2022-2023学年安徽省六安市霍邱县数学九年级第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子()

R

A.逐渐变短B.先变短后变长

C.先变长后变短D.逐渐变长

2.如图，圆锥的底面半径r为6cnz,高〃为8c机，则圆锥的侧面积为()

A.30nc»i2B.48ncm2C.60ncm2D.SOncm2

3.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是()

A.20cm2B.lOncmlC.lOncmlD.5ncm2

4.用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是()

A.圆B.矩形c.椭圆D.三角形

5.已知a#0,下列计算正确的是()

A.a2+a3=a5B.a2*a3=a6C.a34-a2=aD.(a2)

6.一种商品原价45元，经过两次降价后每盒26元，设两次降价的百分率都为X,则x满足等式()

A.26(1+2%)=45B.45(1-2%)=26C.45(1-%)2=26D.26(1+x)2=45

7.如图所示，抛物线>=以2+法+。的顶点为§(—1,3),与x轴的交点A在点(—3,0)和(—2,0)之间，以下结论:

@Z?2—4ac=0；@a+b+c>0；®2a—b=0；@c—a=3.其中正确的是()

pX

A.①②B.③④C.②③D.①③

已知。。的直径为8c机，尸为直线/上一点，OP=4cm,那么直线/与。。的公共点有（

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

9.抛物线丁=加+法+。（。/0）的对称轴为直线1=1,与x轴的一个交点坐标为4（4,0）,其部分图象如图所示.下

_

列叙述中：①Z?2<4ac；②关于x的方程or?+fcv+c=0的两个根是X=2,%2=4•③2a+/?=0；@a+b+c<0；

⑤当0<%<4时，丁随x增大而增大.正确的个数是（）

4x

10.同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案

平移后得到的图案是（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，在四边形A5C。中，ZBAD=ZCDA=90°,AB=1,CD=2,过A,B,O三点的。。分别交5C,CD于点

E,M9下列结论：

@DM=CM；②弧45=弧后跖③。。的直径为2；@AE=AD.

其中正确的结论有（填序号）.

12.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化

面积的增长率相同，那么这个增长率是.

13.请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：.

①图象位于第二、四象限；

②如果过图象上任意一点A作AB_Lx轴于点B,作ACLy轴于点C,那么得到的矩形ABOC的面积小于1.

14.在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字.先从袋中摸出

1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为.

15.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平

面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知ABLBD,CD1BD,测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该

古城墙的高度CD是米.

16.已知圆锥的侧面积为20?rcm2,母线长为5cm,则圆锥底面半径为cm.

17.如图，P为。外一点，出切。于点A,若上4=3,ZAPO=45°,则。的半径是.

18.一个布袋里放有5个红球，3个黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，二次函数产ax"x-3的图象与x轴交于4、3与y轴交于点C,顶点坐标为（1,-4）

(1)求二次函数解析式；

(2)该二次函数图象上是否存在点M,使SAM4B=SAG4B,若存在，求出点M的坐标.

20.(6分)如图，抛物线y=—]x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=1.

⑴求抛物线的解析式.

⑵若点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使得ABDP的周长最小，若存在，请

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

注：二次函数y=ax2+bx+c(a/))的对称轴是直线*=—匕.

21.(6分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)分别写出图中点A和点C的坐标；

(2)画出AABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的

(3)求点A旋转到点A'所经过的路线长(结果保留H).

22.(8分)定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABC。中，若

NA=NC,NBwND,则称四边形ABC。为准平行四边形.

(1)如图①，4,己氏。是。上的四个点，NAPC=NCPB=60°,延长到。，使AQ=AP.求证:四边形AQ3C

是准平行四边形;

（图①）

(2)如图②，准平行四边形ABC。内接于O,43+人£),5。=£)。，若)。的半径为5,A3=6,求AC的长;

(3)如图③，在Rt.ABC中，/。=90。,4=30。,5c=2,若四边形ABC。是准平行四边形，且NBCD/NBAD,

请直接写出6。长的最大值.

(图③)

23.(8分)如图，已知AABC,直线尸。垂直平分AC,与边A3交于E,连接CE,过点C作CP平行于R4交尸。于

点尸,连接A尸.

(1)求证：4AED义ACFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形.

(3)若AZ>=3,AE=5,则菱形AEC月的面积是多少？

24.(8分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线丁=以2+法+c(awO)的顶点坐标为C(3,6),并与y轴交于

点3(0,3),点A是对称轴与x轴的交点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连结BP、AP,求AABP的面积的最大值；

(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作ZACD=30°交抛物线于点。，求出。点的坐标;并探究:在J轴上是否存在点

。，使NCQD=60?若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

25.(10分)如图，在3c中，AB^AC,NA=30。，AB=10,以A5为直径的。。交5c于点O,交AC于点E,

连接OE,过点5作5尸平行于OE,交。。于点P,连接CP、OP.

(1)求证：点。为3c的中点;

(2)求AP的长度;

(3)求证：CP是。。的切线.

26.（10分）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高§m,与篮圈中心的水平距

离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功？

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到5处，他的影子则由短变长.

【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到5处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长.

故选B.

【点睛】

本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯光的照射下形成的影子

就是中心投影.

2、C

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果.

【详解】=8,r—6,

可设圆锥母线长为I,

由勾股定理，1=旧+©=1。，

圆锥侧面展开图的面积为：S«i=yXlX67rX10=60n,

所以圆锥的侧面积为GOncm1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可.

3、C

【解析】圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2,把相应数值代入,圆锥的侧面积=262x5+2=10;1.

故答案为C

4、B

【分析】利用圆锥的形状特点解答即可.

【详解】解：平行于圆锥的底面的截面是圆，故A可能；

截面不可能是矩形，故B符合题意；

斜截且与底面不相交的截面是椭圆，故C可能；

过圆锥的顶点的截面是三角形，故D可能.

故答案为B.

【点睛】

本题主要考查了截一个几何体所得的截面的形状，解答本题的关键在于明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与

截面的角度和方向有关.

5、C

【分析】结合选项分别进行同底数塞的乘法、同底数幕的除法、塞的乘方的运算，选出正确答案.

【详解】A、a?和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、aW=a5,原式计算错误，故本选项错误；

C、a3-ra2=a,计算正确，故本选项正确；

D、(a2)3=a6,原式计算错误，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了同底数幕的乘法、同底数暴的除法、幕的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键.

6、C

【分析】等量关系为：原价x(1-下降率)2=26,把相关数值代入即可.

【详解】解：第一次降价后的价格为45(1-x),

第二次降价后的价格为45(Lx)•(Lx)=45(Lx)2,

列的方程为45(1-x)2=26,

故选：C.

【点睛】

本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关

系为a(l±x)2=b.

7、B

【分析】根据二次函数的图象可逐项判断求解即可.

【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，

/.A>0,

•*-b2-4ac>0,故①错误；

由于对称轴为x=-l,

x=-3与x=l关于x=-l对称，

•；x=-3,y<0,

.♦.x=l时，y=a+b+c<0,故②错误；

b

•••对称轴为x=----=-1,

2a

,\2a-b=0,故③正确；

••・顶点为B(-l,3),

.\y=a-b+c=3,

y=a-2a+c=3,

即c-a=3,故④正确，

故选B.

【点睛】

本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型.

8、D

【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm,再根据数量关系进行判断.若则直线与圆相

交；若d=(，则直线与圆相切；若则直线与圆相离；即可得出公共点的个数.

【详解】解：根据题意可知，圆的半径r=4cm.

■:0P=4cm,

当OP，/时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；

当0尸与直线/不垂直时，则圆心到直线的距离小于4c机，所以是相交的位置关系，公共点有2个.

直线L与。O的公共点有1个或2个，

故选o.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系.特别注意OP不一定是圆心到直线的距离.

9、B

【分析】由抛物线的对称轴是x=l,可知系数a,b之间的关系，由题意，与X轴的一个交点坐标为4(4,0),根据

抛物线的对称性，求得抛物线与x轴的一个交点坐标为5(-2,0),从而可判断抛物线与x轴有两个不同的交点，进而

可转化求一元二次方程根的判别式，当尤=1时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其V的值是正数或负数.

【详解】抛物线的对称轴是x=l

b

-----1,2〃+Z?=0；③正确，

2a

与X轴的一个交点坐标为A(4,o)

二抛物线与与x轴的另一个交点坐标为5(-2,0)

二关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是石=-2,%=4；②正确，

当x=l时，y=a+b+c<0；④正确

抛物线与x轴有两个不同的交点

b2-4ac>0，b2>4ac则①错误；

当o<x<i时，y随％增大而减小

当1W%<4时，y随X增大而增大，⑤错误；

二②③④正确，①⑤错误

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常

见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.

10、B

【解析】根据平移的性质：“平移不改变图形的形状和大小”来判断即可.

【详解】解：根据“平移不改变图形的形状和大小”知：左图中所示的图案平移后得到的图案是B项，故选B.

【点睛】

本题考查了平移的性质，平移的性质是“经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的

线段平行且相等；平移不改变图形的形状、大小和方向”.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11>①②④

【分析】连接3。，BM,AM,EM,DE,根据圆周角定理的推论可判定四边形是矩形，进一步可判断①；在

①的基础上可判定四边形AMC3是平行四边形，进而得即可判断②；易证NAEM=NAOM=90。，DM=EM,

再利用角的关系可得NAOE=NAEO,继而可判断④；由题设条件求不出。。的直径，故可判断③.

【详解】解：连接5。，BM,AM,EM,DE,

VZBAD=9d°,...AD为圆的直径，/.ZBMZ>=90°,

:.ZBAD^ZCDA=ZBMD^90°,

：.四边形ADMB是矩形，/.AB=DM=1,

又,..CD=2,：.CM=1,：.DM=CM,故①正确；

'：AB//MC,AB=MC,二四边形AMC3是平行四边形，

：.BE//AM,：•AB=EM，故②正确；

AB=EM»^AB=EM=1,：.DM=EM,：.ZDEM=ZEDM,

"：ZADM=90°,...AM是直径，，NAEAf=NAZ>M=90。，

/.ZADE=ZAED,：.AD=AE,故④正确；

由题设条件求不出O。的直径，所以③错误；

故答案为：①②④.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定

与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握有关性质及定理是解本题的关键.

12、20%

【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x,再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解答：解：设这个增长率是x,根据题意得：

2000x（1+x）2=2880

解得：xi=20%,X2=-220%（舍去）

故答案为20%.

13、y=--,答案不唯一

X

【解析】设反比例函数解析式为丫=人,

X

根据题意得kvO,|k|<l,

当k取-5时，反比例函数解析式为y=--.

X

故答案为y=-*.答案不唯一.

X

1

14、-

8

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概

率公式求解.

【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下:

14

123

由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1,2”出现的情况有2种,

一21

；・P（美丽）

168

故答案为：—•・

8

【点睛】

本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

15、1.

jDpn

【解析】试题分析：根据题目中的条件易证AABPsaCDP,由相似三角形对应边的比相等可得二匕=上上，即

BPPD

2CD

-=----,解得CD=lm.

312

考点：相似三角形的应用.

16、1

【分析】由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20m:m2,求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧

长等于圆锥的底面周长求解.

【详解】解：由圆锥的母线长是5cm,侧面积是2（hrcm2,

根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l=—=—=8n,

r5

再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，

可得厂=—^―==lcm.

27r27r

故答案为：1.

【点睛】

本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键.

17、1

【分析】由题意连接OA,根据切线的性质得出OALPA,由已知条件可得4OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA

的长，即可求解.

【详解】解：连接OA,

「PA切。O于点A,

AOA1PA,

AZOAP=90°,

VZAPO=45°,

；.OA=PA=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂

直关系.

18、0.2

【分析】利用列举法求解即可.

【详解】将布袋里10个球按颜色分别记为红红2,红3,红4,红5,黄I，黄2,黄3,黑1，黑2,所有可能结果的总数为1。种，

并且它们出现的可能性相等

任意摸出一个球是黑球的结果有2种，即黑-黑z

2

因此其概率为：P=—=0.2.

【点睛】

本题考查了用列举法求概率，根据题意列出所有可能的结果是解题关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)j=x2-2x-3；(2存在，点M的坐标为(1+J7,3),(1-5,3)或(2,-3)

【分析】(1)二次函数7=0d+而-3的顶点坐标为(1,-4),可以求得“、》的值，从而可以得到该函数的解析式；

(2)根据(1)中求得的函数解析式可以得到点C的坐标，再根据SAMAB=SACAB,即可得到点M的纵坐标的绝对值等于

点C的纵坐标的绝对值，从而可以求得点M的坐标.

【详解】解：(1)•••二次函数y=a/+h-3的顶点坐标为(1,-4),

b「1

------=1a-\

**•<2a，得<,

。+6一3二一41一

，该函数的解析式为y=%2-2x-3；

(2)该二次函数图象上存在点M,使

•・？=d-lx-3=(x-3)(x+1),

・••当x=0时，y=-3,当y=0时，x=3或x=-L

•・•二次函数-3的图象与x轴交于4、6与y轴交于点C,

・•・点A的坐标为点b的坐标为(3,0),点。的坐标为(0,-3),

VS^MAB=S^CABf点M在抛物线上，

・••点M的纵坐标是3或-3,

当y=3时，3=x2-2x-3,得xi=l+J7,X2=l-;

当y=-3时，-3=x2-2x-3,得％3=0或"4=2；

...点M的坐标为(1+J7,3),(1-e，3)或(2,-3).

故答案为：⑴了=炉-2厂3；⑵存在，点M的坐标为(l+g,3),(1-J7,3)或(2,-3).

【点睛】

本题考查了二次函数与方程，几何知识的综合运用.将函数知识与方程，几何知识有机地结合起来，这类试题难度较

大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质，定理和二次函数的知识.

20、(2)y=--x2+-x+3(2)P(-,-)

2224

【详解】解：(2)VOA=2,OC=2,

AA(-2,0),C(0,2).

1

将C(0,2)代入y=——x9+bx+c得C=2.

2

ii9

将A(—2,0)代入y=—]X2+bx+3得，0=---(-2)+(-2)b+3,

解得b==,

2

1,1

二抛物线的解析式为丫=一5*2+万乂+3；

(2)如图：连接AD,与对称轴相交于P,

由于点A和点B关于对称轴对称，贝！JBP+DP=AP+DP,当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小.

设直线AD的解析式为y=kx+b,

—2k+b=0：k=二：

将A(-2,0),D(2,2)分别代入解析式得，〜,解得，2,

2k+b=2,,

I[b=1

二直线AD解析式为y=；x+2.

1

21

・・・二次函数的对称轴为x=------二,

2xbJ

115

，当x二一时,y=—x—+2=—

2224

/.P(-,-).

24

21、(1)4(0,4)、C(3,l)(2)见解析(3)当

【解析】试题分析：(D根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；(2)根据旋转图形的性质画出旋转后的

图形；(3)点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长.

试题解析:(1)A(0,4)C(3,1)

（2）如图所示:

⑶根据勾股定理可得：AC=3后'则；器=90祓也=孚小

考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式.

22、（1）见解析；（2）7725（3）273+2

【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等证明三角形ABC为等边三角形，得到NACB=60。，再求出NAPB=60。，根

据AQ=AP判定aAPQ为等边三角形，ZAQP=ZQAP=60°,故NACB=NAQP,可判断NQAO120。，ZQBC<120°,

故NQACYNQBC,可证四边形AQBC是准平行四边形；

（2）根据已知条件可判断NABC彳NADC,贝何得NBAD=NBCD=90。，连接BD,则BD为直径为10,根据BC=CD

得4BCD为等腰直角三角形，则NBAC=NBDC=45。，在直角三角形BCD中利用勾股定理或三角函数求出BC的长，

过B点作BE_LAC,分别在直角三角形ABE和ABEC中，利用三角函数和勾股定理求出AE、CE的长，即可求出

AC的长.

（3）根据已知条件可得：ZADC=ZABC=60°,延长BC到E点，使BE=BA,可得三角形ABE为等边三角形，ZE=60°,

过A、E、C三点作圆o,则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上（点A、点E除外），连接BO交弧AE于D

点，则此时BD的长度最大，根据已知条件求出BO、OD的长度，即可求解.

【详解】（1）VZAPC=ZCPB=60°

.•.ZABC=ZBAC=60°

AABC为等边三角形,NACB=60。

■:ZAPQ=180°-ZAPC-ZCPB=60°

又AP=AQ

.,.△APQ为等边三角形

NAQP=NQAP=60°

.\ZACB=ZAQP

■:ZQAC=ZQAP+ZPAB+ZBAC=120°+ZPAB>120°

故NQBC=360°-/AQP-NACB-NQACV120°

・•・ZQAC^ZQBC

・・・四边形AQBC是准平行四边形

(2)连接BD,过B点作BE_LAC于E点

--------

\E

6K,0・…淞

・••准平行四边形ABC。内接于O,AB^AD.BC=DC

・・・NABCrNADC,ZBAD=ZBCD

VZBAD+ZBCD=180°

.\ZBAD=ZBCD=90°

・・・BD为O的直径

V)0的半径为5

ABD=10

VBC=CD,ZBCD=90°

.*.ZCBD=ZBDC=45O

.\BC=BDxsinZBDC=10x—=572，ZBAC=ZBDC=45°

VBE±AC

:.ZBEA=ZBEC=90°

:.AE=ABxsinZBAC=6x型二3近

2

VZABE=ZBAE=45°

:.BE=AE=35/2

在直角三角形BEC中，EC=7^2-BE2=4也

，AC=AE+EC=7夜

(3)在中，NC=90°,NA=30。

:.NABC=60°

,/四边形ABCD是准平行四边形，且ZBCD丰ABAD

：.ZADC=ZABC=60°

延长BC到E点，使BE=BA,可得三角形ABE为等边三角形，ZE=60°,过A、E、C三点作圆o,因为NACE=90。,

则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上（点A、点E除外），此时，ZADC=ZAEC=60°,连接BO交弧AE于

D点，则此时BD的长度最大.

在等边三角形ABE中，ZACB=90°,BC=2

/.AE=BE=2BC=4

，OE=OA=OD=2

/.BO±AE

.*.BO=BExsinZE=4x—=2也

2

.,.BD=BO+OD=2+2A/3

即BD长的最大值为2+273

【点睛】

本题考查的是新概念及圆的相关知识，理解新概念的含义、掌握圆的性质是解答的关键，本题的难点在第（3）小问,

考查的是与圆相关的最大值及最小值问题，把握其中的不变量作出圆是关键.

23、（4）证明见解析；（4）证明见解析；（4）4

【解析】试题分析：（4）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE,AD=CD,由CF〃AB,得到

ZEAC=ZFCA,NCFD=NAED,利用ASA证得△AED义Z\CFD；

(4)由4AED会4CFD,得至UAE=CF,由EF为线段AC的垂直平分线，得至！]EC=EA,FC=FA,从而有EC=EA=FC=FA,

利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；

(4)在RtAADE中，由勾股定理得到ED=4,故EF=8,AC=6,从而得到菱形AECF的面积.

试题解析：(4)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，，AE=CE,AD=CD,VCF#AB,/.ZEAC=ZFCA,

NCFD=NAED,在AAED与ACFD中，VZEAC=ZFCA,AD=CD,NCFD=NAED,/.AAED^ACFD；

(4)VAAED^ACFD,/.AE=CF,；EF为线段AC的垂直平分线，/.EC=EA,FC=FA,.*.EC=EA=FC=FA,:.

四边形AECF为菱形；

(4)在RtAADE中，VAD=4,AE=5,；.ED=4,；.EF=8,AC=6,；.S菱形AECF=8X6+4=4,二菱形AECF的面积是4.

考点：4.菱形的判定；4.全等三角形的判定与性质；4.线段垂直平分线的性质.

24、(1)y=-1.V+2x+3；(2)当〃=g时，"吗最大值为孩；⑶存在，Q点坐标为仅3@或(0,—3⑹，

理由见解析

【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看SAPAB=SABPO+SAAPO-SAAOB,^

p[,-g〃2+2〃+3]求出关于n的函数式，从而求S4PAB的最大值.

(3)求点D的坐标，设D«,-g产+2f+3],过D做DG垂直于AC于G构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值

来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点。，使NCQD=60?根据以上条件和结论可知NCAD=120°,是

NCQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样

的点，就存在Q点.

【详解】解：(1)抛物线顶点为(3,6)

二可设抛物线解析式为y=4尤-3)2+6

将3(0,3)代入V=。(％—3)2+6得

3=9Q+6

1

a=—

3

191

抛物线y=--(%-3)-+6,即y=-j%2+2%+3

（2）连接OP,BO=3,04=3,

BO

设P点坐标为卜，-+2n+3

113

S^PO=-BO-PxX=-3.n=-n

即0°222

，OA，P

SAPAO=~y=展3.(--ir+2n+39

--n2+3nH—

22

119

S=-OA.BO=-X3X3=-

AMARB0O222

_3f1,991,9If9?81

c=n+-n+a+

SM>BA^|2^2—=—nH——n=—zz—H----

2222^2j8

981

.•.当〃=彳时，S"以最大值为g

28

(3)存在，设点D的坐标为，2+2f+3

过。作对称轴的垂线，垂足为G,

则£>G=(—3,CG=6—+2,+3)

ZACD-30

:.2DG=DC

在及ACGD中有

CG=y/CD2+DG2=^DG2-DG2=币DG

.•.百("3)=6—；产+27+3)

化简得（3-1卜-3-3四）=0

.ri=3（舍去），t2=3+3A/3

；•点D（3+36,-3）

AG=3,GD=3y/3

连接AO,在HAADG中

AD=y/AG2+GD2=^/9+27=6

AD=AC=6,ZCAD=120

，。在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上

此时ZCQD=^ZCAD=60

设Q点为（0,m）,AQ为A的半径

贝！］AQ2=OQ2+OA2,62=m2+32

即9+W=36

Wf=3^3,7172=—3^/3

综上所述，Q点坐标为（0,36）或（0,-36）

故存在点Q,且这样的点有两个点.

【点睛】

⑴本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；

⑵本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积

的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式，然后求出最值.

⑶先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

25、(1)BD=DC；(2)172；(3)详见解析.

【分析】(1)连接AD,由圆周角定理可知NADB=90。，证得结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到AD平分NBAC,即NBAD=NCAD,可得=则BD=DE,所以BD=DE=DC,

得到NDEC=NDCE,在等腰AABC中可计算出NABC=71。，故NDEC=71。，再由三角形内角和定理得出NEDC的度

数，再根据BP〃DE可知NPBC=NEDC=30。，进而得出NABP的度数，然后利用OB=OP,可知NOBP=NOPB,由

三角形内角和定理即可得出NBOP=90。，则AAOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；

(3)设OP交AC于点G,由NBOP=90。可知NAOG=90。，在Rt^XAOG中，由NOAG=30。可得四=工，由于℃

AG