连续型随机变量及其分布

关于连续型随机变量及其分布用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab第2页,共32页，2024年2月25日，星期天1.6

连续型随机变量

一、概率密度

1.定义

对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-

<x<+

)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-

<x<+

)第3页,共32页，2024年2月25日，星期天2.密度函数的性质

(1)非负性

f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

EX设随机变量X的概率密度为求常数a.第4页,共32页，2024年2月25日，星期天(3)若x是f(x)的连续点，则EX设随机变量X的分布函数为求f(x)第5页,共32页，2024年2月25日，星期天随机变量X的分布函数F(x）于密度函数的关系：

如果随机变量X的密度函数为f(x),分布函数为F(x),

则对任意的a，b（a＜b），有

这一结果的几何意义为：X落在（a，b］中的概率恰好等于在区间（a，b］上由曲线y＝p（x）形成的曲边梯形的面积（图中阴影部分）。

而f(x)的基本性质(2)表明:整个曲线y＝f(x)以下(x轴以上)的面积为1。第6页,共32页，2024年2月25日，星期天注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是随机变量

X

的一个可能的取值强调概率为0的事件未必不发生第7页,共32页，2024年2月25日，星期天例1.已知随机变量X的概率密度为(1)求X的分布函数F(x);(2)求P{0.5<X<1.5)}第8页,共32页，2024年2月25日，星期天EX设随机变量X的分布函数为(1)求P{X<2},P{0<X<3},P{2<X<e-0.1}.(2)求概率密度f(x)第9页,共32页，2024年2月25日，星期天1.均匀分布若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)X在(a,b)内服从均匀分布,对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有二、几个常用的连续型分布第10页,共32页，2024年2月25日，星期天xf(x)abxF(x)ba第11页,共32页，2024年2月25日，星期天1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)例2.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率第12页,共32页，2024年2月25日，星期天

进行大量数值计算时,若在小数点后第k

位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量其它应用场合第13页,共32页，2024年2月25日，星期天2.指数分布若X～则称X服从参数为

>0的指数分布，记作X~Ｅ(

),其分布函数为第14页,共32页，2024年2月25日，星期天1xF(x)0xf(x)0第15页,共32页，2024年2月25日，星期天对于任意的0<a<b,应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命

指数分布常作为各种“寿命”分布的近似第16页,共32页，2024年2月25日，星期天例3.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解第17页,共32页，2024年2月25日，星期天第18页,共32页，2024年2月25日，星期天若X~Ｅ(

),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上命题第19页,共32页，2024年2月25日，星期天正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布

炮弹弹落点距离发射点O距离X。X的概率密度应该是什么形态？大炮发射点OAB高尔顿钉板试验第20页,共32页，2024年2月25日，星期天其中为实数，

>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量第21页,共32页，2024年2月25日，星期天

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=

对称；

f()＝maxf(x)＝

.正态分布有两个特性：第22页,共32页，2024年2月25日，星期天(2)

的大小直接影响概率的分布。越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯(Gauss)分布第23页,共32页，2024年2月25日，星期天可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；第24页,共32页，2024年2月25日，星期天4.标准正态分布

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。第25页,共32页，2024年2月25日，星期天分布函数表示为其密度函数表示为第26页,共32页，2024年2月25日，星期天一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅

(x)的值。(P318附表2)如，若Z~N（0，1）,

（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(2)若X～N(,2)，则注：(1)(x)＝1－(－x)；第27页,共32页，2024年2月25日，星期天例4设X~N(1.2,4)，求：P(X<0.2);P(X>1.5);P(|X|<2);第28页,共32页，2024年2月25日，星期天例5某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从(110,122).在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,(1)求P{X<105},P{100<X<120};(2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05第29页,共32页，2024年2月25日，星期天注:X~N(110,122).第30页,共32页，2024年2月25日，星期天例6