2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：四边形(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形

一.选择题（共12小题）

1.（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABC。中，AB=5,AO=8,NBA。的平分线

交BC于点、E,交。C的延长线于点尸.若AE=6,则的周长为（）

F

A.13B.10.5C.10D.9.6

2.（2022•堇B州区校级模拟）如图，在△ABC中，ZACB=90°,以AB为边向上作正方形

ABDE,以AC为边作正方形ACFG,点E落在GF上，连结CO,DF.若要求出五边形

ACDFE的面积，则只要知道（)

△ABC的面积D.△。所的面积

3.（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCZ）,如图所示.连结CH,

延长£尸交CH于点G,作PG_LCH交于点P,若AH=2DH,则二的值为（）

4.（2022•宁海县校级模拟）将矩形A8CD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④

⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN,若AM=1,DE=4,EF=3,那

A.20B.24C.30D.45

5.（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABC。中，过点C作CEL2C交2D于点E,若/区4。

=118°,贝！J/CEB=（）

A.59°B.62°C.69°D.72°

6.（2022•乐清市三模）如图，在正方形A8CZ）内有一点E,ZA£B=90°,以CE,DE为

邻边作回CEDE,连结ER若A,E,尸三点共线，且△AD尸的面积为10,则CE的长为

（）

A.2B.V5C.2V2D.V10

7.（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，A8=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,

EF//AC,GF//AB,则四边形AEPG的周长是（）

A

C.24D.32

8.（2022•邺州区模拟）如图，正方形ABC。的边长为2vL直线所经过正方形的中心。,

并能绕着。转动，分别交AaCD边于E、F点，过点8作直线EF的垂线8G,垂足为

点G,连接AG,则AG长的最小值为（）

C.V5D.有一1

9.（2022•宁波模拟）如图，正方形ABC。的顶点8在直线/上，将直线/向上平移线段A3

的长得到直线机，直线机分别交A。，CD于点E,F.若求的周长，则只需知道

()

A.A8的长B.FE的长C.OE的长D.。尸的长

10.（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABC。和矩形如图放置，且BG恰好过点C.过

点G作MN平行AO交AB,CD于M,N.知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影

部分的面积（）

F

C.CF'CGD.CF'CB

11.（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放

置在矩形48C。内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面

积，则一定能求出（）

A.正方形纸片的面积B.四边形EFG”的面积

C.的面积D.ZkAEH的面积

12.（2022•丽水）如图，已知菱形ABCZ）的边长为4,E是8C的中点，AF平分NEAD交

1

于点RFG〃AD交AE于点G.若cosB=",则FG的长是（）

4,

A.3B.-

3

二.填空题（共7小题）

13.（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由

边长为2鱼的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2

所示的造型恰好放入矩形A8CQ中（其中点E,F,G,H都在矩形边上），若AB：BC=

7：6,则NAG尸的正切值为.

14.（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABC。中，8C=6,点尸在正方形内，PF_LPC,

交边于点凡ED//PC,交PF延长线于点E,且PC=PE,连结AP,AE.若五边形

AEDCP的面积为24,则/AEP的度数为,PC的长为.

15.（2022•下城区校级二模）如图，在正方形4BCD中，点E,尸分别在2C,AB±,且

DE=DF,AC分别交QE,于点N.

（1）若/ADF=NEDF,则。N：4V的值为.

（2）设△DWN和△AFN的面积分别为Si和S2,若S2=2SI,则tan/的值为.

16.（2022•金东区一模）已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置,其顶点E,

F,G,H,/都在矩形ABC。的边上，则矩形ABC。的面积为

17.（2022•长兴县模拟）如图，在矩形ABC。中，AB=lcm,8C=2c:w,点N在边。上，

CN=1c根点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿折叠，使点8,

C分别落在点8',C上.边MB'与边CD交于点E,当点M从点A运动到点8的过

程中，点E运动的路径长为cm.

18.（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4,点E是射线AD上的一个动点，连结

CE,以CE为边往右侧作正方形CEFG,连结。F、DG.

（1）当点E在延长线上，且。E=A。时，DG=.

（2）当点E在线段上，且△OG尸为等腰三角形时，DG=.

19.（2022•温州）如图，在菱形ABC。中，AB=l,ZBAD=60°.在其内部作形状、大小

都相同的菱形AEM/和菱形CGMR使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA±.,

点M,N在对角线AC上.若则MN的长为

D

HG

B

三.解答题（共12小题）

20.（2022•鹿城区校级模拟）如图，四边形A8CD是平行四边形，分别以A。，BC为边向

外构造等边△AOE和等边△BCF,连接BE,DF,BD.

（1）求证：四边形8如£是平行四边形.

（2）若与BE交于点G,SLAD=BD,ZDFB=45°,BG=V2,求△BZJG的面积.

21.（2022•吴兴区校级二模）（1）如图1,在等腰RtaABC中，/A4c=90°,/MAN=。,

/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边与8c边分别交于M,N两点.

①当/54M=NCAN时，求证：BM=CN；

②如图2,作斜边BC上的高若AB=1,a=45°,且CN=^BC时，求3M的长；

（2）如图3,在正方形ABC。中，NMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两

边分别交3C,CD于点?『.当点N恰为。C的中点时，求嬴的值.

A丁厂

Ff

BBBMC

图1够02图3

22.（2022•义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章”4.2平行四边形及其性质（3）”中

有这样一道例题：

如图，在平行四边形A8CQ中，对角线AC,BD交于点E,AC1BC,若AC=4,AB=5,

求8。的长.请你完成求解过程.

小明的解题过程如下：

在平行四边形ABCD中

：AC=4,42=5,

11

：.EA=EC=^AC=/4=2,EB=ED

第①步

VACXBC

：.BC=<AB2-AC2=近2-42=3第②

步

：.BE=y/BC2-EC2=V32-22=花第③

步

：.BD=2EB=2遮第④步

你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指

出错误（从第几步开始错），并求出正确的3。长.

23.（2022•婺城区校级模拟）如图1,在矩形A8CZ）中，48=4,P为C。边所在直线上一

点（不与点。重合），连结AP,把△ADP沿着AP折叠后得到△A。'P,连结C。'，记

DP的长为a.

（1）当尸为DC的中点时，判断△2£>'C的形状，并说明理由.

（2）若A£）=3,在点P的运动过程中，满足尸。'±D'C,试求a的值.

（3）若AD=2,如图2,过点C作CT/，直线尸。'，垂足为点连结A8,在点尸的

运动过程中，是否存在AH=C。'？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理

由.

DPCDPC

24.（2022•金华模拟）方法学习

如图1,在边长为1的正方形网格中，连结格点N和E,C,ON和EC相交于点P,

求tan/CPN的值.

思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观

察发现：NCPN不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线

等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得MN〃EC,则/。M0=NCPN,连接

DM,那么NCPN就变换到格点处，并且恰好在Rt△。脑V中.可以方便求出tan/CPN

的值为:

问题解决

（1）如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,则cos/CPN的值

为;

（2）如图3,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,则sin/CB4的值

为;

思维拓展

如图4,若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较

小内角为60度，点A,B,C,。都在格点处，线段AB与相交于点尸求cosNCBl

的值.

c

'B

图4

25.(2022•常山县模拟)如图，在矩形ABC。中，AE平分NBA。交射线BC于点E,过点

C作CPLAE交射线AE于点凡连结2。交AE于点G,连结。尸交射线BC于点巴

(1)当□时，

①求证：BE=CD；

②猜想尸的度数，并说明理由.

26.(2022•衢州)如图，在菱形ABC。中，AB=5,8。为对角线.点E是边A8延长线上

的任意一点，连结。E交BC于点F,BG平分/CBE交DE于点、G.

(1)求证：NDBG=90°.

(2)若8。=6,DG=2GE.

①求菱形ABC。的面积.

②求tan/BDE的值.

(3)若2E=A3,当的大小发生变化时(0°<ZDAB<180°),在AE上找一点

T,使GT为定值，说明理由并求出ET的值.

正方形A8C。各边上分别取点Bi,Ci,Di,Ai,^ABi=BCi=CDi=DAi=^AB,依次

连接它们，得到四边形481C1O1；再在四边形A1BC1O1各边上分别取点比，Ci,D2,

A2,使4比=31。2=。1。2=。142=可4131,依次连接它们，得到四边形A232c2。2;…

如此继续下去，得到四条螺旋折线.

A身B

BDD7C

（1）求证：四边形AIBICLDI是正方形.

⑵求鬻的值.

（3）请研究螺旋折线221比23…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明.

28.（2022•湖州）如图，已知在RtZxABC中，ZC=RtZ,。是A8边上一点，以8。为直

径的半圆。与边AC相切，切点为E,过点。作OfUBC,垂足为R

（1）求证：OF=EC；

(2)若NA=30°,BD=2,求的长.

b分别表示/A,NB的对边，a

>b.记△ABC的面积为S.

（1）如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE

的面积为Si,正方形BGFC的面积为S2.

①若51=9,52=16,求S的值;

②延长以交GB的延长线于点N,连结FN,交2C于点交于点"若切，A2

（如图2所示），求证：&-Si=2S.

（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形AC£＞和等边三角形CBE,记等

边三角形ACD的面积为Si,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角

形ABF（点C在内）,连结EF,CF.若EFLCF,试探索S2-S1与S之间的等量

关系，并说明理由.

F

图1

30.（2022•杭州）在正方形A8CZ）中

重合），点尸在边BC上，且连接跖，以EF为边在正方形ABCD内作正方

形EFGH.

（1）如图1,若AB=4,当点E与点M重合时，求正方形所G8的面积.

（2）如图2,已知直线7/G分别与边A。，BC交于点I,J,射线即与射线AO交于点

K.

①求证：EK=2EH；

②设/AEK=a,和四边形AEH/的面积分别为Si,S2.求证：—=4sin2a-1.

31.（2022•绍兴）如图，在矩形中，4B=6,BC=8,动点E从点A出发，沿边AQ,

DC向点C运动，A,£＞关于直线BE的对称点分别为M,N,连结MN.

(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求/AEM的度数.

(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线2。的位置关系，说

明理由.

(3)当直线恰好经过点C时，求。E的长.

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形

参考答案与试题解析

选择题（共12小题）

1.（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABCZ）中，AB=5,AD=8,NBA。的平分线

交BC于点、E,交DC的延长线于点?若AE=6,则△（7£尸的周长为（）

F

A.13B.10.5C.10D.9.6

【解答】解：：在团ABC。中，CD=A8=5,BC=A£>=8,NBA。的平分线交BC于点E,

：.AB//DC,NBAF=NDAF,

：.ZBAF=ZF,

：.ZDAF=ZF,

：.DF^AD^8,

同理BE=A8=5,

：.CF=DF-CD=8-5=3,

'：AE=6,

AABE的周长等于5+5+6=16,

•/四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//CF,

:.△CEFSMBEN,相似比为3：5,

...△CEF的周长为9.6,

故选：D.

2.（2022•郭州区校级模拟）如图，在△ABC中，ZACB=90°,以AB为边向上作正方形

ABDE,以AC为边作正方形ACPG,点E落在GF上，连结CO,DF.若要求出五边形

ACDFE的面积，则只要知道（）

F

A.A3的长B.AC的长C./XABC的面积D.△£>£1方的面积

【解答】解：・・•四边形A5DE是正方形，

：.AB=AE,ZBAE=90°,

•・,四边形AC/G是正方形，

ACF=AG=AC,ZACF=ZCAG=90°,

:・/CAB=/EAG,

在△ABC和AAEG中，

AC=AG

乙BAC=乙EAG,

AB=AE

：.AABC^AAEG(SAS),

••S/^ABC=S/^AEGf

：.BC=DH,

11

：・S3CF=钞*DH=^AC9AB=SMBC,

五边形ACDFE的面积=SZU）CF+S正方形4cFG-S^AEG=S正方形AC/G，

故只要知道AC的长即可求出五边形ACOFE的面积.

故选：B.

3.（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形A8CD,如图所示.连结CH,

4P

延长E尸交CH于点G,作PG_LS交A3于点P,若AH=2DH,则二7的值为（）

【解答】解：设Z)H=x,

则4犬=尸"=羽AH=BK=FK=2x,CD=3x,

•；PG1CH,

：.ZFGP+ZHGF=90°,

9：ZHGF+ZFHG=90°,

:・/FGP=/FHG,

由矩形的性质可得CD//FH,

：.ZDCH=ZFHG,

：.ZDCH=ZFHG=ZFGP,

DHx1

・・・tanNZ)S=m=鼠=孑

：.tmZFHG==—=I

FHx3

1

解得FG=孰

17

KG=KF+FG=2x+1x=孤

：.tmZFGP=鼻=粽=孕

3X

7

解得KP=",

y

：.AP=AK+KP=x+^x=挈r,

711

BP=BK-KP=2x-^x=苫x,

16

ZPVx16

••丽二%二五？

9

故选：B.

4.（2022•宁海县校级模拟）将矩形A5CZ）和矩形CE尸G分割成5块图形（如图中①②③④

⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形5EHN,若AM=1,DE=4,EF=3,那

A.20B.24C.30D.45

【解答】解：-：NA=EF=3,AM=\,

：.CB=MN=NA+AM=4,

•：IB=DE=4,

；・IB=CB,

・・・四边形ABC。、四边形BEHN、四边形CEFG都是矩形,

：.ZEBN=ZABC=90°,

：・NJBI=NEBC=900-NABE,

9：ZBIJ=ZD=90°,ZBCE=90°,

：.ZBIJ=ZBCE,

在△8〃和△BCE中,

NBIJ=NBCE

'IB=CB，

0BI=乙EBC

：.ABIJ^ABCE(ASA),

：.IJ=CE,

'：IA=CE,

・・・A3=/B+ZA=4+CE,

9

：IJ//ANf

：.4BIJs^BAN,

.ILIB

••NA~AB"

.CE4

••=,

34+CE

，CE=2或CE=-6(不符合题意，舍去)，

：.AB=4+4=S,

S短形BEHN=S矩形ABCD+S矩形CEFG=8X3+3X2=30,

矩形BEHN的面积为30,

5.(2022•温州校级模拟)如图，菱形ABC£＞中，过点C作CELBC交8D于点E,若NBA。

=118°,则NCEB=()

A.59°B.62°C.69°D.72°

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形,

：.AB=AD,NABD=NCBE,

：.ZABD=NADB,

VZBAD=118°，

180°-118°

ZABD==31°，

：.2

：.ZCBE=31°,

VCEXBC,

：.ZBCE=90°,

：.ZCEB=90°-31°=59°.

故选：A.

6.（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABC。内有一点E,ZAEB=90°,以CE,DE为

邻边作团。皮甲，连结石凡若A,E,尸三点共线，且△A。尸的面积为10,则C/的长为

A.2B.V5C.2V2D.V10

【解答】解：设跖、CO的交点为G,过E作即，AO交于”,

四边形ECFD是平行四边形,

1

：.DG=CG=/G,

设正方形的边长为2x,则AO=AB=CD=2x,DG=CG=x,

在RtZkAOG中，AG=V5x,

VZAEB=90°,

：.ZBAE+ZDAE=90°,

VZABE+ZBAE=90°,

：.ZBAE=ZDAEf

：.AABE^AGAZ),

ABAE2xAE

—=—，即=——

AGDGV5xX

后

.•.A.7E7=­2g—x,

.375

..hG=—g—x,

•・•吧—2二,

AG5

.S^ADG_5

S^DEG3’

设5AADG—5m,贝!JSADEG—3m,

・・・G点是CD的中点，

・•SAECG=SADEG=3m,

.'•SADEC—6m,

,**SADEC=S/\CDF=6m,

S^ECFD=12m,

S^EDF=6m,

SAADF=6m+2m=8m,

VSAADF=10,

8m=10,

/.m=4，

.257

..dcAADG=c5m=彳=产,

：.AD=5,EA=V5,

15

9：SAADE=^X5XHE=J,

:・HE=\,

在中，AH=2,

:.HD=3,

在RtZXHEQ中，ED=V10,

故选：D.

7.（2022•嘉兴）如图，在△A8C中，A8=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,

EF//AC,GF//AB,则四边形AEFG的周长是（）

【解答】解："JEF//AC,GF//AB,

，四边形AEFG是平行四边形，ZB=ZGFC,ZC=ZEFB,

'：AB^AC,

：.ZB=ZC,

:./B=/EFB,/GFC=NC,

：.EB=EF,FG=GC,

'：四边形AEFG的周长=AE+EF+EG+AG,

，四边形AEFG的周长=AE+EB+GC+AG=AB+AC,

：A8=AC=8,

，四边形AEFG的周长=AB+AC=8+8=16,

故选：B.

8.（2022•堇B州区模拟）如图，正方形48c。的边长为2/，直线经过正方形的中心。，

并能绕着。转动，分别交A&CD边于E、F点,过点B作直线斯的垂线BG,垂足为

点G,连接AG,则AG长的最小值为（)

C.V5D.V5-1

【解答】解：连接AC、BD,交于点O,

由题意可知，所经过点。，取中点连接MA,MG,

:四边形A8C。是正方形,

：.AC±BD,AO=OB,

,:AB=2a,

：・0A=0B=2.

：.OM=1.

•*.AM=VOi42+OM2=Vl2+22=V5,

在Rt/XBOG中，M是03的中点，

1

：.GM=^OB=1.

'：AG^AM-MG=V5-1.

当A,M,G三点共线时，AG最小=4一1.

故选：D.

9.（2022•宁波模拟）如图，正方形ABC。的顶点B在直线/上，将直线/向上平移线段4B

的长得到直线相，直线机分别交A。，C。于点E,F.若求的周长，则只需知道

()

A.AB的长B.FE的长C.OE的长D.。尸的长

【解答】解：过B作28,加于X,连接BE,BF,

♦.•直线/向上平移线段的长得到直线m,

：.AH=AB,

而/A=N8HE=90°,EB=EB,

：.RtAA£B^RtAH£B（HL）,

：.AE=EH,

同理(HL),

：.HF=CF,

:ADEF的周长为：DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+CF=AD+CD=2AB.

...求△OEP的周长，则只需知道AB的长.

故选：A.

10.（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABC。和矩形BE/G如图放置，且PG恰好过点C.过

点G作平行AO交AB,C£）于M,N.知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影

部分的面积（）

A.CF-CDB.CF'CNC.CF'CGD.CF'CB

【解答】解：作C//L2E于点X,

由已知条件和图形可知：SACHG+SABMG=S^CGB=SABCH,

,：矩形ABCD和矩形BEFG全等，

图中阴影部分的面积与矩形CHEB的面积一样，CH=CD,

：.当知道CF+CD的值时，即可得到CF-CH的值，

故选：A.

H.（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放

置在矩形48C。内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面

积，则一定能求出（）

A.正方形纸片的面积B.四边形EFG”的面积

C.△BEE的面积D.△AEH的面积

【解答】解：设尸。=x,GH=y,则

:矩形纸片和正方形纸片的周长相等,

•.•图中阴影部分的面积=S矩形ABC。-2^ADH-2SAAEB

11

=(2]+y)(2%-y)-ZxaYx-y)(2x+y)-2x于(2%-y)・x

=4^~y2-(2x2+xy-2xy-y2)-(2x2-xy)

=4--y2-2x2+xy+y2-2x2+xy

—2xy,

A、正方形纸片的面积=/,故A不符合题意；

B、四边形EFG8的面积=/，故8不符合题意；

11

C、△2EF的面积=田£>2。=加，故C符合题意；

D、AAEH的面积=g•即•■=先(尤-y)=|xy-1y2,故D不符合题意；

故选：C.

12.(2022•丽水)如图，已知菱形ABC。的边长为4,E是BC的中点，A尸平分NEA。交

C。于点RFG〃AD交AE于点、G.若cos2=%则EG的长是()

2V155

A.3B.-C.-------D.-

332

【解答】解：方法一，如图，过点A作A”,BE于点"，过点/作FQLA0于点Q,

A

BHE

•・•菱形ABC。的边长为4,

：.AB=AD=BC=4f

VcosB=招=)，

：.AH=7AB2-BH2=V42-l2=V15,

・・・E是BC的中点,

：.BE=CE=2,

1・EH=BE-BH=L

：.AH是BE的垂直平分线,

：.AE=AB=4f

•・飞厂平分/£4。,

：.ZDAF=ZFAG,

'：FG//AD,

：.ZDAF=AAFG,

：.ZFAG=ZAFG,

AGA=GF,

设GA=GF=x,

\9AE=CD=4,FG//AD,

DF=AG=x,

n_D_DQ_1

C0SZ9COSIJ—p.j-,一~r>

DF4

1

：.DQ=产

'-FQ=yjDF2-DQ2=Jx2-(1x)2=乎x

,**S梯形CEAD—S梯形CEGF+S梯形GFDA，

1

X+-

2

8

-

3

则FG的长是二.

3

或者：：AE=C£>=4,FG//AD,

...四边形AGF£>的等腰梯形，

11

则+-4

4X4X

8

-

3

则FG的长是3

方法二：如图，作A”垂直BC于H,延长AE和。C交于点

:菱形A8CD的边长为4,

：.AB=AD^BC=4,

..BH1

•cosBR=AB=4'

：・BH=1,

••,E是的中点，

：.BE=CE=2,

:・EH=BE-BH=\,

・・・AH是BE的垂直平分线,

.*.AE=AB=4,

所以AE=AB=EM=CM=4,

设GF=x,

则AG=x,GE=4-x,

由GF//BC,

:.AMGFsAMEC,

24

一--

X8-

8

得

尤--

3

故选：B.

二.填空题（共7小题）

13.（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由

边长为2夜的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2

所示的造型恰好放入矩形ABC。中（其中点E,F,G,H都在矩形边上），若AB：BC=

【解答】解：如图1,•四边形PQMN是矩形为2a的正方形，

:./NPQ=90°,PN=PQ=2五,

：.QN=y/PN2+PQ2=J（2或尸+（2立尸=4,

由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形,

1

：.PK=NK=QK=也N=2,

：.LK=JK=JI=JQ=起K=l,

：.LN=NK-LK=1,

如图2,,・,四边形ABC。是矩形,

：.AD=BCfZD=ZB=ZA=90°,

由图1可知，EF=GH=2+1=3,/G=2+2=4,ZEFG=ZFGH=90°,

VZDFE=90°-ZAFG=ZAGF,NBHG=90°-ZBGH=ZAGF,

:./DFE=/BHG,

：.ADFE^ABHG(AA5),

DE=BG,

'：ZD=ZA,ZDFE=ZAGF,

：.ADFEs丛AGF,

.DEDFEF3

"AF~AG~FG~4

：.DE=^AF,AG=^DF,

：.BG=^AF,

：.AB=AG+BG=^DF+^AF,

,：AB：BC=7：6,

777

：

.AB=^6BC=^6AD=6(AF+DF),

43

7--

A-(AFWF)34

6

2

：.AF=1Z)F,

AF初93

tanZAGF=否=弼=而,

AB

图2

14.（2022•永嘉县三模）如图，在正方形A8CD中，BC=6,点尸在正方形内，PFLPC,

交边于点凡ED//PC,交PF延长线于点E,且尸C=PE,连结AP,AE.若五边形

AEDC尸的面积为24,则/A"的度数为45°,PC的长为2连.

A»

B

【解答】解：过C作CG_L即于G,过A作■于M,AN1PE于N,连结P8,

VPFXPC,ED//PC,PC=PE,CGLED,

四边形PCGE是正方形，

：.PC=PE=CG=EG,ZPCG=90°,

:正方形ABC。，

:.BC=CD=AD=AB,ZBCD=90°,

NPCB=NOCG=90°-ZPCD,

.,.△DCG%ABCP(SAS),

；./DGC=/BPC=90°,

：.ZCPE+ZBPC=180°,

:.E、F、P、B四点在一条直线上，

，NPCB=ZDCG=/ABN=ZADM,

于跖AN±PE,

，四边形AMEN是矩形，

：.AABN沿AADM(AAS),

：.AM=AN,

矩形AMEN是正方形，AE平■分乙MEN,

：.ZAEP=45°,AM=AN=EM,

设AM=AN=EM=x,PC=PE=CG=EG=y,

•/ZDCG=ZADM,

:.ADCG沿AADM(A4S),

：.AM=AN=DG=PB=x,

11

■:S五边形AEDCP=S正方形PCGE+S^APE-S^DGC=PC?+qAN•PE-qDG♦CG,

•Q211

..24A=y“+^xy-^xy,

.,.y=2V6,

即PC=2V6.

15.(2022•下城区校级二模)如图，在正方形4BCD中，点£,尸分别在2C,AB±,且

DE=DF,AC分别交QE,于点M,N.

(1)若/ADF=NEDF,贝UON：AN的值为

(2)设4DMN和△A/W的面积分别为S1和52,若S2=2SI,则tanZADF的值为

V3—1__.

【解答】解：(1)过N作NKLA。于K,如图:

:四边形A8CD是正方形，

：.ZDAC=45°,

•••MANK是等腰直角三角形，

：.KN=^-AN,

又CD=AD,ZDAF=ZDCE=90°,MDF=DE,

：.RtAADF^RtACDE(HL),

：.NADF=NCDE,

'：ZADF^ZEDF,

：.ZADF=ZEDF=ZCDE=30°,

1

：.KN=2N,

V21

：.—AN=*DN,

22

：.DN：AN=y/2,

故答案为：V2；

(2)过N作NH_LA8于"，如图：

A

H

F

B

'：ZFHN=ZFAD=90°,

：.HN//AD,

：.ZADF=ZHNF,

设tanNAOb=tanNFNH=Jb设NH=AH=b,则幼,

:,AF=b+kb,

AJ7

9：tmZADF=饴

b+bk1+kj

：.AD=-i-=—j—b

110i1+Zcoil+/c

:・S2=»LF・HN=W(1W,SI=SMDC-2SMDN=^(—Z?)2-2哈丁”b,

■:Sz=2Si,

11l+/ci1+Zc

—kr9(1+Z)=2*[—(-----b)92-2x-----/7•/?],

212k2k」

整理得：lc+2k-2=0,

解得：仁百-1或-遍-1（舍弃）,

：.tanZADF=k=y/3-l,

故答案为：V3—1.

16.（2022•金东区一模）己知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置,其顶点E,

280

F,G,/都在矩形A8CO的边上，则矩形ABCD的面积为不~

【解答】解：依题意，可得N8=/C=90°,

,：ZEFB+ZCFG=90°,ZEFB+ZBEF=90°,

：.ZCFG=ZBEF,

在△BE尸和△€1打；中，

'/B=ZC

-乙BEF=乙CFG，

、EF=FG

:.ABEF咨ACFG(A4S),

设8P=x,CF=y,

则线段CG=x,BE=y,

VZFGC+ZDGH=90°,/CFG+/FGC=90°,

：.ZCFG=ZDGH,

VZC=ZD=90°,

:.△CFGsADGH,

VABEF^ACFG,

:.ABEFs^DGH,

同里可证△BEf's/XA/E,

AEEI1DGHG21

贝IJ==-,-=-=-

BFEF4CFGF42

则AE=1,DG斗

4Z

VAB=C£),

x

..・]+1+与y

即3x=2y,

,2

・・x=袁，

在Rt△bCG中，FC2+CG2=FG2,

・,・/+/=42,

2

；・/+（-y）2=16,

解得:尸焉,

._8

…TTT

；.AB=BC=2,

713713

280

，矩形ABCD的面积为.

13

17.（2022•长兴县模拟）如图，在矩形4BC。中，AB=icm,BC=2cm,点N在边CD上,

CN=1cm点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B,

C分别落在点夕，C上.边MB'与边CO交于点E,当点M从点A运动到点8的过

程中，点E运动的路径长为（V5-1）cm.

【解答】解：如图1中,

：.AB//CD,

.•.N1=N3,

由翻折的性质可知：Z1=Z2,,

；./2=/3,

:.MB'=NB',

NB'=7B'C'2+NC'2=V22+l2=V5(cm),

：.BM=NB'=V5(cm).

如图2中，当点M与A重合时，AE=EN,设AE=EN=xcm,

图2

在Rt^AOE中，则有/=2?+(6-%)2,解得x=竽,

8

-

3

如图3中，当点M运动到MS'_LAB时，DE'的值最大，DE'=7-1-2=4(cm),

B'

图3

如图4中，当点M运动到点B'落在CD时，DB'(即DE")=7-1-V5=(6-V5)

(cm),

图4

o

.•.点E的运动轨迹E'fE",运动路径=EE