2024年高考数学一轮复习 集合与常用逻辑用语（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

一'知识速览

1、集合中元素的性质

2、元素与集合的关系

知识点1集合与元素

3、集合的表示方法

4、常见数集的记法与关系图

知识点2集合之间的基本关系子集、真子集、相等、空集

知识点3集合的基本运算，1、集合交用卜运算的表示

集合与常用逻辑用语----------------------------------------—Q2、集合运算中的常用二级结论

知识点4充分条件与必要条件1、充刖与^^牛

-----------------------------------2、充要条件

1、全称量词与全称量词命题

知识点5全称量词与存在量词2、存在量词与存在量词命题

3、命题的否定

二'考点速览

知识旅理

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或e表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集Aq3或3卫A

元素(尤eA贝！jXGB)O

或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

关系真子集AUB或BVA

中至少有一个元素不属于A

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言u⑷

符号语言AB=GA,eAB=|x|xGA,SJCGeA=何％wU,MxwA}

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=

(2)交集的性质：Afl0=0；AAA=A；AHB^BHA；=

(3)补集的性质：45[%)=。；&%(%)=0.=

[MAU8)=(["([^)；[u(An8)=([uA)uQB).

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P,则/为真命题“若P，则为假命题

推出关系p*q

P是4的充分条件P不是9的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是p的必要条件

定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

(1)充要条件的定义

如果喏p，则如和它的逆命题“若乡，则，’均为真命题，即既有°nq，又有“=0，就记作poq。

此时，p既是9的充分条件，也是9的必要条件，我们说，是q的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充要条件的含义

若夕是4的充要条件，则4也是夕的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

(3)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当。成立，或p与4等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表示.

【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)，…表示,变量x的取值范围用V表

示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x,2(x)成立”可用符号简记为

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行二

2、存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号"h'表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立"可用符号简记为

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“土”，读作"非"'或p的否定.

(1)全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“五6"山(耳”的否定是存在量词命题：3XEM,^(X).

（2）存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“七：6河心（九）”的否定是全称量词命题：\/x&M^q（x）

（3）命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

（4）常见正面词语的否定：

正面词语等于（=）大于（＞）小于（＜）是都是

否定不等式（丰）不大于（＜）不小于（＞）不是不都是

正面词语至多有一个至少有一^任意所有至多有n个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

・

方法技巧

一、子集的个数问题

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2"个.（2）A的非空子集的个数有2"—1个.

（3）A的真子集的个数有2"—1个（4）A的非空真子集的个数有2"—2个.

【典例1】（2023・重庆•校联考三模）数集{123,4,5}的非空真子集个数为（）

A.32B.31C.30D.29

【答案】C

【解析】因为集合{123,4,5}中含有5个元素，

所以集合{1,2,3,4,5}的非空真子集个数为25-2=30.故选：C

【典例2】（2023.福建泉州.泉州五中校考模拟预测）若集合A={无|ln尤＞l,xeN*},集合

8={x|x2-6x-7＜0},则的子集个数为（）

A.5B.6C.16D.32

【答案】C

【解析】由lnx＞l得了＞e,所以A={x|x〉e,xeN*},

解不等式一一6彳一7＜0得5={x|—l＜x＜7},

所以AB={3,4,5,6},所以的子集个数为24=16.故选：C

二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

【典例1】（2022秋・广东广州•高三校联考阶段练习）已知集合A={a-2,"+4a,12},且-3eA,则。等于

（）

A.-3或-1B.-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】因为—3eA,当。-2=—3,得。=—1,则4={-3,12},不合题意，故舍去.

当°2+4a=—3,故。=一1（舍去）或a=—3,此时A={—5,—3,12},满足.故选：D

【典例2】（2022秋•陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考期中）设集合A={0,1,4},若q-leA,则实数

a=.

【答案】2

【解析】当a-1=0时,a=l,此时4={0,1,1},不符合条件；

当a-1=1时,。=2,此时-={0,1,4},符合条件;

若4-1=",即“2_〃+1=0,无实根，不符合条件.

所以a=2.故答案为：2.

三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若A7B,

且A中含参数应考虑参数使该集合为,空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.

常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【典例1】（2023•全国•模拟预测）设集合4=闻。+1）（尤-3）40},8={x|a-5<x<。},若AgB,则实数

a的取值范围是（）

A.[3,4]B.（3,4）C.（-8,4]D.[3,+oo）

【答案】B

【解析】由已知可得，集合4={N-l<xV3},8={x|a-5<x<。},

[a>3

因为AgB,所以<,,（注意端点值是否能取到），

a-5<-1

解得3<。<4,故选：B.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）（多选）已知集合B=[x\ax+l=0},且加A,则实数

a的取值可能为（）

A.-3B.-2C.0D.3

【答案】BCD

【解析】由题知2=4B={x\ax+\=Q],A=

所以8=10,{-；}，{f,O.

当2=,一；*卜寸，此种情况不可能，所以舍去；

当2={-孑时，一5+1=0,解得a=3；

当2={：}时，1。+1=°，解得”=-2；

22

当B=。时，a=0.

综上可得实数。的可能取值为3,0,—2.故选：BCD.

四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围

法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.

法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.

【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“="；（2）千万不要忘记考虑空集。

[典例1]（2023・海南海口•校联考一模）已知集合A=^x\x2-2x-3<01,B=（x|-l<x<TW}，若AB=A,

则实数加的取值范围为（）

A.（-3,+oo）B.（-<»,-3]C.[3,+oo）D.（-1,3]

【答案】B

【解析】解不等式，-2X-3<0,得—1<X<3,于是A=（T,3）,而3=（-1,T〃），

因为AIB=A,则因此一加23,解得力z4—3,

所以实数加的取值范围为（-8,-3].故选：B

【典例2】（2023.河南开封•开封高中校考模拟预测）设集合A={x|x<2或xN4},3={x|aVxWa+1},若

瓜A）3=0,则。的取值范围是（）

A.或a>4B.a<1或。24C.a<1D.a>4

【答案】B

【解析】由集合A={TX<2或XN4},得'A={x[24x<4},

又集合8={x|aVxWa+1}且&A）B=0,贝!Ja+l<2或a24,即a<l或aN4.故选：B.

五、利用充分必要条件求参数的策略

1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关

于参数的不等式（不等式组）求解；

2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知集合A=[-2,5],B^[m+1,2m-l].若“无eB”是“xeA”的充

分不必要条件，则机的取值范围是（）

A.（-»,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】若“xeB”是“xeA”的充分不必要条件，则8A,

m+1<2m-1

所以，加+112,解得2<〃/43,即机的取值范围是（2,3].故选：B.

2m-1<5

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）己知"p:（x-⑼2>3（尤-㈤”是“4：1+3了-440”成立的必要不充分

条件，则实数机的取值范围为（）

A.f-7）1（1*）B.[1,+«）C.（-7,1）D.[-7,1]

【答案】A

【解析】由（x-，w）2>3（x-w?）得：x<m^x>3+m,所以P：x<〃?或%>3+加；

由尤2+3X-440得：-4<x<1,所以q:-44x41.

因为p是9的必要不充分条件，即qnp且。4Q,

所以{x|-4*xWl}是{x[x</或]>3+加}的真子集,

所以切>1或〃2+3<-4,解得勿>1或根<一7.故选：A

易混易错

易错点1对集合表示方法的理解存在偏差

点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元

素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。

【典例1】（2023•安徽安庆・安徽省桐城中学校考一模）集合A={A|y=lg（x2-4））,集合

卜|广五一24一3卜全集U=R,贝。@A）B为（

A.[-2,2]B.[-2,+co）C.{2}D.（-oo,2]u[3,+oo）

【答案】B

【解析】对于集合A，由/一4>0=无>2或x<-2,所以A=（e,—2）.（2,4W）,^A=[-2,2],

y=>JX2-2X-3=^（X-1）2-4>0,.\B={y|y>0},故（6人73=|-2,+co）.故选：B

【典例2】（2023•黑龙江哈尔滨・哈师大附中校考模拟预测）已知集合A={（x,v）|y=x3},B={（x,y）\y=4无},

则AB=（）

A.{-2,0,2}B.{（0,0）}C.{（0,0）,（2,8）}D.{（-2,-8）,（0,0）,（2,8））

【答案】D

[y=x3jx=—2]元=0fx=2

【解析】解方程组”，可得。或c或。，

[y=4尤[y=-8[y=0[y=8

又因为&={（尤，刈丫=/},8={（无，切尸旬，则A3={（-2,-8）,（0,0）,（2,8）}.故选：D.

易错点2忽视（漏）空集导致错误

点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往

往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。

【典例1】（2023.全国•高三专题练习）已知集合4={*€W.<2},3={尤|ax-1^0},若BUA,则实数。=

（）

A.g或1B.0或1C.1D.1

【答案】B

【解析】由集合A={xeN*|国<2}={0,1},

对于方程办-1=。，

当。=0时，此时方程无解，可得集合3=0,满足5UA；

当awO时，解得x=L,要使得BOA,则满足，=1,可得。=1,

aa

所以实数。的值为0或1.故选：B.

【典例2】（2023•全国•高三对口高考）设集合M={Mx>-2},N=付p-l<尤42p+l},若NuM,则实数

（）

A.l<x<3B.0<x<2C.x<2D.0<x<2

【答案】B

2

【解析】由一之1得0<九（2,

x

2

所以“1〈尤<