规律探究性问题-中考复习讲义及练习（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题34规律探究题专训

规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律

的数、式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其

间的一般性规律。这类较为新颖的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养

创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合性和较高的区分度，因此成为近年各地中

考数学中的一个考查热点。

H（2022•西藏・统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：ɔ-jɪ,-ɪ,ɪ,

1-----*12521726

-ɪɪ,....则按此规律排列的第IO个数是（）

19「2119C21

A.------B.----C.-----D.—

1011018282

【答案】A

【分析】把第3个数转化为：ɪ,不难看出分子是从1开始的奇数，分母是/+ι,且奇数

项是正，偶数项是负，据此即可求解.

1a57Q11

【详解】原数据可转化为：ʌ-f,⅛,--⅛,⅛,-⅛,∙∙∙,

25IO172637

2+12×2-l

-i=(-i)×22+l

2x3-1

32+l

第〃个数为：（T）'

2×10-l19

•••第10个数为：（-1）=—

IO2+31101

故选：A.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律.

瓯（2022•山东济宁・统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第

一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此

规律，第一百幅图中圆点的个数是（）

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图

A.297B.301C.303D.400

【答案】B

【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点

的个数.

【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4+3x0,

第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×l;

第3幅图10个圆点，即4+3+3=4+3x2;

第4幅图13个圆点,即4+3+3+3=4+3x3:

第"幅图中，圆点的个数为：4+3（〃-1）=3〃+1,

第100幅图，圆中点的个数为：3×1OO+1=3O1.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律.

瓯（2022•新疆・统考中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

2

46

S1012

14161820

2224262830

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

A.98B.100C.102D.104

【答案】B

【分析】观察数字的变化，第〃行有“个偶数，求出第〃行第一个数，故可求解.

【详解】观察数字的变化可知：

第〃行有〃个偶数，

因为第1行的第1个数是：2=lχ0+2；

第2行的第1个数是：4=2×l+2：

第3行的第1个数是：8=3×2+2;

所以第〃行的第1个数是：〃(〃-1)+2,

所以第10行第1个数是：10×9+2=92,

所以第10行第5个数是：92+2×4≈100.

故选：B.

【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键.

亟(2022•重庆.统考中考真题)把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中

有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去,

则第⑥个图案中菱形的个数为()

①②③

A.15B.13C.11D.9

【答案】C

【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1;第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图

案中菱形的个数："2x2=5；…第”个图案中菱形的个数：1+2(〃-1),算出第⑥个图案

中菱形个数即可.

【详解】解：；第①个图案中菱形的个数：1;

第②个图案中菱形的个数：1+2=3；

第③个图案中菱形的个数：l+2x2=5;

第〃个图案中菱形的个数：1+2(n-1),

则第⑥个图案中菱形的个数为：l+2x(6-l)=ll,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据己知图案IH纳出图案个数的变化

规律.

@3(2022・重庆•统考中考真题)用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中

有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中

有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为()

◊◊◊OOOOOOO

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

O◊◊OOO◊◊◊◊

①②③④

A.32B.34C.37D.41

【答案】C

【分析】第1个图中有5个正方形,第2个图中有∙9个正方形,第3个图中有13个正方形，……,

由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第〃个图形的算式,

然后再解答即可.

【详解】解：第1个图中有5个正方形；

第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4xl;

第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2;

第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4x3;

第"个图中有正方形，可以写成：5+4(H-1)=4n+1；

当”=9时，代入4”+1得：4×9+l=37.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字

之间的规律是解决问题的关键.

瓯(2022・内蒙古•中考真题)观察下列等式：7°=1,7'=7.72=49,73=343.74=2401,

r=16807,…根据其中的规律可得70+7∣+L+7欧2的结果的个位数字是()

A.OB.IC.7D.8

【答案】C

【分析】观察等式，发现尾数分别为：1,7,9,3,1,7,9,3…每4个数一组进行循环，

所以2023+4=505...3,进而可得7°+7∣+…+7历的结果的个位数字.

【详解】解：观察下列等式：

70=1.7'=7,7?=49,73=343,74=2401.75=16807.…，

发现尾数分别为：

1,7,9,3,1,7,…，

所以和的个位数字依次以1，8,7,O循环出现，

(2022+1)÷4=505……3,

每4个数一组进行循环，

所以2023+4=505……3,

而1+7+9+3=20,

505×20+I+7+9=10117,

2

所以7。+7'+...+7≡的结果的个位数字是7.

故选：C.

【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律.

瓯（2021・云南•统考中考真题）按一定规律排列的单项式：/,4/,9/,16/,25/,……，

第〃个单项式是（）

2+2,,n+2,

A.na"'B.na"-'C.na'D.（n+l）√

【答案】A

【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从

I开始依次加1,然后即可写出第〃个单项式，本题得以解决.

【详解】解：；一列单项式：α2,4α3,9α4,16α5,2506,…，

二第〃个单项式为〃%向，

故选：A.

【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化

特点，求出相应的单项式.

画（2022•内蒙古鄂尔多斯.统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为!，金，《，兽

1-----1251017

按此规律排列，则第30个数是.

_88

r【答案】而

【分析】由所给的数,发现规律为第〃个数是当〃=3。时即可求解.

【详解】解：∙.g,pɪ.捍…

••・第〃个数是

3/?-23x30-2_88

当〃=30时,

n2+1302+l-^9(H

QQ

故答案为：坛「

【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键.

H（2022•湖北恩施♦统考中考真题）观察下列一组数：2,,，.・.，它们按一定规律

112

排列，第∏个数记为an,且满足一+--="-.则aA=,a2022=

anan+2an+∖

ɪ1

【答案】

53032

【分析】由题意推导可得4〃=°,2即可求解.

【详解】解：由题意可得：6//=2=p242=1]=(2,03=21,

1

/.2÷——=7,

%

,2

••3=13'

12

同理可求uβ=~=—，l

816

2

an-----------,

3(/?-1)+1

2]

・・a2022=

60643032

故答案为：Γ⅛

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.

i~∏⅜(2022.浙江舟山•中考真题)观察下面的等式：∣=→∣,∣=→⅛,∣=→^J,

(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含〃的等式表示，〃为正整数)

(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

【答案】⑴+

nn+1n(n+l)

(2)见解析

【分析】(1)根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2,第二个式子的左边分

母为3,第三个式子的左边分母为4,…；右边第一个分数的分母为3,4,5.........另一个

分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1;所以第(n+1)个式子为

1ɪI

—=------H------------.

nn+1〃(〃+1)

(2)由(I)的规律发现第(n+1)个式子为,=—1+=/，用分式的加法计算式子右

n/7+1n(n+∖)

边即可证明.

11111

【详解】(1)解：•••第一个式子]=]+q=二γ+至而,

11I11

第一个式J3-4+12-3+T+3(3+l),

第二个式子Z=《+茹=TTi'+4(4+1)，

第(n+l)个式子,=一、+7二；

nH+1π(∕7+l)

..,,11n1π+l1.,

(2)解rl：・；右边二τ÷———=~;——÷-τ——=-7—7?=一=左%边，

π+ln(n+ι)w(π+l)n(n+ι)n(n+l)n

.∙.—1=--1-1---1--.

*nn+1〃(〃+1)

【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现

其中各分母的变化规律.

mɪl(2022•安徽•统考中考真题)观察以下等式：

第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+l)2-(2×2)2,

第2个等式：(2X2+1)2=(3X4+1)2-(3*4)2,

第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,

第4个等式：(2χ4+iy=(5χ8+l)'-(5x8)2,

按照以上规律.解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含〃的式子表示)，并证明.

【答案】⑴(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6×10)2

(2)(2〃+1)?=[5+1)•2〃+1]-[(〃+1)∙2n]2,证明见解析

【分析】(1)观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；

(2)观察相同位置的数变化规律可以得出第〃个等式为

(2n+1)2=[(«+1)∙2n+1]2-[(n+1)-2n]2,利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变

形即可证明.

【详解】(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：

(2×5+l)2=(6×10+l)2-(6×10)2,

222

故答案为:(2×5+l)=(6×10+l)-(6×10)i

(2)解:第〃个等式为(2r+l)2=[(zι+D∙2"+l]2-[(〃+l)∙2"]2,

证明如下：

等式左边：(2〃+1)2=4/+4〃+1,

等式右边：[(n+l)∙2n+l]2-[(n+l)∙2Λ]2

=[(n+l)∙2∕j+l+(n+l)∙2rt]∙[(n+l)∙2n+l-(∕J+1)∙2Π]

=[(n+l)∙4∕ι+l]×l

=44+4∕ι+l»

故等式(2〃+1P=[(〃+1)∙2w+1『一[(/+1).2〃『成立.

【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公

式是解题的关键.

(2021•山东青岛・统考中考真题)问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？(整数边三角形是指三边长度都是整数的三角

形.)

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的

结论.

(1)如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是1.按照

(最长边长，最短边长，第三边长)的形式记为(LU),有1个，所以总共有IXI=I个整数

边三角形.

表①

最长边最短边(最长边长，最短边长，第三边整数边三角形个计算方算

长长长)数法式

I1(LLi)11个1Ixl

(2)如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和

大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2,记为(2』,2),有1个；当最短边长为

2时，显然第三边长也是2,记为(2,2,2),有1个，所以总共有1+I=lχ2=2个整数边三角

形.

表②

最长边最短边（最长边长，最短边长，第三边整数边三角形计算方算

长长长）个数法式

1（2』，2）1

22个11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边最短边（最长边长，最短边长，第三边整数边三角形计算方算

长长长）个数法式

1（3,1,3）1

（3,2,2）,（3,2,3）

3222个22x2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:

表④

最长边最短边（最长边长，最短边长，第三边整数边三角形计算方

算式

长长长）个数法

1（4』，4）1

（4,2,3）,（4,2,4）

22

43个22×3

（4,3,3）,（4,3,4）

32

4（4,4,4）1

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边最短边(最长边长，最短边长，第三边整数边三角形个计算方算

长长长)数法式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

53————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

问题解决：

(I)最长边长为6的整数边三角形有个.

(2)在整数边三角形中，设最长边长为“，总结上述探究过程，当“为奇数或"为偶数时,

整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为〃的整数边三角形的个数.

(3)最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

【答案】问题探究：见解析：问题解决：(1)12；(2)当”为奇数时，整数边三角形个数

为止亚；当”为偶数时，整数边三角形个数为地兽；(3)4160：拓展延伸：295

44

【分析】问题探究：

根据(1)(2)(3)(4)的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；

问题解决：

(1)由最长边长分别为1,2,3,4,5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最

长边长为6时的三角形的个数；

(2)分两种情况讨论：当〃为奇数，当〃为偶数，再从具体到一般进行推导即可；

(3)当最长边长”=128时，”为偶数，再代入吗辿进行计算，即可得到答案；

拓展延伸：

分两种情况讨论：当9是底边的楼长时，由最长边长为9的三角形个数有：色包=竺2=25

44

个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1,2,3,4,5,6,7,8,底边三角形

共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70个，从而可得答案.

【详解】解：问题探究:

最长边最短边(最长边长，最短边长，第三边整数边三角形计算方

算式

长长长)个数法

53(5,3,3),(5,3,4),(5,3,5)33个33×3

问题解决：

(1)最长边长为1的三角形有：Ixlf,

最长边长为2的三角形有：1x2个，

最长边长为3的三角形有：2x2个，

最长边长为4的三角形有：2x3个，

最长边长为5的三角形有：3x3个，

所以最长边长为6的三角形有：3*4=12个,

故答案为：12

(2)由(1)得：

1+1i个,

最长边长为1的二角形有：Ixl=V

3+1i个,

最长边长为3的三角形有：2x2=2?

第个,

最长边长为5的三角形有：3x3=32=

所以当〃为奇数时，整数边三角形个数为堡包;

4

最长边长为2的三角形有：1x2=；2X个2+2个，

22

最长边长为4的三角形有：2x3=?4x手4+2个，

22

最长边长为6的三角形有：3χ4=gχ号个，

22

所以当〃为偶数时，整数边三角形个数为吗

4

(3)当最长边长〃=128时，九为偶数,

可得此时的三角形个数为：迪坦=128(128+2)=64χ]3o=416O.

42

故答案为:4160

拓展延伸：

当9是底边的棱长时，

最长边长为9的三角形个数有：如Di=约2=25个，

44

而直三棱柱的高分别为：I,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以这样的直三棱柱共有：25x9=225个，

当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1,2,3,4,5,6,7,8,

底边三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70个，

所以这样的直三棱柱共有：70个，

综匕满足条件的直三棱柱共有225+70=295个.

故答案为：295.

【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时

考查/立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都

是解题的关键.

厚命题自曲

一、递进式变化规律

递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律（递增或

递减）排列的数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的

一般规律。学生很容易看出题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个

统一的表达式来表示变化的一般规律，而变化的一般规律常常与已知量的排列序

号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中的排列顺序给已知量编上

序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之间的数量关

系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回

表达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出

最终结果。

1、数与式的递进变化规律

这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式

或代数式等，要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知

量（若没直接给出则需根据题目的信息求出来）的变化部分找出与它们对应的排

列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

2、图形变化中的数量递进变化规律

与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案

的个数、图形的周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要

仔细观察并找出图形变化与不变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的

规律，找出不变部分的固定数量，分析变化部分的数量与对应的图形排列序号之

间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

3、图表中的数字递进变化规律

这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每

行'每列中的数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，

此外还应观察图表中的数与它所处的列数和行数间的数量变化规律。

,曾盅恻缭

【变式1】（2022•重庆铜梁•铜梁中学校校考模拟预测）下列中国结图形都是边长为“1”的正

方形按照一定规律组成，第①个图形中共有7个边长为“1”的正方形，第②个图形中共有12

个边长为“1”的正方形，第③个图形中共有17个边长为“1”的正方形，…，依此规律，第⑥

个图形中边长为“1”的正方形的个数是（）

【答案】D

【分析】根据图形规律，发现后一个图形比前一个多5个，归纳出通用公式代入求值即可.

【详解】解：第①个图形边长为1的小正方形有7个，

第②个图形边长为1的小正方形有7+5=12个，

第③个图形边长为1的小正方形有7+5x2=17个，

第"个图形边长为1的小正方形有7+5（〃-1）=5〃+2个，

所以第⑥个图形中边长为1的小正方形的个数为5x6+2=32个.

故选：D.

【点睛】本题考查了观察了数字规律探索；根据相邻数字找到规律，推出规律公式是解题的

关键.

【变式2］（2022.重庆.重庆八中校考二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第

①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆

点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOO

①②③

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可.

【详解】解：第①个图案中有4个黑色三角形，

第②个图案中有4+2×l=6个黑色三角形，

第③个图案中有4+2×2=8个黑色三角形，

按此规律排列下去，则第〃个图案中黑色三角形的个数为4+2x（"-l）=2"+2,

，第⑦个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16,

故选：C.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第〃个图案

中黑色三角形的个数为2〃+2.

【变式3】（2022•山西•山西实验中学校考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由

边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中

有2021个涂有阴影的小正方形.

卷卷图＞^••

第一个第二个第三个

【答案】505

【分析】根据第一个图案有5+4x0=5个小正方形有阴影，第二个图案有5+4x1=9个小正

方形有阴影，第三个图案有5+4x2=13个小正方形有阴影，则第”个图案有5+4（〃-1）个小

正方形有阴影，据此规律进行解答即可.

【详解】解：Y第一个图案有5+4x0=5个小正方形有阴影，

第二个图案有5+4x1=9个小正方形有阴影，

第三个图案有5+4x2=13个小正方形有阴影，

第〃个图案有5+4(〃-l)个小正方形有阴影，

根据题意得:5+4("-l)=2021,

解得：n=5Q5,

.∙.第505个图案中有2021个涂有阴影的小正方形，

故答案为：505.

【点睛】本题考查了图形的变化规律，读懂题意，根据图形得出相应的规律是解本题的关键.

【变式4](2022•山东泰安・模拟预测)我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨

辉三角”就是一例，例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(α+Z√=α2+2"+^

展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(.+/2)3=/+3/0+34"+//展

开式中的系数；……请根据规律直接写出(。+6)4的展开式.

1

11(α+9

XZ/,、2

【答案】4+24/+216/+8644+1296

【分析】先根据图形得出第五行的四个数是1,4.6,4，1，再求出答案即可.

【详解】解：根据题意得：第五行的四个数是1，4，6,4，1，

即(4+6)，展开式中的系数依次为1,4,6,4,1,

(α+6)4

=a4+40,×6+6a2×62+4a×6,+64

=a4+244，+2166+864«+1296，

故答案为：«4+24a,+216«2+864«+1296.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知图形得出规律是解此题的关键.

【变式5](2022.浙江台州.统考二模)浙江从3月6日至3月20日新增新冠确诊人数和无

症状人数情况如下表，根据表中数据绘制出如下的折线统计图，请根据统计图表分析：

日期67891011121314151617181920

确诊1616182454154328383223303

无症状34883334311371712822242617

(1)在统计的这段时期内，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少个确诊的新冠病人？

(3)请比较分析这段时间确诊人数与无症状感染人数的整体水平与变化规律，并对下阶段防

疫工作提出一条合理化的建议.

【答案】(1)2

⑵21

(3)见解析

【分析】(1)从表格获取数据，将新增确诊与无症状感染者的人数相加，进行判断；

(2)求确诊人数的平均数即可.：

(3)根据表格与折线统计图分析数据变化规律，结合实际情况提出建议即可.

(1)

解：分析表格数据可知，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有2天，分别

是：3月11日，3月12日；

(2)

1+6+1+6+18+24+54+15+43+28+38+32+23+30+3、，，，、

解：-------------------------------------------------≈21(A).

答：3月6日至3月20日平均每天有21个确诊的新冠病人.

(3)

解：由折线统计图可得，这段时间确诊人数整体在1~54范围内波动，总体变化大致是先增

加，后减少；而无症状感染者人数每天在3~43范围内波动，总体呈反复增减变化情况，根

据疫情实际情况，建议大家做好防范，出门一定要戴好口罩，尽量不大量聚集.

【点睛】本题考查统计图表，求平均数，从表格和折线统计图中获取信息是解题的关键.

0氟题(S究

gl](2022.山东烟台.统考中考真题)如图，正方形ABCQ边长为1,以AC为边作第2个

正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH,…，按照这样的规律作下去，第6个

正方形的边长为()

A.(2√2)5B.(2√2)6C.(√2)5D.(亚L

【答案】C

【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的0，第1个正方形的边长为1,其对

角线长为近：第2个正方形的边长为近，其对角线长为第3个正方形的边长为

(√2)∖其对角线长为(&)'；•••；第〃个正方形的边长为(忘)”二所以，第6个正方形的

边长(⑹二

【详解】解：由题知，第1个正方形的边长AB=1,

根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC=&，

根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF=(&『，

根据勾股定理得，第4个正方形的边长G尸=(&『，

根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN=(&『，

根据勾股定理得，第6个正方形的边长=(√Σ),∙

故选：C.

【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到正方形边长之间的正倍关系是解题的

关键.

瓯(2020•山东烟台・统考中考真题)如图，△OAA为等腰直角三角形，OA∣=1,以斜

边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,

A.(夜八B.(忘)njC.(―)nD.(―)"I

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,依据规律即可得出答案.

【详解】解：∙∙∙AOA∣A2为等腰直角三角形，OAi=I,

OA2=√2;

∙.∙ΔOA2A3为等腰直角三角形，

2

.∙.OA3=2=(√2);

∙.∙AOA3A4为等腰直角三角形，

3

/.OA4=2λ∕2—(V2).

•.•△OA4A5为等腰直角三角形，

4

.∙.OA5=4=(√2),

.∙.OAn的长度为(加)叫

故选：B.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解

题关键.

瓯(2022∙黑龙江•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A，4，A3,4……

在X轴上且OA=1，OA1IOAx,OA5=2OA2,。4=2。4……按此规律，过点A，4,4,

A)……作X轴的垂线分别与直线y=Gx交于点可，层，B3,B4……记。4£,AOA2B2,

用，OA4B4……的面积分别为S∣,S2,邑，S4……,则Szo22=.

【答案】24n4'√3

【分析】先求出A耳=百，可得Sog=与,再根据题意可得

AB1〃A2B2〃A3B3〃……〃A11B,,,从而得到

.OA∣B∣S∕∖OA2B2SAoAB3S..OA4BiS.......∞AnBn,再利用相似三角形的性质，可得

，；

OA1B1∙,OA,tii∙OA,Bi∙OA4B,•........∙OΛ,,B,,=1：2^：（2'）：（2，）：：（2）,即可求

解.

【详解】解：当χ=l时，y=√L

.∙.点4"）,

.∙.A4=5

∙'∙SOABl=∙∣×l×^=∙y•

•••根据题意得：ABI〃A2B?〃AB3〃……A11B11,

.OA1B1S∕∖OA2B2S,OAyB3SλOA4B4S.......S∕∖OAtlBn,

222

∙*∙SOAlB1：SOA2B?∙S0A3B3：SOAJ名：.......:SOArtBfI=0A∣:OA^:OA3:.........:OAnf

OA1=1,OA2=2。A,OA3=2OA2,OA4=2。4,........

25,,l

OA2=2,OA3=4=2,OA4=8=2,.......,OAn=2^,

•C∙C∙C∙C∙∙C

■∙D.D・D・ɔOAB....................ɔ

OAiBlOA2B2OAyB314OAnBtl=

1:22:（22J:（23）2::（2"T=I：22:24:26:

220222404l

.∙.⅛2=2×-×^=2√3.

故答案为：2404,√3.

【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确

得到规律，是解题的关键.

瓯4.(2022.辽宁锦州.统考中考真题)如图，4为射线QN上一点，片为射线上一

点，NtAO=60。,OA=3,娱A=I.以为边在其右侧作菱形AMG乌,且

/8/2=60。,GQ与射线QM交于点名，得VGBlB2；延长与A交射线QN于点4,以

为边在其右侧作菱形4坊。2。2,且NB∕22=6()O,G2与射线OM交于点鸟，得vc/A

o

延长BiD2交射线ON于点4,以ByAi为边在其右侧作菱形AyBiC3D3,且ZB3A3D3=60,C3D,

与射线OM交于点与，得按此规律进行下去，则4¢20228202282023的面积

G

【分析】过点用作8QJ.OA于点。，连接用R,B25,B3D3,分别作

B2H1B,D1,B3G1B2D2,B4EIB3D3,然后根据菱形的性质及题意可得

BiDl∕∕OA,jB2D2∕∕OArB3D,∕∕OAi,则有

/ɜ

tanZO=tanZB2B1D1=tanZB3B2D2=tanZB4B3D3=5-,进而可得出规律进行求解.

【详解】解：过点用作用。，。A于点。，连接BRBD2BD3,分别作

B2H±B1D1,B3GXB2D2,B4E1B3D3,如图所示：

NBlDO=NBlDAI=ZB2HD1=ZBfiD2=ZB4ED3=90°,

・.•ZB1A1O=60°,

・・.ZDB1ʌ=30°,

VBlAi=1,OAi=3,

.∙.DA=lβ,A=pOD=^,

,22

..B1D=y∣AiBt-AiD=ɪ,

BD√3

「・tanNO=1

θF-T

・・・菱形AIBCIA，KZB1AD1=60°,

∙∙.MBQ是等边三角形，

o

.*.ZABlDl=60,BR=A1B1=1,

o

∙/ZA1B1D1=ZOA1B1=60r

JOAj/BR,

：.ZO=ZB2B1D1,

∕ξ

*

..tanZB2B1D1=tanNO二手，

设B2D1=x,

βo

.∙Zβ2D,H=60,

o

∙∙.HD、=B2D1∙cos60=∣x,S2W=B2D1sin60。=弓x,

∙*"=tan为H=K

:∙1吗“解得:x=-1

3

・•.BQ=；,

4

/.A2B2=-,

416

同理可得：B3D2=-,B4D3=-,

4员=£,AB」=称,

由上可得：4纥=0，B*.=/

,√320212021

S.CN>22%22%J23SC如2/22侥!022S^2OB¾>22¾)22×l×≡

一426r

故答案为

【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质

及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质

及三角函数是解题的关键.

瓯（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，ZAOB=60。，点［在射线。4上，且。［=1,

过点<作A交射线OB于在射线OA上截取《舄，使［鸟=［%；过点鸟作

P2K2IOA交射线OB于K2,在射线OA上截取P簿，使=BK?.按照此规律,线段P1023K2023

【分析】解直角三角形分别求得EK,P2K2,P5K3,....探究出规律，利用规律即可解

决问题.

【详解】解：qK∣LOA,

片段是直角一角形，

在用OEKl中，ZAoB=60°,OPt=I,

o

.-.PlP1=PxKx=O^∙tan60=√3,

.PtKl1OA,P2K2LOA,

：.PK//p2κ2,

.-./XOP2K2S∕∖ORK∣,

.P2K2=OP2

"PiκlOP1,

.P2K2∖+y[3

.∙.P2K2=√3(l+√3),

同理可得：63=石(1+石『，BKa=百(1+月丫......

.∙.^Λ,=√3(l+√3f',

,'∙^2023^2023=ʌ/ɜ（ɪ+小）,

故答案为：e（ι+G）-

【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，

解题的关键是学会探究规律的方法.

厚命题线函

二、循环变化规律

循环类规律题中的数、式、图形或坐标等内容的变化中有着循环规律，它们有着一

定的排列顺序和固定的循环周期，并根据特定的循环周期间隔出现。解决此类问题首先

应发现题目中的循环规律并找出循环周期，明确循环周期中的量的个数和变化规律，然

后根据实际问题求出循环周期的个数及余数，最后结合题目的要求和所得数据解出答

案。

1、数与式的循环变化规律

这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字或代数式。计算并观察题目规律中

前若干项的结果，当发现这些数字或代数式存在循环规律时，找出循环周期并结合题目

要求算出循环周期的个数及余数是解决此类问题的关键。

2、图形变化中的坐标循环变化规律

这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应

坐标的数字存在着循环变化的规律。解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和

分析某点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的

个数及余数，进而得出要求的坐标。

,曾就硼演

【变式1］（2022•山东济宁•校考二模）如图，在正方形ABCBl中，AB=百，AB与直线/所

夹锐角为60,延长C4交直线/于点A，作正方形A4G4,延长交直线/于点&,作

正方形A/K/c延长GS,交直线/于点儿,作正方形A3BCsa…，依次规律，则线段

A2O2↑A2O22=（）

B,

Ci

A.2×B.2×C.2×D.2×

【答案】C

【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出A内、A2B2.AyBy,以此类推找到规律求出

^2022^2022,最后根据为∙4o2l4o22“2O