量大小与方向两个矢量若大小相等、方向相同，则称这两个矢量相等。矢量相等两个矢量若大小相等、方向相反，则称这两个矢量互为相反矢量。矢量相反矢量相等与相反零矢量大小为零的矢量称为零矢量，它没有方向，与任何矢量平行。单位矢量模为1的矢量称为单位矢量，它只表示方向，不表示大小。在坐标系中，单位矢量可沿坐标轴正方向或负方向。零矢量与单位矢量02坐标系中矢量表示直角坐标系中矢量的加法和数乘运算对应坐标值的加法和数乘，易于理解和计算。矢量在直角坐标系中表示为有序数组，如二维空间中的矢量可表示为((x,y))，三维空间中的矢量可表示为((x,y,z))。直角坐标系中矢量的模长和方向角可以通过坐标值计算得到，模长为(sqrt{x^2+y^2+z^2})（三维情况下），方向角则通过反正切等三角函数计算。直角坐标系中矢量表示

平面极坐标系中矢量表示平面极坐标系中，矢量表示为模长和幅角的有序对，如((r,theta))，其中(r)为模长，(theta)为幅角。模长和幅角可以直接描述矢量的长度和方向，与直角坐标系中的表示方式相互转换时需要用到三角函数。平面极坐标系中矢量的加法和数乘运算相对复杂，需要先将矢量转换为直角坐标系中的表示，进行运算后再转换回极坐标系中的表示。空间柱坐标系中，矢量表示为((r,theta,z))，其中(r)和(theta)表示矢量在底面上的投影的极坐标，(z)表示矢量在高度方向上的分量。球坐标系中，矢量表示为((r,phi,theta))，其中(r)为矢量的模长，(phi)和(theta)分别为矢量的两个方向角。空间柱坐标系和球坐标系中矢量的表示方式适用于描述三维空间中矢量的长度、方向和位置，但加法和数乘运算同样相对复杂。空间柱坐标系和球坐标系中矢量表示矢量在不同坐标系下的表示方式虽然不同，但矢量的本质属性不变，如模长、方向等。坐标变换下，矢量的分量会发生变化，但矢量的模长和方向保持不变，这是矢量不变性的体现。在进行坐标变换时，需要注意不同坐标系下矢量分量的变换关系以及变换矩阵的推导和应用。坐标变换下矢量不变性03矢量线性运算规则加法运算规则及几何意义矢量加法满足交换律和结合律，即对于任意矢量A和B，有A+B=B+A，且(A+B)+C=A+(B+C)。加法运算规则矢量加法在几何上表现为平行四边形法则或三角形法则。对于两个矢量A和B，以它们的起点为同一点，将它们的终点连接起来，形成一个平行四边形或三角形，对角线或第三条边就代表了A+B的结果。几何意义数乘运算规则数乘是将一个标量与一个矢量相乘，得到一个与原矢量方向相同或相反的新矢量。对于任意标量k和矢量A，有kA=|k||A|*(单位矢量)，其中单位矢量与原矢量A方向相同或相反，取决于k的正负。几何意义数乘在几何上表现为对矢量的伸缩变换。当k>0时，kA与原矢量A方向相同，长度为k倍；当k<0时，kA与原矢量A方向相反，长度为|k|倍。数乘运算规则及几何意义线性组合与线性表示线性组合对于一组矢量A1,A2,...,An和一组标量k1,k2,...,kn，线性组合是指k1A1+k2A2+...+knAn所得到的矢量。线性表示如果一个矢量B可以表示为一组矢量A1,A2,...,An的线性组合，即存在一组标量k1,k2,...,kn，使得k1A1+k2A2+...+knAn=B，则称B可以由A1,A2,...,An线性表示。线性运算满足性质交换律矢量加法满足交换律，即A+B=B+A。结合律矢量加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。分配律数乘对矢量加法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB；同时，(k1+k2)A=k1A+k2A。零元与负元存在零矢量0，对于任意矢量A，有A+0=A；同时，对于任意矢量A，存在负矢量-A，使得A+(-A)=0。04矢量数量积与点积两个矢量$vec{A}$和$vec{B}$的数量积是一个标量，记作$vec{A}cdotvec{B}$，其大小等于$|vec{A}|times|vec{B}|timescostheta$，其中$theta$为两矢量的夹角。数量积定义数量积满足交换律、分配律和与数乘的结合律，即$vec{A}cdotvec{B}=vec{B}cdotvec{A}$，$(vec{A}+vec{B})cdotvec{C}=vec{A}cdotvec{C}+vec{B}cdotvec{C}$，$k(vec{A}cdotvec{B})=(kvec{A})cdotvec{B}=vec{A}cdot(kvec{B})$。数量积性质数量积定义及性质点积计算方法对于两个矢量$vec{A}=(A_1,A_2,A_3)$和$vec{B}=(B_1,B_2,B_3)$，它们的点积为$vec{A}cdotvec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$。点积物理意义点积表示了两个矢量的"相似度"，当两矢量同向时，点积最大；当两矢量垂直时，点积为0；当两矢量反向时，点积最小。此外，点积还可以表示一个矢量在另一个矢量上的投影长度。点积计算方法及物理意义VS两矢量的夹角余弦值可以通过它们的点积和模长计算得到，即$costheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{A}|times|vec{B}|}$。当$costheta$接近1时，表示两矢量夹角很小，方向相近；当$costheta$接近-1时，表示两矢量夹角很大，方向相反。相似度度量在机器学习和数据挖掘中，经常使用余弦相似度来度量两个特征向量的相似程度。余弦相似度的取值范围为[-1,1]，值越大表示相似度越高。夹角余弦值夹角余弦值与相似度度量在物理学中，力做功的大小等于力和位移的点积，即$W=vec{F}cdotvec{s}$。当力和位移同向时，做功最大；当力和位移垂直时，不做功；当力和位移反向时，做功最小。一个矢量在另一个矢量上的投影长度可以通过它们的点积和模长计算得到，即$proj_{length}=|vec{A}|timescostheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{B}|}$。投影长度表示了一个矢量在另一个矢量方向上的"分量"大小。力做功投影长度应用举例：力做功、投影长度等05矢量外积与叉积定义矢量外积是一种二元运算，作用于两个三维矢量，结果是一个三维矢量，其方向与这两个矢量都垂直，并且符合右手定则，大小等于这两个矢量的大小与它们之间夹角的正弦值的乘积。性质外积运算不满足交换律，但满足反交换律，即两矢量外积的顺序不同，结果矢量的方向相反；外积运算满足分配律和结合律。外积定义及性质计算方法两个矢量A和B的叉积可以表示为A×B，其计算方式为一个三阶行列式，第一行为矢量A的坐标，第二行为矢量B的坐标，第三行为单位矢量的坐标。要点一要点二物理意义叉积在物理学中有广泛的应用，如表示力矩、角速度等物理量。力矩是力和力臂的叉积，角速度是角位移矢量对时间的导数，其结果也是一个矢量，方向与旋转轴相同。叉积计算方法及物理意义右手定则用于判断叉积结果的方向。将右手四指从第一个矢量弯曲到第二个矢量，大拇指所指的方向就是叉积结果的方向。方向判断在三维空间中，两个矢量的叉积结果的方向总是与这两个矢量都垂直，因此可以用于构建坐标系或判断两个矢量的相对位置关系。右手定则与方向判断在力学中，力矩是力和力臂的叉积。力臂是从转动轴到力的作用线的垂直距离，因此力矩的方向总是垂直于转动轴和力的作用线所确定的平面。力矩的大小和方向决定了物体绕转动轴的转动效果。力矩在刚体绕定轴转动中，角速度是描述刚体转动快慢的物理量。角速度是矢量，其方向与转动轴相同，大小等于单位时间内刚体转过的角度。角速度可以通过矢量的叉积来计算，如角速度是角位移矢量对时间的导数。角速度应用举例：力矩、角速度等06矢量混合积与几何意义03符号判定混合积的符号由右手定则确定，即当A、B、C按右手定则方向排列时，混合积为正。01混合积定义给定三个矢量A、B、C，它们的混合积是一个标量，记作(A,B,C)，其绝对值为以A、B、C为棱的平行六面体的体积。02混合积性质混合积满足交换律、分配律以及与数乘的结合律等重要性质。混合积定义及性质混合积的绝对值表示以三个矢量为棱的平行六面体的体积，反映了矢量间的空间关系。体积表示垂直判定方向关系若三个矢量的混合积为零，则它们共面或其中至少有两个矢量线性相关。混合积的符号反映了三个矢量的相对方向，可用于判断矢量的排列顺序。030201几何意义解释利用混合积可以方便地计算平行六面体的体积，进而求解空间几何问题。体积计算混合积可用于判断点、线、面之间的相对位置关系，如点到平面的距离、两直线是否异面等。空间位置关系在力学中，混合积可用于计算力矩、角