2024年广东省高考数学一轮复习第6章第3讲：等比数列（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第6章第3讲：等比数列

【考试要求】1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前”项和公式.3.了解等比数

列与指数函数的关系.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.等比数列有关的概念

(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母式qWO)表示.

(2)等比中项：如果在a与匕中间插入一个数G,使a,G,6成等比数列,那么G叫做a与6

的等比中项，此时，G2=ah.

2.等比数列的通项公式及前"项和公式

(1)若等比数列｛飙｝的首项为“1，公比是4,则其通项公式为斯=生仁!.

(2)等比数列通项公式的推广：如=小小一。

(3)等比数列的前〃项和公式：当q=l时，S,,=««.；当qWl时，&=a忏2=、三吆

1q1q

3.等比数列性质

(1)若"?+〃=p+q,则血血”=能生,,其中加，H,p,q£N*.特别地，若2勿=加+小则的绮=

星^其中m,mzo£N”.

Q)cik,ak+my…仍是等比数列，公比为必2,m£N*).

(3)若数列｛斯｝，｛为｝是两个项数相同的等比数列,则数列｛而为｝,"•血)和｛版｝也是等比

数列3，p,qWO).

(4)等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，则S”S2n-Sn,S3,,一S2“仍成等比数列,其公比为4".(〃为

偶数且4=-1除外)

[ai>0,[ai<0,

⑸若jq>]或:o<q<]则等比数列｛小｝递置

[0>0,[«1<0>

若或则等比数列｛0“｝递减.

【常用结论】

1.等比数列｛斯｝的通项公式可以写成斯=卬",这里cWO,q于0.

2.等比数列｛斯｝的前“项和S,可以写成S“=4q"—A(4#0,q#l,0).

3.数列｛如｝是等比数列，S”是其前〃项和.

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(1)若•…S=/，则〃，号,会，…成等比数列.

⑵若数列｛知｝的项数为2〃，则金=0若项数为2〃+1,则差生=4,或卢一=4

3布3偶”3奇一斯

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三个数a,b,C成等比数列的充要条件是〃=4C.(X)

⑵当公比4>1时，等比数列｛诙｝为递增数列.(X)

(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(V)

(4)数列｛6｝为等比数列,则S4,58-54,S12—S8成等比等列.(X)

【教材改编题】

1.设a,b,c,d是非零实数,则“〃=儿”是“a,b,c,4成等比数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若a,b,c,d成等比数列，则ad=6c,

数列一1,一1,1,1.满足一1X1=-1X1,但数列一1,一1,1,1不是等比数列，

即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件.

2.设等比数列｛斯｝的前〃项和为S,.若$2=3,54=15,则S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析根据题意知，等比数列｛〃”｝的公比不是一1.由等比数列的性质，得(S4—S2)2=SMS6-

S4),即122=3X(56-15),解得$6=63.

3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为.

答案1,3,9或9,3,1

解析设这三个数为*a,aq,

〃+且+。4=13,〃=3,

解得(1。=3,

或'

｛吟aq=27,H一1q=3.

.,•这三个数为1,3,9或9,3,1.

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■探究核心题型

题型一等比数列基本量的运算

例1（1）（2022•全国乙卷）已知等比数列｛如｝的前3项和为168,6—的=42,则。6等于（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

解析方法一设等比数列｛斯｝的公比为q,易知qHL

[①+。2+仍=168,

由题意可得

[。2—45=42,

m（l+q+/）=168,卜尸96,

即/解得＜1

[aq（l—/）=42,卜=1

所以"6=44=3,故选D.

方法二设等比数列伍“｝的公比为q,

[53=168,

易知qWl.由题意可得，

02—45=42,

”=侬,iZi=96,

解得(1

即，

4=2，

4iq(l—r)=42,

所以06=。1炉=3,故选D.

⑵（2023・桂林模拟侏载墙（1536〜1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，

他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把

一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十

二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是

最初那个音的2倍.设第二个音的频率为力，第八个音的频率为拉•贝哈等于（）

A.^/2B.-V2C.SD.4s

答案A

解析设第一个音的频率为“，相邻两个音之间的频率之比为q,那么斯=〃/门，

1

根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得03=2〃=的%即4=2日，

所以£=詈=统=隹

思维升华等比数列基本量的运算的解题策略

⑴等比数列中有五个量a\,n,q,a„,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃

而解.

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(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.

(3)运用等比数列的前〃项和公式时，一定要讨论公比q=l的情形，否则会漏解或增解.

跟踪训练1(1)设正项等比数列｛如｝的前“项和为S”若S2=3,54=15,则公比q等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析VS2=3,54=15,

^i（l-172）

i1-q—3①

由题意,得《

11-4=1②

/=4,又q>0,..q=2.

⑵在1和2之间插入II个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的II个

数之和为插入11个数后这13个数之和为M则依此规则，下列说法错误的是()

A.插入的第8个数为的

B.插入的第5个数是插入的第1个数的也倍

C.M>3

D.N<7

答案D

解析设该等比数列为｛斯｝,公比为q,

则“1=1,33=2,

故严="=2.

1a\

插入的第8个数为49=4|48=也，故A正确;

插入的第5个数为“6=0八插入的第1个数为42=。0所以^=喂=/=诋，故B正确;

«2（1-^"））（1—附）1

M=—；-----=

一q—电1-2^

要证M>3,即证一1——>3,

1-2万

即证――>4,

2^-1

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5—

即证本>2口,

即证⑶2>2,

而On>©〉〉？成立，故C正确;

N=M+3.

所以申62-口,

所以一—>5,

2J

所以一1一-----r>4,即M>4,

1-2工

所以N=M+3>7,故D错误.

题型二等比数列的判定与证明

例2已知数列｛斯｝的各项均为正数，记S,为｛斯｝的前"项和，从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①数列｛如｝是等比数列；②数歹U｛S“+0｝是等比数列；③z=2即

注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解选①②作为条件证明③：

设S"+a产Aq"r（AK0）,则5"=4/门一切，

当〃=1时，ai—S\—A—ai,所以A=2m；

当〃22时，斯=&-Si=4qL2（q-D，

因为｛““｝是等比数列，所以解得q=2,所以改=20.

选①③作为条件证明②：

因为4=2的，［〃｝是等比数列，所以公比4=2,

=

所以Sn-\0）=0（2"—1）,即+

因为汜抖=2,所以｛S“+G｝是等比数列.

品十〃1

选②③作为条件证明①：

设S,+ai=Aq"r（A#0）,则S“=A/r—0，

当”=1时，ai=Si=A—ai,所以A=2“i；

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=

当时，anSn—S1Li=Aq〃—1),

因为。2=2的，所以A(q—1)=4,解得4=2,

所以当时，4〃=S〃一S〃T=A/—20一1)=42〃­2=0.2广|,

又因为7—=2(〃22),且。2=2〃],

a〃

所以｛〃"｝为等比数列.

思维升华等比数列的三种常用判定方法

(1)定义法：若如i=q(夕为非零常数，"CN*)或巫=以4为非零常数且〃22,”dN*),则｛斯｝

是等比数列.

(2)等比中项法:若数列｛为｝中，&W0且足+1=诙•斯+2(〃WN*),则｛%｝是等比数列.

(3)前〃项和公式法:若数列｛如｝的前〃项和S“=kq"-k(k为常数且上WO,q#O,l),则｛如｝是

等比数列.

跟踪训练2在数列｛〃“｝中，届十]+2〃〃+i=斯&+2+。〃+即+2，且m=2,。2=5.

⑴证明:数列｛斯+1｝是等比数列;

⑵求数列｛小｝的前〃项和S”.

⑴证明因为居+]+2。〃+1=ancin+2+。〃+an+2，

所以伍叶1+1)2=3〃+l)(a”+2+1),

「斯+1+1斯-2+!

。〃+1an+｝+V

因为的=2,。2=5,所以〃|+1=3,。2+1=6,

所以叫=2

<71+1

所以数列｛斯+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

⑵解由⑴知,斯+1=3・2〃」，所以斯=3・21-1,

所以二;')一“=3-2"一，L3.

题型三等比数列的性质

例3(1)(2023・黄山模拟)在等比数列｛斯｝中，ai,a”是方程/-13x+9=0的两根，则甯的

值为()

A.巾iB.3C.i\fl3D.±3

答案B

解析Vai,勿3是方程x2—13x+9=0的两根，.•・4]+。13=13,。「。13=9,

03>°,〃「。13=〃2*〃12=山=9,

又数列｛斯｝为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得。7=3,

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・〃2〃129

ai3

（2）已知正项等比数列｛斯｝的前n项和为S〃且（8—254=6,则ag+so+mi+mz的最小值为

答案24

解析由题意可得S8—204=6,可得Sg—S4=S4+6,

由等比数列的性质可得S4,S8fa2一比成等比数列,

2

则S4（512-S8）=（58-S4）,

综上可得+〃12=S12—Sg=（4s_*=§4+*+12N24,

0404

当且仅当54=6时等号成立.综上可得，“9+410+01+012的最小值为24.

思维升华（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，

三是前"项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问

题的突破口.

⑵巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

跟踪训练3（1）（2023・六安模拟）在等比数列｛斯｝中，若ai+s=16,S+O4=24,则仍+制

等于（）

A.40B.36C.54D.81

答案C

解析在等比数列｛斯｝中，。1+〃2,的+。4,as+a6,。7+。8成等比数列，

\"at+a2=16,的+〃4=24,；.ai+痣=（的+"4）（：；机=24X篇=54.

（2）等比数列｛斯｝共有奇数个项，所有奇数项和5号=255,所有偶数项和5做=-126,末项是

192,则首项ai等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析Va„=192,

.Sg_____—126_-126

,,<?=5^-a„=255-192=63=-2,

又S~—S司+s偶,

ni—q

a\—192X(—2)

即-1/力—=255+(—126),

1—(—2)

解得0=3.

(3)在等比数列｛斯｝中，斯＞0,m+s+sH----1-48=4,。13・・刈8=16,则;----的值

Cl\。2«8

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为()

A.2B.4C.8D.16

答案A

解析…。8=16,

**•a]〃8=a2a7=a3a6=a4a5=2,

年+%…+%《+J+6+J+(l+i)+(J+£)

=2(^1+〃8)+£(〃2+〃7)+^(43+干6)+£(44+干5)

=£(〃]+公+…+〃8)=2.

课时精练

过基础保分练

1.（2023・岳阳模拟）已知等比数列｛〃〃｝满足〃5—6=8,期一a4=24,则s等于（）

A.1B.-1C.3D.-3

答案A

解析设二的一。3=8,46—44=24,

]〃闻4—々闻2=8,

[〃同5—4q3=24,

1

a\=7：9i

解得j9・・.43=4同2=§义32=1.

、q=3,

155

2.数列｛知｝中，m=2,am+n=aman,若像+i+a&+2H---Htu+io=2—2,则左等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析令加=1,则由而十〃=的〃,”得〃〃即:一=。1=2,所以数列｛〃“｝是首项为2,

公比为2的等比数列，所以a„=2n,所以或+1+公+2+…+a附1。=2*（的+痣+…+内。）=

2A'X2X^*12）^2A+1X（210-1）^2I5-25^25X（2I0-1）,解得k=4.

3.若等比数列｛斯｝中的。5,。2019是方程列一4x+3=0的两个根,则Iog30+log3〃2+log3a3

+…+log3〃2023等于（）

A.警^B.1011cA罗D.1012

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答案c

解析由题意得。5。2019=3,

根据等比数列性质知，

。以2023=42。2022=，，，=^1011^1013=。1012^1012=3,

于是0012=32,

则log3。1+10g3tZ2+10g3〃3H---H10g3〃2023

=10g3（4l〃2〃3…〃2023）

_izoion_2_023

一log3（3,3~）—2,

4.（2022・日照模拟）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共

7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优

美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列｛斯｝,则10g2（a3Z5）的值为（）

A.16B.12C.10D.8

答案B

解析由题意，得｛为｝是以2为公比的等比数列，

67|（1—27）

.3=--']二2乂=1016,127al=1016,解得内=8,

24

log2（43S）=log2（8X2X8X2）=12.

5.（多选）已知｛。“｝是各项均为正数的等比数列，其前“项和为S”，且｛S,｝是等差数列，则下

列结论正确的是（）

A.｛%+SJ是等差数列

B.｛为S｝是等比数列

C.｛屈｝是等差数列

D.拗是等比数列

答案ACD

解析由｛S〃｝是等差数列，可得2（0+〃2）=〃1+0+02+43,；・a2=a3,

;｛斯｝是各项均为正数的等比数列，.二〃2=〃24，可得4=1.1・斯=4]>0,

+S〃=（〃+1）0,・••数列伍〃+S〃｝是等差数列，因此A正确；

届=鬲，，｛忌｝是常数列,为等差数列，因此C正确；

中=0>0,.,.用是等比数列，因此D正确；

a〃S〃=〃诏，・•・｛〃〃&｝不是等比数列，因此B不正确.

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6.已知数列｛四｝是等比数列，若42=1，。5则ai。2+。2。34-------卜aa+1（〃WN*）的最小值

8'nn

为（）

8

A?B.1C.2D.3

答案c

解析由已知得数列｛如｝的公比满足寸琮

解得q/，；.0=2,俏=；,故数列｛如%+|｝是首项为2,公比为翳芸的等比数列，

乙乙aIc»2•

2［1-咖

，aQ+42a3H-------H。血+1=j

,-4

哥-枷+D,故选c

7.已知S“是等比数列｛〃〃｝的前n项和，且%>0,S+m=2,S3+a3=22,则公比q=,

S5+。5=・

答案3202

7

解析由题意得2c〃=2,••・s=l.由“1+。q+2。1/=22,得夕=3或q=—2，•・•〃〃>（）,工4

7］义（］一多5）

=一彳不符合题意，故q=3,5s］一3+1X34—202.

8.已知数列｛斯｝为等比数列，若数列｛3"—小｝也是等比数列，则数列｛斯｝的通项公式可以为

.（写出一个即可）

答案斯=3"、（答案不唯一）

32

解析设等比数列｛"“｝的公比为q,令析=3"-a”,则仇=3—0,匕2=32—04,b3=3—al（］,

：｛6"）是等比数列，，从="加，即（32—aq）2=（3—0）（33—aq2）,可化为^2—6^+9=0,解

得q=3,取0=1,则斯=3"」（注：⑶的值可取任意非零实数）.

9.等比数列｛斯｝中，0=1,05—403.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）记&为｛斯｝的前〃项和,若S”=63,求机

解（1）设数列｛斯｝的公比为％由题设得

由已知得q4=4/，解得q=0（舍去），q=—2或q=2.

故斯=（一2）"「|或许=2"r（〃GN*）.

（2）若为=（—2）"-1,则S“=匕5».

由S,“=63得（-2产=-188,此方程没有正整数解.

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若a“=2"-i,则S.=2"—1.

由S“=63得2M=64,解得机=6.综上，zn=6.

10.S.为等比数列｛%｝的前“项和,已知。4=9。2,53=13,且公比q>0.

(1)求斯及&；

(2)是否存在常数"使得数歹1」｛%+储是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请说明

理由.

"aiq'=9aiq,

解(1)由题意可得＜“，二解得0=1,4=3,

1一3〃3〃一1

所以4=3"一|Sn=l-3=2-

(2)假设存在常数2,使得数列｛S.+7｝是等比数列.

因为Si+a=a+i,82+2=2+4,83+2=2+13,

S"+I+]

所以«+4)2=(/1+1)(/1+13),解得2=；,此时S〃+；=TX3〃,则------=3.

S,+]

故存在常数z=1,使得数列卜“+菩是等比数列.

%综合提升练

11.(多选)在数列｛〃“｝中，“GN”,若a/2一%7;为常数),则称｛呢｝为“等差比数列”，

an+\—an

下列关于“等差比数列”的判断正确的是()

A.人不可能为0

B.等差数列一定是“等差比数列”

C.等比数列一定是“等差比数列”

D.”等差比数列”中可以有无数项为0

答案AD

解析对于A,左不可能为0,正确；

对于B,当如=1时，为等差数列，但不是“等差比数列"，错误；

对于C,当等比数列的公比4=1时，%+1一m=0,分式无意义，所以｛斯｝不是“等差比数列”，

错误；

对于D,数列0,1,0,1,0,1,…，0」是“等差比数列”，且有无数项为0,正确.

12.记S”为等比数列｛斯｝的前”项和，已知0=8,加=一1,则数列｛%｝()

A.有最大项，有最小项

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B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项

D.无最大项，无最小项

答案A

解析根据题意，等比数列｛&｝中，出=8,出=-1,则/=券=-1,则q=T

若“为奇数，则S尸式1+列，此时有S|>S3>…>S">可；

若〃为偶数，则S,=纸1一出，此时有S2Vs4V…<5"<当，

故Si最大，S2最小.

13.设｛斯｝是公比为q的等比数列，\q\>\,令一=%+1(〃=1,2,…),若数列｛b｝有连续四项

在集合｛-53,—23,19,37,82｝中，则6q=.

答案一9

解析也｝有连续四项在｛-53,—23,19,37,82｝中，bn=a„+1,则%=6“T,｛斯｝有连续四

项在｛-54,-24,18,36,81｝中.又｛斯｝是等比数列，等比数列中有负数项则好0,且负数项为

相隔两项，

等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18,-24,36,

-54,81,

—24

相邻两项相除卞

很明显，-24,36,—54,81是｛斯｝中连续的四项,

夕=—菠q=一|(|夕|>1,・,•此种情况应舍),

3.

・.q=一.・6g=9.

14.记S?为数列｛斯｝的前n项和，Sn=\—an,记着产卬俏+的。5T-----卜如-1侬+1，则an=

答案

1\Sn=\—a,n

解析由题思得。1=1—m,故。1=5.当〃时，由J得—m+斯-],则

乙S-1=1―斯-”

故数列｛%｝是以3为首项，聂公比的等比数列，故数列｛为｝的通项公式为斯=/由

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等比数列的性质可得〃1。3=